复变函数论习题
复变函数论习题
第一章解析函数 try p=x2+y2=|-模 pe (2)0=4rgz=argz+2k兀-幅角 P(coso+isin) (k=0.+1,+2.;m≤argz≤丌) 3遵循实数运算规则 =f(-)
第一章 解析函数 遵循实数运算规则 幅角 模 (3) (k 0, 1, 2...;- arg ) (2) arg 2 (1) | | 2 2 p p j p r = ± ± £ £ = = + - = + = - z Argz z k x y z w = f (z) ï þ ï ý ü ï î ï í ì + + = r(cosj sinj) r j i e x iy z i
幂函数w=2 指数函数=e 单值 f()=(x,y)+vxy)→ 2三角函数 sinz, cosz, tgz, ctg 双曲函数 shz. chz /多信根式函数w= 对数函数v=1m
ï ï ï ï î ï ï ï ï í ì î í ì = = ï ï î ï ï í ì = = w Lnz w z shz chz z z tgz ctgz w e w z n z n : : : , :sin ,cos , , : : 对数函数 根式函数 多值 双曲函数 三角函数 指数函数 幂函数 单值 f (z) = u(x, y)+iv(x, y) ®
二.有关复数和复变函数的实、虚部分开,求模和复 角的问题 1.1-c0sa+ iSIn a,0≤a≤丌,z=? argz 解:令z=x+y=1-cosc+isna 则x=1-cosa,y=sna (1)=√1-cos)+sin2a C 2 cos a =,sin=2sin C 2=2Si
二.有关复数和复变函数的实、虚部分开,求模和复 角的问题 argz ? 1.1 cos sin ,0 ,| | ? = - a + i a £ a £ p z = a a a a 1 cos , sin 1 cos sin = - = = + = - + x y z x iy i 则 解：令 a a 2 2 (1) | z |= (1- cos ) + sin 2 2sin 2 2 2 cos 4sin 2 a a = - a = = 2 | | 2 sin a \ z =
()求复角要看象限 0≤≤ -1< cos <1. sin 20 x=1-cosa≥0,y≥0,一象限 ∴argz=arcg arte =|°1-c0a 兀c arct g(cg。)= arct t 兀C
x =1- cosa ³ 0, y ³ 0,一象限 \-1< cosa <1,sina ³ 0 Q 0 £ a £ p (2)求复角要看象限 a a 1 cos sin | | arg - \ = = arctg z y z arctg ) 2 ( a = arctg ctg )] 2 2 [ ( p a = arctg tg - 2 2 p a = -
2已知z=x+门,求cosz的模 ∴关键是求u,v(下面请同学做 COS2 Te te=elte e y(cos x+sinx te y(cos x-isinx le '(cos x+isin x)+e (cos x-isin x)I [e+e)cosx +iley-e )sin x]
\关键是求u, v.(下面请同学做) 2.已知z = x + iy,求cosz的模. [( ) cos ( )sin ] 2 1 [ ] [ ] 2 1 [ ] 2 1 [ ] 2 1 cos (cos sin ) (cos sin ) 2 1 (cos sin ) (cos sin ) e e x i e e x e e z e e e e y y y y y y y x i x y x i x iz iz ix y ix y e x i x e x i x + - + + - - - - - + - - - - + = + = = + = + = +
u=-le +e cosx v=(e-e)si :p=+C=2+ 1 (e+e) cos+(er-er,sinix 21-2 ve+e+2coS2x
e e x y y 2cos2 2 1 2 2 = + + - 2 2 \r =| cosz|= u +v v e e x y y ( )sin 2 1 - - = u e e x y y ( )cos 2 1 + - \ = e e x e e x y y 2 2 y y 2 2 ( ) cos ( ) sin 2 1 + - - - = +
e-e o=arct=artel rgi e te 若x>0,y>0,则当00,v<0 0=arcg--兀 当 <x<丌,<0,v<0 0=arcg一
j = -p u v arctg , 0, 0 2 0, y > 0, 0 v < p 若 则当 ( tgx) e e e e arctg u v arctg y y y y + - - - j = =
有关复变量和几何位置 1已知图形如何用复变量 (1)上半平面y>0,mz>0 (2)半圆:0<argz<兀 Zk R R
已知图形如何用复变量 三 有关复变量和几何位置 1. . R (1) 上半平面 : y > 0, Imz > 0 | z | R (2) : 0 argz < 半圆 < < p
兀+<argZ<C lIkE
问 : a | z | R - argz < p + a < < a
