0.1概述 0.2预备事项 1.连加号(∑)在数学中,为了使数学式表示简单明确,通常要规定一些特殊符号,连加号就是其 个数 简记为 当然,也可以记为∑a,∑ak等等 序列 中从第p项到第q项之和,则可记为 ∑b
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则表示上述序列的第在项到第学预在项中所有奇数项的和,即 为1中为预为预…预为明数 以后,还可能出现两个,三个,甚至更多个连加号2一起的情况 例如有确述个数,我们可将它们排成一个长方阵,确个强言,述个剴将第通行,第 些列的数表示为韦简有下面的表 事1事 事 事1事 事 1 第在行,第学行,麴第确行各数之和分别为 事颌事赞项摧澈 籥 然后,再将这些数求和,即 表事带预表事蕾预…预表癱带数 籥1 这时可将此数记为 事馓 子1籥1 这数实际上是确述个数的总和.当然,我们也可先按列求和,而后将各列之和相加而求得总和.因此,我 们有 簪番雒 中 事 子 其它还有许多情况,以后再逐渐熟悉 2连乘号引言与连加号相类似的,有连乘号定 述个数事项事项變项賂之积 事事 十记为 帶 当然,也可以有多重连乘号.例如前面所说的确述个排成长方阵的数的积,可表示为 帶 事简或者 :x
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有时可能用到一些别的表示法.例如 ∏I(a;-a) 表示所有k≥m.故m是S的最 小数 由这个定理,我们可以建立第二数学归纳法 为证明一个与自然数有关的性质E(m)对所有自然数成立,首先证明E(1)成立.在归纳假设对每 小于n的数k(<n)E(k)成立下,证明E(m)成立.那么,E(m)对所有自然数都成 事实上,假设使E(n)不成立的自然数集为S.若S非空,即S≠.则S中有最小数70 k<n0时,E(k)成立.故E(7o)成立,即70∈S.矛盾.因而我们知道第二归纳法成立 例1证明 Fibonacci序列a1=1,a2=2 通项公式
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证直外验算有 表3,√5 以之 即7=表2时公式成立.时设k,时,公式成立.现证?,表时公式成立.此时 之之 以之 表表,√5 表 表表,√5 中 2 即公式成立.于是公式对任意自然0成立 双重数学归纳法若E(m,m)是依任于独立的自然0m的性质.如小可以对m用0学下纳 法证数对任限自然0m定性质E(m,割成立.对任限显定的m定又可对7用下纳法证数E(m,m)对 任限自然0成立.那么性质E(m,n)对<切自然0m定成立 事实上,事 S=、(m,n)m,nN,E(m,n)不成立 显然,表/S1.若S二知即S1=.设1+S1的最小0,于是m13(m1,m1),S.但是 E(m1,k,k<m1时,E(m1,k)成立因而E(m,m1)成立故(m1,m1)/S 当然,我们可以有更多重的0学下纳法 k举下<个所子之前,我们先不示证数地叙述有关自然0(整0)的性质 通常,如小自然0(整0)a如整除自然0(整0)b我们些 a,b的最大公约0,最小公倍 0分别些+(a,b,方,b.如小(a,b)=表则称a与b互素 若P是素0,且P24b.则P4是 成
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例2设自然数a1,a2,,am中每一个与自然数b1,b2 b中每一个互素,即 1<8≤m,1<j 则a1a2…am与b1b2…bh互素. 证设7=1,当m=1时,(a1,b1)=1.假设m-1时,结论成立.现证m时,结论成 立.若不然,则有素数P,使得P b1).因而 pb 因而pⅡG或p|am·于是 p(Ia,b)或pl(am,b) 这是矛盾的.于是对任意自然数m,当n=1时,结论成立.设n-1时,结论成立.现证7时结论 成立.若不然,则有素数P使得 于是 ∏b或pbn 因而 Ia,Ⅱb或 这与 ,Ⅱb=Ⅱ 矛盾.故”时结论成立.故结论对任何自然数m,7成立 归纳定义(归纳构造法)定义一个与自然数7有关的量y(m),如果qp(m)是用φp(m)(m<7) 来表示,这种定义方法,称为归纳定义法 例如,设a是一个数.a的正整数方幂的定义为a1=a,a=a-1·a.就是归纳定义的 又如,等比数列,a1=a,an=an-1·a,也是归纳定义的
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再如,在例1中提到的 Fibonacci数列 也是归纳定义的就 归纳定义归在高列果数中经常用到,在别的数学分支中也经常用到就归纳定义归的合理性也是由完全 归纳原理所何证的就因而,可以说它与数学归纳归是亲兄弟就
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第一章多项式 多项式理论是任列代,的法个重纳组成部分.原则上说,多项式的内容是归学代.课素归最重纳部 分.因此若家时本章的内容不是陌生的设是,归学是以多项式的具体运算b主,而构里将以多项式的理 论b主.也就是说,构里讨论的多项式主纳侧重于法般性的2律,因而比起经列代,如具例抽象性 多项式理论包括法元多项式与多元多项式两部分.我们以法元多项式理论归的因式分解理论b主
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我们面别用学,归纳,法与C明示自然数,整数,有理数,实数与复数的定合.显然有 表∈学C归C纳C法CC0 复数定C,有一归,减归,立归与具归四种运举,矛为四则运算 后,我的经常,用后下重,些术语 上是C的了个子定 如果假任1,+∈上定有2,+∈上(这句话,常+合明示为:2,+∈上→2,+∈ 下重用子那的明示归)定矛上对加法封闭 2)V2,+∈上→2-+∈上矛上对减法封闭 3)的2,+∈上→2+∈1上对乘法封闭 成,+∈上定≠别→2游∈1矛上对除法封闭 例表学假一归与立归封闭,空假减归与具归那封闭 例2归假一归,减归与立归封闭,空假具归那封闭 例3纳,法,C假一,减,立,具归靠封闭 这里,我们先说在下,如何用数、的语言足说C的子定上假具归,那封闭个所谓上假具归那 封闭,即存 日个明示)},+∈上+≠别使关2然燃上 例成\令 别·上假一,减,立,具归靠封闭 这里上假,减,立归到闭是显然的,由手,上,那存,2,+十≠别使关2然然上定集上假 具归那是.那封闭个的.因积是封闭的 后,我们讨论C的包含来零数,假四运举草封闭的子定,这种子定矛为数域 义表复数定C的子定P定如果最是下重两个条件: ≠别 2)上假四运举靠封闭 矛为,个数域 重例3知纳,纳,法,C靠是数域,面别矛为有理数域,实数域,复数域 从例成知{别虽然假四运举封闭,空那是数城 P=纳(√②)={2,艹2|2,+∈纳} P是,个数域 证1为别表∈纳(√②定P最足条件書设2定痴∈纳定 (2,+2±(述d2=(2±,(+±dV2∈ 述d√2)=(述2),(d,V2∈P 此
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又设c+dV2≠0.若d=0,则c≠0.于是c=c-d2≠0.若d≠0,由√2是无理数知 c-dV2≠0.总之,c+d√2≠0则c-dV2≠0.于是 (a+bV2)/(c+d√2 b②(c-d ∈P 因而P满足条件2)故P=Q(√②)是数域 例6令 {a+ 则P是一个数域 证证明方法与例5完全一样.读者可自行完成 显然, QcQ(√=)c 此时,Q(√-1)既不是R的子集,R也不是Q(√=1的子集 定理1若P是一个数域,则 QCP 特别 证因为P为数域,故3a∈P,a≠0.由P对减法封闭,故a-a=0∈P.P对除法封 闭,故1=a/a∈P.由0,1∈P,P对四则运算封闭,故Q≤P 定理2若数域PR,则P=C 证因为PR,故有a∈P,agR.因而a=a+bV b∈R,b≠0.由于 a,b∈RCP,P对四则运算封闭,故(a-a)/b T∈P.故cd∈R,c+d=I∈C 即有P=C
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元多,式 元多项式的运算是大家所故知的本节只作一个简要的介绍 设P是一个数域+x是一个文字(.号 定义1设n是一个非负整数;∈-∈…∈-∈P.称形式1达式 为系数在数域P中的一元多项式(简称数域P上的一元多项式更简2地称多项式 Tx2(令-0x0=-02称为该多项式的/次项一称为/次项的系数-0又称为常数项;若 ≠0,则称xn为首项(最高项2.为首项系数,而7称为该多项式的次数 若多项式中6项系数全为零+则称此多项式为零多项式记为0.不为,零多项式的次数(注也 有为,零多项式0的次数为-∞的.2 7=0对+-∈P,也称为P上的多项式 以然+用f(x2∈g(x2是f∈g等等1示多项式.若f(x2≠0,则记∫(x2的次数为degf(2 x∈≠0.如果/ =0.于是我们又特记 这样+∫(x2的系数构成一个无穷序列 0∈ 此序列中只有有限项不为零,反过来+我们从这样一个序列也特以构造出一个多项式 P上所有以x为文字的一元多项式集合记为P[小特0PcP[] 定义2Pr]中两个多项式∫(x2=∑1x2∈g(x {;x2称为相等,如果而们的6项系 数都相等+即一={∈/=0∈1∈…此对记为 f(ar2=g(ar2 显然+f(x2≠0且f(x2=9(x2,则degf(x2=degg(x2 法面封论P[中加法+减法与乘法运算 定义3P]中多项式 f(3 ∈g(x2=∑ 的和,义为 f(x2+9(2=∑(-+{x
BCDI 9 76 -?% 9LDE MJ + @ KF % + #E-F /LG G !H"# / $G !H"# ,/ H"# 5 /H I" / I / J" - / %" &'" %" /H I -M/I / (H"# 'I I ) Æ I I ! Æ/ - I + , 2 . IM " A MJ HN D 3'IKN# A Æ JK KF 9%, % / *L 2 M $$ ! 4 , @9 E 76 % + /