§2.2 Cauchy定理 单通区域的 Cauchy定理: 设f(x)在单连通区域内解析,中f(k=0 1-0内的任意一条分段光滑的曲线,则 欲证:4=0只须证√u+ 分析 f(a)dt=lucx-vdy+ C=0 已知:2nv Oxay故利用此条件求B、 a v au Ox
§2.2 Cauchy定理 f x( ) 一、单通区域的Cauchy定理： 设 在单连通区域 s 内解析， l-s 内的任意一条分段光滑的曲线，则 ( ) 0 l f z dz = —ò 分析：∵ ( ) l l l f z dz = udx-n n dy+ + i dx udy —ò ò ò ∴ 欲证： A = 0 0 0 B C ì = í î = 已知： u x y u x y n n ì ¶ ¶ = ï ï ¶ ¶ í ¶ ¶ ï = - ïî ¶ ¶ 故利用此条件求B、C 只须证
而由Gren公式有:B -ov au do=0 do=0 其中*-L的围区域4y ∴只要B、G满足 Green公式存在条件: 具有连续的一阶偏微商,即f()在 上连续,我们便可证明此定理。 然而这一条件并非已知,1851年 Rieman 在补充了这一条件后证明了上述定理
∴ 只要B、C 满足Green公式存在条件： 而由Green公式有: (2) (1) 0 0 u B d x y u C d x y s s n s n s æ ö -¶ ¶ = ç ÷ - = è ø ¶ ¶ æ ö ¶ ¶ = ç ÷ - = è ø ¶ ¶ òò òò u,n 具有连续的一阶偏微商，即 f z( ) 在 s* 上连续，我们便可证明此定理。 然而这一条件并非已知,1851年Rieman 在补充了这一条件后证明了上述定理。 其中 s * L的围区域
证明:设 f(-)在内连续,则 f(a)dz=ll, udx-vdy +ip vdx +udy (∵f()连续)r(oa a av do+ 解析 a O f( R
证明：设 f z( ) 在 s 内连续 , ( ) l l l f z dz = udx-n n dy + + i dx udy — — ò òò ò 则 （∵ f z¢( )连续) * * u u d i d x y x y s s n n s s æ-¶ ¶ ö æ ö ¶ ¶ ç - ÷ + - ç ÷ è ¶ ¶ ø è ø ¶ ¶ òò “òò f z( ) 解析 C R- 0
注意: 大家自然会产生这样的疑问:补充了条件后的证明定律, 实际上是更改和增加了定理条件,这对证明原来的定理 也就失去了意义。然而本定理不是这种情况, Cauchy定 理已于1900年由urt在没有条件f(-)在O内连续 的条件下证明了。后来我们也会看到,(2)在O内连续是 包含在条件()在内解析中的。所以在这里实质上并 未增加条件,也未出现循环推理, Cour sa证明引论H4。 Cauchy定理很重要,人们又称之为解析函数或积分的基 本定理
大家自然会产生这样的疑问：补充了条件后的证明定律， 实际上是更改和增加了定理条件，这对证明原来的定理 也就失去了意义。然而本定理不是这种情况，Cauchy定 理已于1900年由Coursat在没有条件 在 内连续 的条件下证明了。后来我们也会看到， 在 内连续是 包含在条件 在 内解析中的。所以在这里实质上并 未增加条件，也未出现循环推理，Coursat证明引论CH4。 Cauchy定理很重要，人们又称之为解析函数或积分的基 本定理。 注意： f z ¢( ) f z¢( ) s f z ¢( ) s s
例1:rc c 奇点z=3在l外 注意:沿闭路径积分之值为0的被积函不一定解析。 d z 如: 0但 不解析
例1： ? l 3 dz z = - ò ) 3 2 : ) 2 i z l ii z ìï - = í ï = î ) 2 l 3 dz i i z = p - ò ) 0 l 3 dz ii z = - ò ∵ 奇点 z =3 在 l 外 注意：沿闭路径积分之值为0的被积函不一定解析。 如： 2 0 ( 2) dz z = - —ò 但 2 1 (z -3) 不解析
这说明 Cauchy逆定理不存在。 问: Cauchy定理条件能否减弱? 区域 Cauchy定理是否存在? 例2:m1的上半周,走向从0到2的解 此积分直接用曲线做较困难,但sinz在全平面解析, 故积分与路径|无关,我们可取为沿实轴从到2,则 有为沿实轴从0到2,则有 sint= sinad= sinxdx=1-c0s2
这说明Cauchy逆定理不存在。 问：Cauchy定理条件能否减弱？ 区域Cauchy定理是否存在？ 例2： sin , : 1 1 l zdzl z- = ò 的上半周，走向从0到2的解， 此积分直接用曲线做较困难，但 sin z 在全平面解析， 1 l 为沿实轴从0到2，则有 1 2 0 sin sin sin 1 cos2 l l zdz = = zdz xdx= - ò ò ò 故积分与路径 无关，我们可取为沿实轴从0到2，则 有
上次课证明了 Cauchy定理,知f(z)沿其解析区 域中的任意一条分段光滑的闭合回路的积分之值 为0。 f(=)d==0 d z e.g. dz 2Ti n= 2丌由公式 2-= (2-ay0n≠1 d z 3Ch定理 不符合上述公式应用条件 被积函数有奇点=3但在围道=2外在=2上解析
上次课证明了Cauchy定理，知 f(z) 沿其解析区 域中的任意一条分段光滑的闭合回路的积分之值 为0。 ( ) 0 l f z d z = —ò e.g. ) 3 2 ? : 3 ) 2 l dz i z l z ii z ìï - = = í - ï = î —ò ) 2 l 3 dz i i z = p - —ò 由公式 2 1 ( ) 0 1 n l dz i n z a n ì p = = í - î ¹ —ò l: z- = a r 2 1 ) 0 l 3 3 z dz ii dz z z Cauchy = = - - — — ò ò ___________ 定理 不符合上述公式应用条件: 被积函数有奇点z=3但在围道 z = 2 外在 z = 2上解析
注意: ①上次已说过,虽然我们是在附加条件f(2)在内 连续下证得的,但证明过程中的附加条件可去掉。 沿围道积分为0的函数不一定在该围道内即上解析, 即 Cauchy逆定理不存在。 e. g: -少c=0,1-3=2 在-32上不解析
e.g： 但 在 上不解析。 注意： ①上次已说过，虽然我们是在附加条件 在 内 连续下证得的，但证明过程中的附加条件可去掉。 f z¢( ) s ②沿围道积分为0的函数不一定在该围道内即上解析， 即Cauchy逆定理不存在。 2 1 0, : 3 2 ( 3) l dz l z z = - = - —ò 2 1 (z - 3) z - £ 3 2
我们计算了两个函数Rez和z分别沿两条不同路径 0→>2+i直线 看到: 10→2→2+浙线 Read=2+ edz=-+2i DOA DOA 不同 3-23-2 相同 Read=2+2 i z(z=-+2i DOA DOA 我们自然会问 zdz是否等于+2 iii oA 若是,究竟哪类函数积分 与路径无关?还看到通过由积分定义计算积分看到 有了科西定理,将直接或间接地解答我们的这些疑问
我们计算了两个函数Rez和z分别沿两条不同路径 0 2 022 i i ì ® + í î ® ® + 的直线 折线 看到： ) ) Re 2 Re 2 2 i OA ii OA zdz i zdz i ì = + ï í ï = + î ò ò 不同 ) ) 3 2 2 3 2 2 i OA ii OA zdz i zdz i ì = + ïï í ï = + ïî ò ò 相同 我们自然会问 ) 3 2 iii OA 2 zdz i + ò 是否等于 若是，究竟哪类函数积分 与路径无关？还看到通过由积分定义计算积分看到： 0 2 2 0 1 z zn 2 n l zdz = - é ù z z ò ë û 有了科西定理，将直接或间接地解答我们的这些疑问
这好象实函数中用莱布尼兹公式求定积分一样: 减==(-x)其中2是x的一个函数 那么自然想到:对于复函数是否也可建立不定积分 概念?是否也有相应的 Newton-|ebn公式? 二、推论:在单连通区域中的解析的函数f(=)的积分 之值只依赖于起点与终点而与积分路径无关 设f)在内解析,,和L为σ内由A→B的 任意分段光滑曲线,则 f()-(kt=0
二、推论：在单连通区域中的解析的函数 的积分 之值只依赖于起点与终点而与积分路径无关 这好象实函数中用莱布尼兹公式求定积分一样： ( ) 0 0 2 2 0 1 2 2 x x x n x x xdx = = - x x ò 其中 是 的一个函数， 2 2 x x 那么自然想到：对于复函数是否也可建立不定积分 概念？是否也有相应的Newton-leibniz公式？ 设 f z( ) 在 s 内解析， 和 为 内由A→B的 1 l 2 l s 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 l l l l l f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz - = + = - = ò ò ò ò ò — 任意分段光滑曲线，则 f z( )
