1996年线性代数考研题 1.(961.03)设A是4×3矩阵,且A的秩r(4=2,而B=020,则 (AB)= 解应填2 由题设|B≠0,即B可逆,故秩r(AB)=秩r(4=2 阶行列式 b2 的值等于 b3a30 (A)a12(344-bb23b ()a2+ (C)(a12-h2)(a2a4-b2b4) 法1本题可直接按第一行展开 原式=aP3a30-b02a21=aa 法2若从解题技巧来分析,为了迅速找出答案,可令b=0.则 b2 0!b2 对比四个答案在b=0的情形,只有(D)成立,所以应选(D) 的转3(061.0设A=-5g,其中是阶单位矩阵,是维非零列向量,是 (1)A2=A的充要条件是r4=1 (2)当2=1时,A是不可逆矩阵
解本题应注意几点:①21数,22为矩阵,利用这一点往往可简化计算:②一 个间题由两部分构成时,(2尽可能利用(1)的结果;③证明某矩阵A不可逆,常常采用反证 法,假设A1存在,再在已知等式两边同乘以A导出矛盾,或直接由Ax=0(x≠0)有非 (1)A2=(-ee)(-e)=I-2+l(24l I-(2-g=I-(2-2l 由于A2=A,即r-(2-42=I-2,也即(2-12=0 因为5≠0,所以52=O,故A2=A的充要条件是45= (2)法1用反证法,当22=1时,A=A,若A可逆,则有 A1A2=A-1A,即A=I 这与A=I-2≠矛盾,故A是不可逆矩阵 s法2因为A=-,FA=5-5当22=1时,44=0,由于 ≠0,故Ax=0有非零解,因此A4=0 法3A(I-A=0,且I-A=!g≠O,故-A的每一列都是Ax=0的解,即 Ax=0有非零解,因此|A=0 4.(96-108已知二次型f(x1,x2,x3)=5x2+5x2+cx-2+6再-6x的秩为 (1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值 (2)指出方程∫(x1,x2,x)=1表示何种二次曲面 解二次型的秩为2是指二次型对应矩阵A的秩为2,从而有A4=0,由此可求出参数 c,A的非零特征值的个数及其正负号决定了二次型的标准型,从而决定了方程 f(x,x2,x3)=1表示何种二次曲 (1)此二次型对应矩阵为A=-15-3,因为秩r(4=2,故4=0,由此解 得c=3,容易验证,此时A的秩的确为2.进而由 1-5 =(-4)(2-9) 得所求特征值为A=0,A=4,=9 (2)由特征值可知,f(x1,x2,x3)=1表示椭圆柱面 注①也可由初等变换
15-3 A=-15 33c 02-1 3-3 因为秩r(A=2,故有c=3 ②f(x1,x2,x3)=1表示椭圆柱面可以这样解释:由A的特征值知,f(x1,x2,x3)=1可 以经过适当的非退化线性变换化为4y2+9)y2=1,而且经过非退化变换并不改变空间曲面的 类型,可见这是一椭圆柱面 5.(96-3-03)设 41a2 x2 其中a1≠4日≠jj=1,2,…,川.则线性方程组A2x=b的解是 解应填x=(.0,…,0r 由于|=A0,故知Ax=b有惟一解,且由克莱姆法则知惟一解为x D b=四,其中2是把A中第/列元素用b代替后所得行列式,显然=4 6.(96-3-03)设矩阵 012 (1)已知A的一个特征值为3,试求y (2)求矩阵P,使(AP)(AP)为对角矩阵 解由定义有-A=0,由此可定出参数y.考虑到A2为对称矩阵,而 (AP)(AP)=PA2P,化其为对角矩阵方法有二:转化为对应二次型xA2x,通过非退 化线性变换x=P化为标准形,相应求出P;或者求出A2的特征值、特征向量,再通过 正交化,单位化最后构造正交矩阵P,本题所求P不惟 (1)因为 λ-y,|=(x-Dx-( 00
当=3时,代入上式解得y=2.于是A 0012 (2)由A=A,得(AP)(AP)=PA2P,而矩阵 法1考虑二次型 =x2+x2+5x2+5x2+8x3x=x+x+5(x 令n1=1y2=x2y3=+x4,y4=x4,得 1000 0100 x4)(0001 0100 0100 001 4|,则有(AP)(AP) 001 法2先求出A2的特征值A=1(三重),2=9 应于A1=1的特征向量为 (10.0.0)2,a2=(0,0.0)2,a=(0.0.-1.1r 经正交标准化后,得向童组 A=(100,月=0.100,=(0,0,√2√2 对应于2=9的特征向量为a=(0,0,112,经单位化后,得 √2√2
1000 P=(A,A,,A)=00 00 PP=(AP)(AP)= 7.(96-3-08)设向量a1,a2,…是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量B 不是方程组Ax=0的解,即AB≠0.试证明BB+a1B+1…,B+媒线性无关 解证明一组向量线性无关,最基本的方法是定义 设有一姐数k,,k2,…,k,使得 (+∑4)B=∑(-) 上式两边同时左乘矩阵A,有 (+∑k)AB=∑(-k)A=0 因为AB≠0,故 (+∑与)=0 从而,由①式得 = 由于向量组a,,…,G是基础解系,所以 k=起=…=k=0 因而,曲②式得k=0,故向量組B∫+a,+2…日+召线性无关 8.(96-4-03)五阶行列式 11-aa
按第一行展开,得速推关系式 D5=(1-a)D4+aD3=(1-a[(1-a)n3+aD2]+aD3 [(1-a)2+a]D3+a(1-a)D =(1-a+a2)(1-a)D2+a(1-a)+a(1-a)D2 (1-a+a2)(1-a)(1-a+a2)+a(1-a)]+a(1-a)(1-a+a2) 9.(96403设阶矩阵非奇异(n≥2),A是矩阵A的伴随矩阵,则口 (A)(A=|4f2A (B)(A=4A ()(A=4A (D)(A")=AA 解应选(C 涉及伴随矩阵A,首先联想到公式AA=AA=4.由A=4A,知 设有任意两个n维向量组4,…,《和月…,,若存在两组不全为零 的数A1…,n (1-k1)月+…+(-k)B A喁1…2和月,…,2都线性相关 和月,…,R都线性无关 (C)吲+月,…以+R,-月,…,-2线性无关 D)吲1+1…,2+風,巛1-月,…,&-线性相关 由题意知 和 两组数均不全为零,将已知条件整理后得 λ1(+月)+…+λ2(+B)+k1(1-月)+…+k2(2-B)=0 由向量组的线性相关定义知吲+呙…《十风,吲-月,…,C-风线性相关
l1.(96-4-09已知线性方程组 3x1+2x2+p3+7x4=-1 x1+x2-6-x4= 讨论参数P,t取何值时,方程组有解、无解:当有解时,试用其导出组的基础解系表示通 解含有参变量的线性方程组求解,最一般方法是化增广矩阵为阶梯形,然后对参数再 进行讨论 对增广矩阵作初等行变换,有 p 000t+2 (1)当t≠-2时,r(4≠r(④),方程组无解 (2)当t=2时,r(A=r(④),方程组有解 (3)若p=-8得通解 (c1,c2为任意常数 (4)若p≠-8得通解 +(c为任意常数 1:.90410设有阶阵A满足条件E+4=0.A=2E1<0,其中E是 4阶单位矩阵.求方阵A的伴随矩阵A的一个特征值. 解由A=AA=A4E,知A=4A.设为A的一个特征值,题设A<0 所以A≠0,且设有Ax=xx,x≠0.则 A 即A有一特征值为
因此,本题关键在于计算4心以及A的一个特征值,而这由已知条件均很容易得到.由 MEE+4=1-(-)E=0,得A的一个特征值=-2.由条件,有 =PE=212=16,即44=4f 于是|4=4.由于A4<0,知A可逆,设A的对应于特征值=-2的特征向量为 ,则Aa=-√2a.由此得 由于Aa a,知--÷是A-的特征值.因为 Aa=a=(4)(--x=22a 所以有特征值22