第四节函数展开成幂级数 泰勒级数 巴二、函数展开成幂级数 巴三、小结思考题
庄一、泰勒级数 王上节例题∑-1)1=m(1+x)(1<xs1) n f(2(x-xy存在幂级数在其收敛 n=0 域内以x为和函数 问题:1.如果能展开,n是什么? 2展开式是否唯一? 3在什么条件下才能展开成幂级数? 王页下
一、泰勒级数 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1 − = + − = − x x n x n n n n n f (x) an (x x ) 0 0 = − = 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, an 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
中定理1如果函数f(x)在U(x)内具有任意阶导 上数,且在U(x)内能展开成(xx)的幂级数, 生即f(x)=∑4(x-x 生则其系数an=1r"o,)(m=012,-) n 且展开式是唯一的 王证明∵∑(x-x)”在(x收敛于(x)即 n=0 牛f(x)=a+a(x-x)+…+a(x-xn)+… 上页
证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n n − = f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n + 定 理 1 如果函数 f (x)在 ( ) U x0 内具有任意阶导 数, 且在 ( ) U x0 内能展开成( ) x − x0 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 = − = 则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 且展开式是唯一的
逐项求导任意次得 f'(x)=a1+2a2(x-x0)+…+nan(x-x0)”+… ((x)=n!an+(n+1)n…3,2an+(x-x)+ 令x=x0,即得 an=,f((x0)(n=0,1,2,…)泰勒系数 工工 牛泰勒系数是唯一的,∫(x)展开式是唯一的 上页
f (n) (x) = n!an + (n + 1)n3 2an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 , 即得( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 泰勒系数是唯一的, f (x)的展开式是唯一的. f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + 逐项求导任意次,得 泰勒系数
定义如果f(x)在点x处任意阶可导则幂级数 0(x-x0)称为f(x)在点x的泰勒级数 n=0 ∑ f)(0) x称为f(x)在点x的麦克劳林级数 n=0 ni 问题f(9∑ f(x0) (x-x0) n-=0 n 泰勒级数在收敛区间是否收敛于fx)?不一定 上页
如果 f (x)在点 0 x 处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( ) − = 称为f (x) 在点x0的泰勒级数. n n n x n f =0 ( ) ! (0) 称为 f (x)在点x0的麦克劳林级数. 问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) ? 0 0 0 ( ) − = = = 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定
例如f(x)={e C≠0 0,x=0 王在=0点任意可导,且f(0)=0(m=012,) 庄f(x)麦氏级数为∑0x 王该级数在(+和函数()=0.可见 王除:0外/(的麦氏级数处处不收敛于/ 上页
= = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) = n = = 0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(−,+)内和函数s(x) 0. 可见 除s = 0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛于 f (x). 在x=0点任意可导
士 定理2f(x)在点x0的泰勒级数,在U2(x0)内收 敛于∫(x)兮在U(x0)内lmRn(x)=0 n→0 证明必要性设f(x)能展开为泰勒级数, ∫(x)=∑ fo(o) i 0(x-x0)+Rn(x) i=0 王∴E(x=()--(x,ms1()-/(x) lim Rn (x)=limf()snI(x)=0 n→0 n→0 上页
定 理 2 f (x)在 点x0的泰勒级数,在 ( ) U x0 内 收 敛 于 f (x)在 ( ) U x0 内lim ( ) = 0 → Rn x n . 证明 必要性 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i = − + = ( ) ( ) ( ), Rn x = f x − sn+1 x 设f (x)能展开为泰勒级数, lim ( ) ( ) sn 1 x f x n + = → = → lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − = 0;
充分性∵f(x)-sn1(x)=Rn(x) limIf(x)-sm(x)l=lim r (x)=0, n→0 n→0 limsu1(x)=f(x), n→0 :J(的泰勒级数收敛于(x 定理3设f(x)在U(x)上有定义,彐M>0,对 x∈(x-R,x+R),恒有f(x)≤M 中(n=0,2,,则f(x)在(x-R,x+B)内可展 牛开成点x的泰勒级数 上页
充分性 ( ) ( ) ( ), f x − sn+1 x = Rn x lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − lim R (x) n n→ = = 0, lim ( ) ( ), sn 1 x f x n + = → 即 f (x)的泰勒级数收敛于 f (x). 定 理 3 设 f (x)在 ( ) U x0 上有定义,M 0,对 ( , ) x x0 − R x0 + R ,恒有 f x M n ( ) ( ) (n = 0,1,2,),则 f (x)在( , ) x0 − R x0 + R 内可展 开成点x0的泰勒级数
证明 R, (x) (+1(x-x)”sA-5 fm+)( (n+1) ∴-七m+1 x∈(x0-R,x0+R 在(-∞,+0)收敛, z(n+1) 工工工 n+1 ∴Iim x-x0=0,故 n>(n+1)! lim R, (x=0 n n→0 x∈(x0-R,x0+R) 可展成点x的泰勒级数 上页
证明 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x , ( 1)! 1 0 + − + n x x M n ( , ) x x0 − R x0 + R ( , ) , ( 1)! 0 1 0 在 − + 收敛 + − = + n n n x x 0, ( 1)! lim 1 0 = + − + → n x x n n lim ( ) = 0, → Rn x n 故 . 可展成点x0的泰勒级数 ( , ) x x0 − R x0 + R
生三、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) (n) 步骤:(①)求an Cor (2)讨论mR,=0或f(x)≤M, n→ 午则级数在收敛区间内收敛于f(x) 上页
二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: ; ! ( ) (1) 0 ( ) n f x a n 求 n = (2) lim 0 ( ) , Rn f (n) x M n = → 讨论 或 则级数在收敛区间内收敛于 f (x)