第二章Bese函数 国中心: Besse/函数 口1. Besse程的级数解 ■2. Besse函数的性质 口3.其他柱函数 14.在“柱中”∫△+n=0 l=0
第二章 Bessel函数 中心：Bessel函数 1．Bessel方程的级数解 2．Bessel函数的性质 3．其他柱函数 4．在“柱中” 0 0 u u u ì D + = l í î D =
§1 Besse/函数 Bessel方程在x=0点邻域的级数解 Bessel方程更一般形式为: xy+xy+(x2-v2)y=0v-实数(1 由书D353,常微方程的级数解法知, p(x) q(x)=1 x=0为(1)的正则奇点,故
§1 Bessel函数 一、Bessel方程在 x=0 点邻域的级数解 Bessell方程更一般形式为： 2 2 2 x y¢¢ ¢ +xy + = ( - x y n n ) 0, - 由书p353，常微方程的级数解法知， 2 1 p(x) , q x( ) 1- x x æ ö n = = ç ÷ è ø ∴ x＝0为（1）的正则奇点，故 实数（1）
1.令y=∑ 代入(1): E(k+prk+p-1)C*+2(k+pCr+2Cxp2-VECx*P=0 即∑(k+p)]x”+Cx2=0 2.比较X最低次幂的导数:设v>0 )C0=0(C0≠0)→ 判定方程:p2-v2=0(2) 则
1．令 0 k k k y C x + r ¥ = = å 代入（1）： 2 0 0 0 0 2 ( )( -1) ( ) - 0 k k k k k k k k k k k k k k C x k C x C x C x r r r r r r r n ¥ ¥ ¥ ¥ + + + + + = = = = å + + +å + + = å å 即 2 2 2 0 0 ( ) - 0 k k k k k k k C x C x r r r n ¥ ¥ + + + = = å å é ù + + = ë û 2．比较 x 最低次幂的导数： r 2 2 0 0 ( r n- ) C C = 0 ( ¹ ® 0 ) 判定方程： 2 2 r n- 0 = （2） r n = ± , 设 n > 0 则 1 2 r = = n , - r n
3.令1=∑Cx代入(1): k=0 +k)2 (v2-v2)C=0,设C0≠0 :[v+13-v2]C=0→C1=0 :[w+)2y2]C C,=0 k- 2(3) k(2v+k)
3．令 1 0 k k k y C x n ¥ + = = å 代入（1）： 2 2 2 0 0 ( ) - 0 k k k k k k k C x C x n n n n ¥ ¥ + + + = = å å é ù + + = ë û 2 2 0 x C : ( - ) 0, n n n = 设 0 C ¹ 0 1 2 2 1 1 x : ( 1) - C C 0 0 n n n + é ù + = ® = ë û 2 2 -2 : ( ) - 0 v k k k x n n k C C + é ù + + = ë û -2 - (2 ) k k C C k k n = + ∴ （3）
2 2×2(v+1) G1=0 3(3+2V) 4(2v+4) C=0 于 (lCo C1=0 2n(v+m)Xv+-1)…(+) 1yco【v+) n=1,2;… 2n!r(v+n+D)
∴ 0 2 1 3 2 4 5 - , 2 2 ( 1) - 0, 3( 3 2 ) - , 4 ( 2 4 ) 0 C C C C C C C n n n = ´ + = = + = + = 于是 0 2 2 2 1 0 2 (-1) ; 0 2 !( )( -1) ( 1) (-1) ( 1) 1,2, 2 ! ( 1) n n n n n n C C C nnn C n n n n n n n n = º + + + ××× + G + = = ××× G + + ；
y(x)=2cX=∑2x=2∑ o(1Cr(v+1)2nty n-0 n-0 22nl(+n+1) ∴类似的取P=P2=,则得 h2(x)=2(yC(++1),2m )2"n!I(V+n+1)
∴ 2 2 0 1 2 2 0 0 0 (-1) ( 1) ( ) 2 ! ( 1) n k n n k n n k n n C y x C x C x x n n n n n n n ¥ ¥ ¥ + + + = = = G + = = = G + + å å å 类似的取 2 r = = r n- ，则得 0 2 - 2 2 0 (-1) (- 1) ( ) 2 ! (- 1) n n n n C y x x n n n n n ¥ = G + = å G + +
解的敛散性 1.方程的奇点可能是解的奇点 解的奇点,最多只是方程的全部奇点,即解的奇点 少于或等于方程奇点 若是方程正则奇点x相邻的奇点则其解在 0<x-x0|<x-xo中收敛 其奇点为x=0,此外还有(∵当令t=1代入方程 时,t=0为方程奇点) 2.Bee方程:
二、解的敛散性 1．方程的奇点可能是解的奇点 解的奇点，最多只是方程的全部奇点，即解的奇点 少于或等于方程奇点 ∴ 若 是方程正则奇点 相邻的奇点则其解在 中收敛 2．Bessell方程： 其奇点为x=0 ，此外还有（∵ 当令t=1/x 代入方程 时，t=0为方程奇点） 0 x 0 1 0 0 < x - x < - x x 1 x
R= lim k-2=lim k(k +2v)=00 x→0 x→ y1,y2在0<|x1<m收敛 Beel函数 1.定义:在解y1(x)中,C022T(+1 并记此时y(x)=J(x),称之为阶Bee函数, 则yx)=Jx)=∑ (y(x) Ak!I(y+k+1)(2 (4) 类似的,在y2(x)中取C 2T(H+)记此 时y2(x)为J(x)称之为-v阶的 Bessell函数,则
三、Bessel函数 1．定义：在解 中，取 并记此时 ,称之为v阶Bessel函数， 1 y x( ) 0 1 2 ( 1) C u n = G + 1 y (x) J x( ) = n 2 1 0 ( 1) ( ) ( ) ! ( 1) 2 k k k x y x J x k k n n n + ¥ = - æ ö = = å ç ÷ G + + è ø 则 （4） 类似的，在 中取 并记此 时 为 称之为-v阶的Bessel函数，则 2 y x( ) 0 1 2 ( 1) C n n - = G - + 2 y x( ) J x( ) -n 2 lim lim ( 2 ) k x x k C R k k C n - ® ¥ ® ¥ = = + = ¥ ∴ 1 2 y y , 在 0 < x < ¥ 收敛
2(y H(x)=J、知k(+k+1(2 (5) 显然J(x)-2->0 2.线性相关性 ①当v≠m时J(x)和J1(x)是线性无关的 无论x取何值,若,(x)/J(x)=C,则x)和 J、(x)是线性相关的,但事实上,当x→>0 时:J( I(v+1)(2
2 - 2 - 0 (-1) ( ) ( ) ! (- 1) 2 k k k x y x J x k k n n n ¥ = æ ö = = å ç ÷ G + + è ø （5） 显然 2．线性相关性 ①当 v m¹ 时 J x v ( )和 J x -v ( ) 是线性无关的。 无论x取何值，若 ,则 和 是线性相关的，但事实上，当 时： - Jn n (x) / J ( ) x C= x ® 0 1 ( ) ( 1) 2 x J x n n n æ ö » ç ÷ G + è ø ( ) x v J x ® ¥ - ¾¾ ¾® ¥ ( ) v J x ( ) v J x -
J(x)≈ I(+1)(2 ()s17 (-V+1) I(V+1)(2 将随x而变。故此时V=n,J2(x)=(-1)Jn(x) ②当y2=CJ(x)+d1J1(x)(6) 2k J_n(x) kck!(-n+k+1)2 ∵(x)=∫tet x>0
② 当 y c = + Cn J n ( x) dn n J x - ( )（6） - - 1 ( ) (- 1) 2 x J x n n n æ ö » ç ÷ G + è ø ∴ 将随x而变。故此时 2 - ( ) (- 1) ( ) v ( 1) 2 J x x x J n n n n G + æ ö = ç ÷ G + è ø - , ( ) (-1) ( ) n n n n = = n J x J x ∵ ∵ 1 0 ( ) 0 x t x t e d t x ¥ - - G = > ò 2 0 ( 1) ( ) ! ( 1) 2 k n k n k x J x k n k - ¥ - = - æ ö = ç ÷ G - + + è ø å
