§23其他柱函数 三类柱函数 1.第一类(柱函数)—Be函数 ①定义J1(x)=2.(y(x)2 kk!r(±v+k+1)2 为第一类柱函数 ②当V≠m时(已证)J(x)和J(x)线性无关 2.第二类(柱函数)— Neumar函数
§2.3 其他柱函数 一、三类柱函数 1．第一类（柱函数）——Bessel函数： ① 定义 2 0 (-1) ( ) ! ( 1) 2 k k k x J x k k n n n ± ¥ ± = æ ö = å ç ÷ G ± + + è ø (**) 为第一类柱函数 ②当 n ¹ n 时（已证）J x -n ( )和J x n ( ) 线性无关。 2．第二类（柱函数）——Neuman函数
①定义:N、(x) 0s2xJ(x)-J(x)(1) sinv兀 为第二类柱函数 ②无论v=n与否,J(x)和N(x)均为v 阶 Besse方程的线性无关解 即:y=AJ(x)+B,N(x) 若 v≠n,则 (x) cos vT,(x)-(x x SlnvπJ,(x 1 COS VTT ≠常数 SIn vi
②无论 与否， 和 均为 阶Bessel方程的线性无关解 即： ∵ 若 ，则 ①定义： （1） 为第二类柱函数 - cos 2 ( ) - ( ) ( ) sin v J x J x N x p n n np = n = n J x( ) n N x( ) n n y A J (x) B N x( ) = + n n n n n ¹ n (1) - ( ) cos ( ) - ( ) ( ) sin ( ) N x J x J x J x J x n n n n n np np = - 1 ( ) cos - sin ( ) J x J x n n np np é ù = ¹ ê ú ë û 常数
若v=n,则 1|2J(x 1°N 2,(x (2) 2V 2V v=n 此时 M(x)→M(x)→x):(y(0o ∴Nn(x)=1m COSVTJ,(x)-Jy(x) →n slnv丌 SIn v7·丌Jv(x)+cos丌 av aJ av av Im V→n ·coSv丌 1「aJ/v(x 丌Ov (-1)0V V=n
- - cos ( ) - ( ) ( ) lim sin - -sin ( ) cos - lim cos 1 ( ) ( ) - (-1) n n n n n J x J x N x J J J x J x J x n n n n n n np np n n np p n np n n p np n p n n ® ® = = ¶ ¶ + ¶ ¶ = é ù ¶ ¶ = ê ú ë û ¶ ¶ g g 若n = n ，则 - 1 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) - (-1) 2 2 o n n n J x J x N x n n p n n n = é ù = ê ú ë û (2) ∵ 此时 cos ( ) - (-1) ( ) 0 ( ) ( ) sin 0 n n n n n J x J x N x N x n n p p ® ® = ∴
x14(n-k-1)! 2N(x)=-J(x)ln-∑ 丌 2k=0k 2k 丌k0k(n+k)! (k+1)+v(n+k+1) (3) v(1)=v=0.5721.v(k+1)=-y+1+-+.1 2k 这只需将J(x)的级数表达式代入(2) 式进行冗长的计算即可得到
2 - -1 0 2 1 ( - -1)! 2 ( ) ( )ln - 2 ! 2 k n n o n n k x n k x N x J x p p = k æ ö = å ç ÷ è ø [ ] 2 0 1 (-1) - ( 1) ( 1) !( )! 2 k k n k x k n k k n k y y p + ¥ = æ ö å + + + + ç ÷ + è ø (3) 1 1 (1) - -0.577216, ( 1) - 1 ... 2 k k y = n = y g + = + + + + 这只需将 的级数表达式代入（2） 式进行冗长的计算即可得到 ( ) V J x ±
3°Nn(x)是方程(*)的解,而只要证明(2)满 足(*)即可 x2J/",(x)+xJ(x)+(x2-y2):(x)=0 将上式分别对v求导得: d 2 a ()d a +( a,(r) 2J(x)=0(4) x av dx av v 2aaM(),daJ(4()(x)2,()=0(B) x2 ovx Ov
是方程（*）的解，而只要证明（2）满 足（*）即可 3 ( ) o N x n ∵ 2 2 2 x J (x) xJ (x) (x - )J x( ) 0 n n n n ± ± ± ¢¢ ¢ + + = 将上式分别对 n 求导得： 2 2 2 2 2 2 2 - - - 2 2 2 - ( ) ( ) ( ) ( - ) - 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( - ) 2 ( ) 0 ( ) d d J x J x J x x x x J x A dx dx d d J x J x J x x x x J x B dx dx n n n n n n n n n n n n n n n n ¶ ¶ ¶ + + = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + + = ¶ ¶ ¶
A424并会y→n xNn(x+xNn(x)+(x-nN(x)=o 4N(x)与线性无关。 J(x)= (-l 2k+v k4k!I(v+k+1)2 2k 由(米*)— k(k!2(2 J(x)=0,n≥1
4 o N x n ( )与线性无关。 2 0 (-1) ( ) ! ( 1) 2 k k k x J x k k n n n + ¥ = æ ö = å ç ÷ G + + è ø 由（**） 2 0 0 2 0 (-1) ( ) 1 ( !) 2 ( ) 0, 1 k k x k n x J x k J x n ¥ ® = ì æ ö ¾¾¾® ï = = å ç ÷ í è ø ï î = ³ 1 ( )-(-1) ( ) n A B p é ù ë û g g 并令 n ® n : 2 2 2 ( ) ( ) ( - ) ( ) 0 n n n x N¢¢ ¢ x + xN x + = x n N x
N(x)x2J( rh xEln→>-∞ 丌 兀2 由(3)x Nn(x)a →(mn21) 当x→0A大不一样,即,(和1x) 线性无关 注:∵N,(x) x→>0 →>0(无论并否) ∴.在0≤p≤a中,(*)的有限 解为y=小(x)
∴ 当 大不一样，即 和 线性无关 x ® 0, ( ) ( ) n n N x J x ìï í ïî ( ) N x n ( ) n J x 注：∵ （无论并否） ∴ 在 中，（*）的有限 解为 0 ( ) x N x n ® ¾¾¾® ¥ 0 £ £ r a y J x( ) n = 0 0 0 - 2 2 ( ) ( )ln ln - 2 2 ( -1)! ( ) - - ( 1) 2 x n n x x N x J x n x N x n p p p ® ì » » ® ¥ ï ï ¾¾¾®í ï æ ö » ç ÷ ® ¥ ³ ïî è ø 由（３）
3.第三类(柱函数)— Hanke l函数 ①定义:((1=4(+(第三类(4) H2(x)=J(x)-i,(x) ②无论V=n与否 ①(x)和B2(x)是(*)线性无关解: J,和H,线性无关,且均为(*)的解
3．第三类（柱函数）——Hankel函数 ①定义： 第三类（4） (1) (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - ( ) H x J x iN x H x J x iN x n n n n n n ìï = + í ïî = ②无论 n = n 与否 和 是（*）线性无关解： ∵ 和 线性无关，且均为（*）的解。 (1) H x( ) n (2) H x( ) n J n Hn
4.三类柱函数的关系 (x) H(x) 01(m)互相均线性无关 "(x) (x)互相之间的关系如同/e )H2)(x) COS X SIn x 之间的关系
4．三类柱函数的关系 ① (1) (2) ( ) ( ) ( ) ( ) H x H x J x N x n n n n ì ï ï í ï ï î 互相均线性无关 ② (1) (2) ( ) ( ) ( ) ( ) H x H x J x N x n n n n ì ï ï í ï ï î 互相之间的关系如同 - cos sin ix ix e e x x ì ï ï í ï ï î 之间的关系
Hy(x)=J(x)+iN(x)te=cos x +isin x H(x)=J(x)-iN,(x)te=cos x-isin x H th e te 2 cos x H,-H; N,(x)= SIn x
(1) (2) ( ) ( ) ( ) cos sin ( ) ( ) - ( ) cos - sin ix ix H x J x iN x e x i x H x J x iN x e x i x n n n n n n - = + ¬ = + = ¬ = 1 2 - ( ) cos 2 2 ix ix H H e e J x x n n n + + = ¬ = 1 2 - - - ( ) sin 2 2 ix ix H H e e N x x i i n n n = ¬ =