§2.1复变函数的积分 定义 1.f(2)有定义 f(c d2=m∑f(5Ak max A=x -Uk=1 f(x)一被积函数,1一积分路径 注:凡无重点的曲线为简单曲线或 Jor dan曲线,具有 连续转动切线的简单曲线称为光滑曲线,由有限条光 滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线简单折线是 分段光滑曲线
§2.1 复变函数的积分 一、定义 1. f z( ) 有定义 max 0 1 ( ) lim ( ) AB k n k k l z k f z dz f z x D ® = ò = D å f z( ) —被积函数， l —积分路径 注：凡无重点的曲线为简单曲线或Jordan曲线，具有 连续转动切线的简单曲线称为光滑曲线，由有限条光 滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线简单折线是 分段光滑曲线
二、存在条件 J(=im∑f()A =stin. A==Ax +iAy 则f()=(5,)+(5,1)=l+mvn ∑++2 ∑uAx-V△)+0+4 Ax O k=1
二、存在条件 ∵ 1 0 ( ) lim ( ) k n k k l n k z f z dz f z z ®¥ = D ® ò = D å 令 , k k k k k k z =x h+i Dz =Dx + Di y 则 ( ) ( , ) ( , ) k k k k k k k f z =u x h +in x h n = + u i [ ] 1 1 0 0 0 1 0 0 lim ( ) lim ( )( ) lim ( ) ( ) k k k k k n n k k k k k k n n k k z x y n k k k k k k k k n k x y f z u i x i y u x y i x u y x n n n ®¥ ®¥ = = ® D ® D ® ®¥ = D ® D ® D = + D + D = D - D + D + D å å å
即 f(a dz=. udx-vdy +il vdx +udy 实积分存在则()存在。 条件(1)1分段光滑; (2)f()在上连续
分段光滑； 即 ( ) l l l f z dz = udx -n n dy + + i dx udy ò ò ò 实积分存在则 l f ( )z dz ò 存在。 条件(1) l (2) f z( ) 在 l 上连续
三、性质 1.∑CM=∑cJ(M k=1 2.若=1+2+… 则!/=∑ 用积分定义证 3. f(ed:=l,f(e)d=
三、性质 1． 1 1 ( ) ( ) n n u k k k l l k k C f z dz C f z dz = = å å= ò ò 2． 若 1 2 n l = l + + l l L 则 1 ( ) ( ) k n l l k f z dz f z dz = ò ò =å 3． ( ) ( ) AB BA l l f z dz = - f z dz ò ò 用积分定义证
4.J//G 或1』/(+)d 用积分定义和 其中的==V+的b2>公式 5. f(z)= sM. S M-上maxf() S-l的长度
4． ( ) ( ) l l f z dz £ × f z dz ò ò ( ) l f z ds 或 ò 其中 2 2 ds = dz = + dx dy 5． ( ) l f z dz £ × M S ò M l max f z( ) S l - - 上 的长度 用积分定义和 公式
例:试证 dz=0 =r1+ [证]:设r0 F1+ 1+z
例：试证 0 lim 1 3 r z r z dZ = 0 + z ® ò = [证]：设 r < 1 则 3 3 4 0 2 2 2 2 0 1 1 1 r z r z r z z r dz dz z z r p ® = = £ £ ¾¾¾® + + - ò ò
四、计算方法 1.用定义: c=?l:z→ f()=1:/|=k I&t=lim i(e ∑-+2 n-0
四、计算方法 1．用定义： ① 0 ? : n l dz = ® l z z ò ∵ f l( ) 1 = ∴ f zk = 1 [ ] 0 1 1 1 0 2 1 1 2 1 1 0 lim 1 ( ) = lim k k n k k l n k z n n n n n n k z n dz z z z z z z z z z z z z ® - ®¥ = D - - - ®¥ = D = - - + - + + - + - = - ò å å L
edz=?l 0=n f()=z Ak k=k-1 注意k是[:-3上任意一点 若选 k-1 则∫x=hmn∑[(==4 n→00
② 0 1 ? : ( ) n l k k k zdz l z z f z z z z z - = - = D = - ò 注意 k z 是 [ ] 1 , k k z z - 上任意一点 若选 k k 1 z z = - 则 [ 1 1 ] 1 0 lim ( ) k n k k k n l n k z zdz z - - z z A ®¥ = D ® = å × - = ò
若选乐=则x=B=m∑=4-=小 n-→00 k=1 zh=4+)=im∑- n-00 liml + 由此二例看出,牛顿莱布尼兹公式成立?
若选 k k z =z 则 [ 1 ] 1 0 lim ( ) k n n k k k l n k z zdz B z z z - ®¥ = D ® ò = = - å ∴ 2 2 1 1 0 2 2 2 2 2 2 1 0 2 1 1 2 2 0 1 1 ( ) lim 2 2 1 lim 2 1 ( ) 2 k n n n k k l n k z n n n zdz A B z z z z z z z z z z - ®¥ = D ® - = + = - é ù ë û = é ù - + - + + - ë û = - ò å L 由此二例看出，牛顿莱布尼兹公式成立？
2.用计算实践积分做 ∫八(k--th+小a+b 只要计算二实线积分即可 注意: ①此公式可这 样记: ∫t(+(t+4 +和+c6小 2问:|tx-wy=-yy
2．用计算实践积分做 ∵ ( ) l l l f z dz = udx-n n dy+ + i dx udy ò ò ò ∴ 只要计算二实线积分即可 注意： ①此公式可这 样记： [ ] ( ) ( )( ) ( ) l l l f z dz u iv dx idy udx n n dy i dx udy = + + = - + + ò ò ò l l l udx-n n dy = - udx dy ò ò ò ②问：
