第三章斯一刘本征值问题 §1斯一刘本征值问题 1.SL方程 在第三篇曾设几个重要特殊函数微分方程 (1-x2)y2-2xy+1(1+1)y=0→ +V+)y=0(4) x d x p→x:xy"+x+(kxny=0d「d1n2 y+kxy=0 dx dxx (1-x)y-2y+1(+1 dG2、b1m 0->2|(1 dr d[1-2y+(1+1)y=0( 有共同特点
第三章 斯一刘本征值问题 在第三篇曾设几个重要特殊函数微分方程 ( ) 2 2 (1- ) - 2 ( 1) 0 1- ( 1) 0 ( ) d dy x y xy l l y x l l y A dx dx é ù ¢¢ ¢ + + = ® + + = ê ú ë û 2 2 2 2 2 2 : ( - ) 0 - 0 ( ) d dy n x x y xy k x n y x y k xy B dx dx x r é ù ® ¢¢ ¢ + + = ® + = ê ú ë û 2 2 2 2 2 2 (1- ) -2 ( 1)- 0 (1- ) - ( 1) 0 ( ) 1- 1- m d dy m x y xy l l y x y l l y C x x dx dx é ù é ù ¢¢ ¢+ + = ® + + = ê ú ê ú ë û ë û 有共同特点 §1.斯一刘本征值问题 1. S—L方程
(A)、(B)、(C)均可表为 1.定义 k(x d x ah9(x)y(x)+p(x)y=0(1) 其中a≤x≤b,k(x)≥0,9(x)≥0,p(x)≥0 λ为参数,通常称(1)为S-L方程 2.任意二阶常微分方程 y"+p(x)y1(x)+h(x)y(x)=0(2) 均可化为S-L方程
（A）、（B）、（C）均可表为： 1．定义 ( ) - ( ) ( ) ( ) 0 d dy k x q x y x x y dx dx lr é ù + = ê ú ë û （１） , ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 - a x b k x q x x S L r l 其中 £ £ ³ ³ ³ 方程 为参数，通常称（1）为 2．任意二阶常微分方程 y¢¢ ¢ + r( x) y (x) + = h(x) y x( ) 0 （２） 均 可 化 方 为 S L - 程
以7(x)·(2) 7yx)+(x)p(x)y(x)+7(x)h(x)y(x)=0 而(1)→k(x)y(x)+(x)y(x)+[-x)+p(x)y=0 7(x)=K(x) 对比得:{7(x)p(x)=K(x) 7(x)(x)=-q(x)+p(x) (3)(4):7(x)p(x)=K1() T"(x) (r)p(x), InT()=Jp(x dx, K(x)=T(x)=eiplnjdr T
∵ 以 T x( ) ×(2) : Ty¢¢ ¢ (x) + T (x)r(x) y (x) + = T (x)h(x) y x( ) 0 而（1）→ k x( ) y¢¢(x) + k¢ ¢ (x) y (x) + [-q(x) + = lr(x y ) 0 ] 对比得： ( ) ( ) (3) ( ) ( ) ( ) (4) ( ) ( ) - ( ) ( ) (5) T x K x T x x K x T x h x q x x r lr ì = ï í = ¢ ï = + î （3）（4）：T(x)r l (x K ) = '( ) ( ) ( ) ( ), ln ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) T x x dx x T X x dx K x T x e T x r r r ò ¢ = = ò = =
e. g Hemit: y"-2xy'+2y=0 (7) K(x)=l")=e2=e 7)+4c dx a/+2e e y(x)=0
e.g.Hemit : y¢¢ ¢ - 2xy y + = 2 0 l （7） ∴ （7）→ 2 2 - - 2 ( ) 0 d x x dy e e y x dx dx l é ù + = ê ú ë û 2 ( ) 2 ( ) P x dx xdx x K x e e e ò ò - - = = =
2自然边界条件 (1)定义:不是定解问题给定的,而是问题本身应 具有的边界条件 △u=0,→Φ(q+2丌)=①(q) (1-x2)y”-2xy+1(1+1)y=0+ykx→有限 (2)对于SL方程(1) K(a)=0,K(b)=0 当在边界上时有:{or:K()=0,K(6)≠0 k(a)≠=0,K(b)=0
(1)定义：不是定解问题给定的，而是问题本身应 具有的边界条件 D u = 0 , ® F (j + 2p j ) = F ( ) 2 1 (1 ) 2 ( 1) 0 x x y x y l l y y = ± - ¢¢ ¢ - + + = + ® 有 限 (2)对于S—L方程（1） 当在边界上时有： ( ) 0, ( ) 0 : ( ) 0, ( ) 0 ( ) 0, ( ) 0 K a K b or K a K b K a K b ì = = ï í = ¹ ï î ¹ = 2.自然边界条件
在x=a或x=b存在有限性自然边界条件 证]:设y(x)和y2(x)为(1)的解,且有界, 则Ax)(-09+(0 k(x)y2(x)-9(x)y2(x)+2p(x)y2(x)=0 (9)·y1-(8)·y2 y(x)k(x)2(x)-n1(x)k(x)(x)|=0 d 即2|k(x)y2-y2 dx
在 x a = 或 x b = 存在有限性自然边界条件 [证]：设 y x 1 ( ) 和 y x 2 ( ) 为（1）的解，且有界， 则 1 1 1 k x( ) y (x) q(x) y (x) lr(x) y x( ) 0 (8) ¢ é ù ¢ - + = ë û 2 2 2 k(x) y (x) q(x) y (x) lr(x) y x( ) 0 (9) ¢ é ù ¢ - + = ë û 1 2 (9)× y y - × (8) : 1 2 2 1 y ( x) k x( ) y (x) y (x) k x( ) y x( ) 0 ¢ ¢ é ¢ ¢ ù - = é ù ë û ë û 1 2 2 1 ( )( ) 0 d k x y y y y dx é ù ¢ ¢ - = ë û 即
积分:y2-y2y k(x 又∵y2独立,∴当去 y2 y21=2-y21 ≠常 y1 k(x)yi Y2=y1 d x t k(x)yi 当ka或kb)y2→O为0时, y2=→>有限
又∵ y y 1 2 , 独立，∴ 1 2 y y ¹ 常 (10) 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 - ( ) y y y y y C y y kxy æ ö ¢ ¢ ç ÷ = = ¹ è ø 常 0 2 1 1 2 1 ( ) x x C y y dx C kxy é ù = + ê ú ë û ∴ ò 当 k a( )或 k b( ) y2 ® ¥ 为0时， ∴ 2 , x a b y = ®有限 积分： 1 2 2 1 ( ) C y y y y k x ¢ - = ¢
如:对于(A)式,k(x)=(1-x2) k(±D=0,确有y=4→有限 3.若k(a)=k(b),则(1)有周期性边界条件, y(a)=y(b)或y(a)=y(b 如:对于 ①"+nΦ=n,n=1,2 k(x)=1,k(0)=k(2m)=1
3．若 k(a) = k b( ), 则（1）有周期性边界条件， y(a) = y b( ) 或 y¢ ¢ (a) = y b( ) 如：对于 2 F¢¢ + n F = = n n , 1, 2,L k(x) = 1, k k (0) = = (2p ) 1 如：对于 2 (A)式, k(x x ) = - (1 ) k(± = 1) 0 ，确有 x 1 y =± ® 有限
3自然边界条件 1.SL问题:称 AN3)/9(x)y+1p(x)y(x)=0(a<x<b) a+B(+170 dx 为SL本征值问题 2.SL问题共性: (1)若k(x)∈C,q(x)∈C或最多在x=a,b上有一阶解 则(*)有本征值x1≤2≤.相应有本征函数y(x)y2(x)…yn(x)
1．S—L问题：称 , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) * ( ) ( ) 0 x a b d dy k x q x y x y x a x b dx dx dy y x k x dx lr a b g = ì é ù - + = < < ï ê ú ï ë û í é ù ï + ¹ = ê ú ï îë û （ ） 为S—L本征值问题 2．S—L问题共性: 1 （1） 若k(x) ÎC , q(x) , Î = C或最多在 x a b 上有一阶解 1 2 1 2 ... ( ) ( ) ... ( ) n 则 应 （*）有本征值l l £ £ 相 有本征函数 y x y x y x 3.自然边界条件
(2)n≥0,m=1,2, 0.m≠n 3)py(x)ym(xyx= (4)f(x)=ECm'm(x),Cm-Lp(x)f(x)ym(x)dx x=X"(x)+X(x)=0(1),0<x<1 例:1S-L问题 x(o)=0.X(=0(2) q(x)=?p(x)=? ②λ=?本征函数?M=
2 0, 1,2, ; （ ）lm ³ = m L 2 0, 3 ( ) ( ) , b n m a n m n y x y x dx N m n r ì ¹ = í î = （ ） ò 1 4 ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) b m m m m a m f x C y x C r x f x y x dx ¥ = （ ） = = å ò ( ) ( ) 0 (1), 0 - ( ) 0, ( ) 0 (2), X x X x x l S L X o X l ì ¢¢ + l = < < í î = = 例：1. 问题 ① ① q(x x ) = = ? r( ) ? ② l = ? 本征函数=? 2 ? Nl =