§1.积分方程的解法 积分方程在物理学领域和其它科技领域也使用得相当多 的,一个简单的例子是Lc振荡电路 设开始试电容器板极上带有电荷±q,且电流为0 则电路中电流()满足的方程为 L GMt=当 此时c上电荷q()与()关系为 q()=-/()dz
§1.积分方程的解法 积分方程在物理学领域和其它科技领域也使用得相当多 的，一个简单的例子是LC振荡电路 , 0 设开始试电容器板极上带有电荷 ± q0 且电流为 则电路中电流I(t)满足的方程为: c q I d dt c dI L t 0 0 ( ) 1 + = ò t t L R(t) I C ò = - t q t I d c q t I t 0 ( ) ( ) ; ( ) ( ) : t t Q此时 上电荷 与 关系为
又电感L上和电容C上的电势降落之和为即 d(_q=0故将上述q代入此式即得微分方程 这是一积分方程,严格的说是一微积分方程 积分方程即指未知数出现在方程的积分号下
这是一积分方程 ,严格的说是一微积分方 程 积分方程即指未知数出 现在方程的积分号下。 故将上述 代入此式即得微分方程 又电感 上和电容 上的电势降落之和为 即 q c q dt dI L L c 0 0 ÷ = ø ö ç è æ + -
§1.1积分方程的几种解法: 积分方程简介 1引入 设(微分方程)y(x)=k(x,y.且(已知)y(x)=y 则其解可表示为(x)=A(xy)+ 这便是积分方程[其中待求的函数]
§1.1积分方程的几种解法： 一、积分方程简介： 0 0 设(微分方程) y ¢(x) = k(x, y),且(已知) y(x ) = y [ ] [这便是 ]积分方程 [其中待求的函数 ] 则 其解可表示为 - = + ò 0 0 y(x) k (x, y)dx y x x 1.引入
一般的线性积分方程可写为 从9g)2G)=/(x)(") 已未常核已知非齐次项若 知知数 f(x)≡0则为齐次积分方程
[ ] ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) (*) : h x g x k x y g y dy f x b a - = ò l 一般 的线性积分方程可写为 知 知 数 则为齐次积分方程 已 未 常 核 已知 非齐次项 若 ( ) 0 ( , º ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f x
2.分类 1) Fredholm方程(弗雷德霍姆) h(x)=0:(*)→|(x,y)g(y)(x) 第一类F,(*1) (x)=1:(*)→8(x)-2k(x,y)g(y)y=f(x) 第二类Fr(*2)
(*2) ( ) 1:(*) ( ) ( , ) ( ) ( ) (*1) ( ) 0 :(*) ( , ) ( ) ( ) (1) ( ) Fr h x g x k x y g y dy f x Fr h x k x y g y dydf x Fredholm b a b a 第二类 第一类 方程 弗雷德霍姆 - = ® - = - = ® ò ò l 2. 分类
(2) Volterra方程:(伏特拉) 当y>x,k(x,y)=0 「A(x,(b=f(x)-第一类 g(x)-2[k(x)()=f()-第二类1o 3、算符表示:(*) →(h-2从)9(x)=f(x淇其中k=xy
(2)Volterra方程:(伏特拉) 当y > x, k(x, y) = 0 g x k x y g y dy f x Vol k x y g y dy f x Vol x a x a 第二类 第一类 - = - = - ò ò ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) l ( ) ( ) ò ® - = = b a (h k)g x f x k k(x, y)dy 3 :(*) 其中 、算符表示 l
二、退化核的方程的解法 若(y)=∑9(x(y棋其中q(x和q(y) 分别为线性独立的,则*)→退化核方程 1、例 g()-2(2+xykh=x(0) k(x, y)=xy+x'y ∑xy21-退化核
二、退化核的方程的解法 ( ) 分别为线性独立的 则 退化核方程 若 其中 和 ® = å= , (*) , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 k x y x y x y i i n i ji ji j j ( ) ( ) ( ) (1) 1 1 0 2 2 g x - xy + x y g y dy = x ò l 、例 = - 退化核 = + å= - 2 1 3 2 2 ( , ) i i i x y k x y xy x y
令A=「y8(2) B=x(y(3) 则1)→g(x)=x+x+Bx2(4) (若AB求出g(x即可求出 又注意到g()只是的函数而B分别满足(2)3) 即要算出A,B只要先算出关于变量y的积分 ()4=y0+小+)
( ) ( ) (3) (2) 1 0 1 0 2 B yg y dy A y g y dy ò ò = 令 = (若 求出 即可求出) 则 AB , ( ) (1) ( ) (4) 2 g x ® g x = x + lAx + lBx 又注意到g(y)只是y的函数而A, B分别满足(2)(3) 即要算出A, B只要先算出关于变量y的积分 A y (y Ay By )dy ò ® = + + 1 0 2 2 (4) (3): l l
即A=7+4+B(5) 44 即B=+1M+1B(6) 由代入法或消元法即可求得得解为 6 60+ 80 A 240-1201-2b 240-120x-2 代入(4) 240-60)x+80x2 240-120x-2
(6) 4 1 3 1 3 1 (5) 5 1 4 1 4 1 B A B A A B l l l l = + + = + + 即 即 : (6) (5) 由代入法或消元法即可求得 得解为 î í ì 2 2 240 120 80 , 240 120 60 l l l l l - - = - - + A = B ( ) ( ) 2 2 240 120 240 60 80 (4): l l l l - - - + \ = x x g x 代入
由此解可看到若分母240-120-2=0 120±√1202+4.240 即λ =-60±16√9+6 60±631586) 若≠-60±16√15方程有唯一的解 2、一般 [由上例可见解退化核积分方程的问题化为了解线性代数 方程组的问题,若退化核有几项,就需要解几个代数方程 所构成的方程组(1)解具有几项的退化核的方程即要解几 阶线性代数方程组,具体做法是:
: 240 120 0 2 由此解可看到 若分母 - l - l = = - ± ( )® ¥ = - ± + - ± + × = 60 16 15 g x 60 16 9 6 2 120 120 4 240 2 即l 若l ¹ -60 ±16 15方程有唯一的解 [由上例可见解退化核积分方程的问题化为了解线性代数 方程组的问题，若退化核有几项，就需要解几个代数方程 所构成的方程组(1)解具有几项的退化核的方程即要解几 阶线性代数方程组，具体做法是： 2、 一般