第五节全微分方程 巴一、全微分方程及其求法 巴二、积分因子法 三、小结思考题
、全微分方程及其求法 1.定义:若有全微分形式 M(xy)=P(x,y)+Q(x,y全微分方程 王则P(xy)+Q(x,y)h=0 或恰当方程 工工工 例如xdx+yz= 0,∵以(x,y)=2(x2+y2) :d(x,n)=xdc+y,所以是全微分方程 全微分方程分 OP 00 ay ax 上页
一、全微分方程及其求法 1.定义: 则 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 若有全微分形式 例如 xdx + ydy = 0, ( ), 2 1 ( , ) 2 2 u x y = x + y 全微分方程 或恰当方程 du(x, y) = xdx + ydy, 所以是全微分方程. . x Q y P = 全微分方程
2.解法: 庄P.)+xy)小=0全微分方程 aP 80 应用曲线积分与路径无关 ay ax 通解为以(x,y)=「P(x,y)dx+Q(x,y) T =TO(x, Ddy+S P(x,yo)dx,u(x,D)=C 用直接凑全微分的方法 上页
2.解法: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 应用曲线积分与路径无关. x Q y P = 通解为 = + y y x x u x y P x y dx Q x y dy 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) , 0 0 Q x y dy P x y0 dx x x y y = + u(x, y) = C ; 用直接凑全微分的方法. 全微分方程
例1求方程(x3-3xy2)dx+(y3-3x2y)d=0 的通解. 王解即=6=2,是全徽分方程 中(x,y)=(x2-3y)dx+∫yhd x 3 J 4y+ 9 4 3 原方程的通解为 22 2 C 上页
. ( 3 ) ( 3 ) 0 3 2 3 2 的通解 求方程 x − xy dx + y − x y dy = 解 6 , x Q xy y P = − = 是全微分方程, = − + x y u x y x xy dx y dy 0 3 0 3 2 ( , ) ( 3 ) . 2 4 3 4 4 2 2 4 C y x y x 原方程的通解为 − + = , 2 4 3 4 4 2 2 4 y x y x = − + 例1
2 例2求方程d+ 3x J小=0的通解 aP 6x 80 解ay ax ,是全微分方程, 2 将左端重新组合2d+ 2x 3x dx-4 dy) 2 =d(-)+d(3)= d(-1+x 3), 2 原方程的通解为_+ =C 3 J 上页
0 . 2 3 4 2 2 求方程 3 = 的通解 − + dy y y x dx y x 解 , 6 4 x Q y x y P = − = 是全微分方程, 将左端重新组合 ) 2 3 ( 1 4 2 2 3 dy y x dx y x dy y + − ) ( ) 1 ( 3 2 y x d y = d − + . 1 3 2 C y x y 原方程的通解为− + = ), 1 ( 3 2 y x y = d − + 例2
二、积分因子法 定义:p(x,y)≠0连续可微函数,使方程 以(x,y)P(x,y)x+以(x,y)Q(x,y)l=0成为全 微分方程则称(x,y)为方程的积分因子 工工工 问题:如何求方程的积分因子? 上页
二、积分因子法 定义 : ( x, y) 0连续可微函数，使方程 (x, y)P(x, y)dx + (x, y)Q(x, y)dy = 0成为全 微分方程.则称( x, y)为方程的积分因子. 问题: 如何求方程的积分因子?
1.公式法:∵ a(up) a(uo) ay ax P uo+P=u Qo两边同除 t× ax 0lμ_P aIn u aP 80 ax ay dy ax 求解不容易 工工工 特殊地: a.当只与x有关时;=0, au du 小y ax dx 上页
1.公式法: , ( ) ( ) x Q y P = x Q x Q y P y P + = + 两边同除， x Q y P y P x Q − = − ln ln 求解不容易 特殊地: a.当只与x有关时; = 0, y , dx d x =
dIn u 1 aP aQ d o ay ax )=∫(x) ∴H(x)=e ∫f(x) b.当只与有关时:Q=0,Q=, ax 小y dhnp1QOP、 0)=8(y) 小 ,P ax a g(y)dy ∴(y)=e 上页
b.当只与y有关时; ( ) ln 1 x Q y P dx Q d − = = f (x) ( ) . ( ) = f x dx x e = 0, x , dy d y = ( ) ln 1 y P x Q dy P d − = = g( y) ( ) . ( ) = g y dy y e
庄2观察法:凭观察凑微分得到A(x) 常见的全微分表达式 xd小-yd xdx + ydy=a + y 2 xd小y-y x小+ydx = a arctan d in xy) x十y xdx+ ydy 2 In(x+y x ty 2 xd小-ydx xty n 2 x-y 王页下贡
2.观察法: 凭观察凑微分得到 (x, y) 常见的全微分表达式 + + = 2 2 2 x y xdx ydy d = − x y d x xdy ydx 2 = + − x y d x y xdy ydx arctan 2 2 d( xy) xy xdy ydx = ln + = + + + ln( ) 2 1 2 2 2 2 d x y x y xdx ydy − + = − − x y x y d x y xdy ydx ln 2 1 2 2
可选用的积分因子有 1 1 29225 2 yx 等 xty xs x y x t y 午例3求微分方程 中(3x+y3)+(x2+y)=0通解 工工工 1OP 00 d x 解 9 Oy oxx ∴(x)=ex=x 则原方程为 (xy+ xy)dx+(x'+x ydy=0. 王页下
可选用的积分因子有 , , . 1 , 1 , 1 , 1 2 2 2 2 2 2 2 等 x y y x x + y x x y x + y (3 ) ( ) 0 . 2 2 的通解 求微分方程 xy + y dx + x + xy dy = 解 , 1 ( ) 1 x x Q y P Q = − = dx x x e 1 ( ) = x. 例3 则原方程为 (3 ) ( ) 0, 2 2 3 2 x y + xy dx + x + x y dy =