中国科学院：《随机过程》课程教学资源（知识点讲稿）第八章 Gauss过程与 Brown运动

第八章 Gauss过程与 Brown运动 81多维正态分布 设X是n维随机变量,称X服从n维正态分布,如果它的特征函数为 (1)=exp{t14--tl},并记为X~N(A,∑)。易知,EX=,Var(X)=∑。如 果≠0,则X的分布密度为f(x)= 定理8.11:多元正态分布随机变量的边际分布仍然是正态分布 定理8.12:X~N(μ,∑)为n维正态分布台对任意n维向量t tX~N(tu,t∑t 定理8.3:X~N(山,∑)为n维正态分布,Y=AX,其中A。n为常值矩阵,则 Y~N(A,A∑A) 定理814:随机变量512的联合分布是正态分布,则512相互独立等价于51,2 不相关。 例81.1:若51253,4的联合分布为零均值的正态分布,则 E5925354=E5152E5354+E5153E5294+E5154E5253° 证明:设其特征函数为 q(1,12,1214)=Eexp(∑15k)=exp(-l2l) 设4=∑o1) 28120kA1)=exp(

第八章 Gauss 过程与 Brown 运动 8.1 多维正态分布 设 X 是 n 维随机变量，称 X 服从 n 维正态分布，如果它的特征函数为 } 2 1 (t) exp{ jt t t T T ϕ = µ − Σ ，并记为 X ~ N(µ,Σ) 。易知，EX = µ,Var(X ) = Σ。如 果 Σ ≠ 0，则 X 的分布密度为 ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − Σ − Σ = − ( ) ( ) 2 1 exp (2 ) 1 1 2 1 2 µ µ π f x x x T n 。 定理 8.1.1：多元正态分布随机变量的边际分布仍然是正态分布。 定理 8.1.2 ： X ~ N(µ,Σ) 为 n 维正态分布 ⇔ 对任意 n 维向量 t ， t X ~ N(t ,t t) 。 T T T µ Σ 定理 8.1.3： X ~ N(µ,Σ) 为n 维正态分布，Y = AX ，其中 为常值矩阵，则 。 Am×n ~ ( , ) T Y N Aµ AΣA 定理 8.1.4：随机变量 1 2 ξ ,ξ 的联合分布是正态分布，则 1 2 ξ ,ξ 相互独立等价于 1 2 ξ ,ξ 不相关。 例 8.1.1 ： 若 1 2 3 4 ξ ,ξ ,ξ ,ξ 的联合分布为零均值的正态分布，则 Eξ 1 ξ 2ξ 3ξ 4 = Eξ 1 ξ 2Eξ 3ξ 4 + Eξ 1 ξ 3Eξ 2ξ 4 + Eξ 1 ξ 4Eξ 2ξ 3。 证明：设其特征函数为 ) 2 1 ) exp( 2 1 exp( ' ) 2 1 ( , , , ) exp( ) exp( 4 1 4 , 1 , 4 1 1 2 3 4 ∑ ∑ ∑ = = = = − = − = = − Σ k k k k l k k l l k k k t t t u t t t t E j t t t σ ϕ ξ （设 ∑ ）。 = = 4 l 1 k kl l u σ t 1

=1,,,1)-(u4+∑1o4) q(1,22t1)-(a1+1)=-49(1t2,l24) a-o o(1,12t2,t4)+u1l2o(1,12t2t4) at,at, aL2 -σ12(t12t2,4)+l429p(1l2,l3n) = u,om p([2412)+24.2ot,,,)-ano,n,,) at, at, at, l3o2o(t123,t4)+(a1l2+o2l1)o(1,121,t4)-412u29(1t2,t3,t) a a,oa,.o%4,)-4口1D12,) +{c22+a31l2l14)-(a12+a)ou,,,) 0.0,,4)+24,, o(t,l2,t3,t4)-oi2ll4g(1,2,l2,t4) o{tn2,t3,t4)-( 4o(t1 (o1l2l43+a2u1l43+ol12)o(1,t2,,t1)+1l112g(12,1,t4) 从而E5525=9 12O34+13O24+23O14 at, at,at,at 4 oran,mn=-ou,1≤k,≤4 因此E1点2534=E12E34+E5153E524+E5253E5154 定理815:y=NCmD其中 >0.则給定Y2时 H1的条件分布是p维正态分布,并且条件期望和方差分别为 E(2)=1+V12V2(2-42),Vam(Y|2)=V1-V2V2V2

( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 1 1 1 1 2 3 4 4 1 1 2 3 4 1 1 1 ( )] , , , 2 1 , , , [ ( )] 2 1 , , , [ t t t t u u u t t t t t t t t u t t k k k ϕ ϕ ϕ σ ϕ = − + = − = − + ∂ ∂ ∑= ( ) ( ) ( ) ( ) 12 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , , t t t t u u t t t t t t t t u u t t t t t u t t σ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = − + + ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ( ) ( , , , ) ( , , , ) , , , , , , , , , 3 12 1 2 3 4 13 2 23 1 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 3 1 2 3 12 1 2 3 4 3 2 1 3 u t t t t u u t t t t u u u t t t t t t t t u u u t t t t t u u u t t t t t t t σ ϕ σ σ ϕ ϕ σ ϕ ϕ ϕ ϕ = + + − − ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂ kl l k t u σ 。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 14 2 3 24 1 3 34 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 13 24 23 14 1 2 3 4 13 2 23 1 4 1 2 3 4 12 34 1 2 3 4 12 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4 1 2 3 1 2 3 4 13 2 23 4 1 2 3 4 4 1 23 4 2 12 12 1 2 3 4 3 4 12 1 2 3 4 4 3 4 3 2 1 4 ( ) , , , , , , ( ) , , , ( ) , , , , , , , , , , , , , , , [ ] , , , ( ) , , , , , , , , , 1 u u u u u u t t t t u u u u t t t t t t t t u u u t t t t t t t t u u t t t t t t t t u u u u t t t t t u u u t t t t u u t t t t t u t u t t t t u u t t t t t u t t t t u σ σ σ ϕ ϕ σ σ σ σ ϕ σ σ ϕ σ σ ϕ σ ϕ ϕ ϕ σ σ ϕ σ σ ϕ σ ϕ σ ϕ ϕ − + + + + + − + = − + ∂ ∂ − − + ∂ ∂ + ∂ ∂ + − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 从而 0 12 34 13 24 23 14 1 2 3 4 4 1 2 3 4 | σ σ σ σ σ σ ϕ ξ ξ ξ ξ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = t= t t t t E t kl l k k l t t E σ ϕ ξ ξ = − ∂ ∂ ∂ = =0 2 | ，1 ≤ k,l ≤ 4 因此 Eξ 1 ξ 2ξ 3ξ 4 = Eξ 1 ξ 2Eξ 3ξ 4 + Eξ 1 ξ 3Eξ 2ξ 4 + Eξ 2ξ 3Eξ 1 ξ 4。 定理 8.1.5：设 。则给定 时 的条件分布是 ~ ( , ), , 0 21 22 11 12 2 1 2 1 >⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = V V V V N V V Y Y Y p q µ µ µ 其中µ Y2 Y1 p 维正态分布，并且条件期望和方差分别为 ： ( ) ( ) 21 1 2 2 1 2 11 12 22 1 1 2 1 12 22 E Y | Y V V (Y ), Var Y | Y V V V V − − = µ + − µ = − 。 2

证明:定义 1222 B 1-22,则“是正态分布, 01人y2 Y2 且 1 2 BArly B V1-V22210 这表明 H1-V122Y2和Y2是独立的,因此给定Y2,H的条件分布是p维正态分布 E(x1|x2)=E(1-V2F2Y2+222|y2)=E(x1|y2)=A1+V2l2(x2 ar(x|2)=ar(x-F1F2y2+F222|2)=a(1-V2F2Y2|y2)=V1-V2F22 82Gau过程 定义82.1:随机过程X(),t∈T称为Gaus过程,如果对于任意的n, ,2…tn∈T,随机向量(X(1)X(2)…X(tn)为n维正态分布,即其特征函数 为 a,…,un)=exp∑u1(4)-∑∑ur(2) 其中少()=EX(),r(s,t)=cov(X(s),X() 引理82:x=(x1",…,x)是k维实正态随机序列,如果x均方收敛于 X,即X(均方收敛于X1≤i≤k,那么X是k维正态随机向量 证明:令1 ()…,),m=EX=(…,山) ()=E( )( ),=(G 叨人k×k E(X-)(X-) 由X均方收敛于X知lim1"=p,limo/=on,1≤i,l≤k,从而 u xpijuu-ou 为 imx=X, limp(u)=p(n),o{)是X的特征函数 故 o()=exp{n-nxn,从而x是k维正态随机向量

证明：定义 ，则 是正态分布， 且 ，这表明 是独立的，因此给定 ， 的条件分布是 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 2 2 1 1 12 22 2 1 1 12 22 0 Y Y V V Y By Y Y I I V V v u q p ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ v u ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 22 21 1 11 12 22 2 2 1 1 12 22 0 0 , ( ) ' V V V V V BVar y B v u Var V V v u E µ µ µ 2 2 1 Y1 V12V22 Y 和Y − − Y2 Y1 p 维正态分布。 ( ) | ( | ) ( | ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 12 22 1 2 12 22 1 1 2 = 1 − 12 22 + = = µ + − µ − − − E Y Y E Y V V Y V V Y Y E Y Y V V Y ( ) ( ) ( ) 21 1 2 2 11 12 22 1 2 2 1 12 22 1 2 12 22 1 1 2 1 12 22 Var Y | Y Var Y V V Y V V Y | Y Var Y V V Y | Y V V V V − − − − = − + = − = − 8.2 Gauss 过程 定义 8.2.1：随机过程 X (t),t ∈T 称为 Gauss 过程，如果对于任意的 ， ，随机向量 n t1 ,t2 ,Ltn ∈T ( ( ) ( ) ( ) T n X t , X t ,LX t 1 2 ) 为 维正态分布，即其特征函数 为 n ( ) ( ) l k n l n k l k n l t t t n l l u u j u t u u t t n , 2 1 , , exp ( ) 1 1 1 1 , 2 , 1 = ∑ − ∑∑ Γ = = = ϕ L L µ 其中µ( )t = EX (t) ，Γ( ) s,t = cov(X (s), X (t))。 引理 8.2.1： ( ) 是 维实正态随机序列，如果 T n k n n X X X ( ) ( ) 1 ( ) = ,L, k (n) X 均方收敛于 X ，即 Xi (n) 均方收敛于 X i k i ,1 ≤ ≤ ，那么 X 是k 维正态随机向量。 证明：令 ( ) , , , ( ) , , , 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) T k T n k n n n µ = EX = µ L µ µ = EX = µ L µ ( ) n n n n T k k n ij n E(X )(X ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Σ = σ = − µ − µ × , ( ) T k k Σ = σ ij = E(X − µ)(X − µ) × , 由 (n) X 均方收敛于 X 知 l n l il n il i l k ，从而 n = = ≤ ≤ →∞ lim ,lim ,1 , ( ) µ µ σ σ ( ) } 2 1 } exp{ 2 1 exp{ ( ) ( ) u ju u u ju u u T n T n T T ϕ n = µ − Σ → µ − Σ ，因为 X X u u (u) n n n n lim ,limϕ ( ) ϕ( ),ϕ ( ) = = →∞ →∞ 是 X 的特征函数，故 ( ) } 2 1 u exp{ ju u u T T ϕ = µ − Σ ，从而 X 是k 维正态随机向量。 3

定理821:设{X(1),【∈T}是均方可微的Guss过程,那么{X(,t∈T}也是 Gauss 过程 推论8.,1:设Y()是 Gauss过程,EX()=p(t),cov(X(s),X()=I(s,1),X(1)均 方可微。那么对于任意的n,l,12…,n∈T,(X'(1)…,X(tn)的特征函数是 ar(s, la n)=eXp{∑n1(4)-∑∑1 定理822:如果{X()∈T}是均方可积Gas过程,那么Y()=「X(s)d也是 auss过程。 证明:只需证明对于任意的n,1,l2…,tn∈T,(Y(1)…,Y(n)是n维正态随机向 由于 Y()=∫X(s)ds=m∑X(s)A△s,其中a=S0<…<Sn=1 =max(S,-S,1), 再由引理82.1和上一节定理8.1.2立得。 推论82.2:{X()t∈}是均方可积 Gauss过程,EX(l)=p(t), r(s)=co(x(s)xX(),YO)=X(s)。那么对于任意的n12…;tn∈T, (Y(1),…Y(tn)的特征函数是 u(s)ds 83 Brown运动

定理8.2.1：设 是均方可微的Gauss过程，那么 也是Gauss 过程。 {X (t),t ∈T} {X '(t),t ∈T} 推论 8.2.1：设 X (t)是 Gauss 过程，EX (t) = µ(t),cov(X (s), X (t)) = Γ(s,t)， 均 方可微。那么对于任意的 X (t) n,t1 ,t2 ,L,tn ∈T ， 的特征函数是 T n (X '(t ), , X '(t )) 1 L ( )} , 2 1 ( , , , ) exp{ '( ) 2 1 1 1 1 , 2 , , 1 2 s t s t u u u j u t u u n l n k l k n l n l l X t t tn ∂ ∂ ∂ Γ = ∑ − ∑∑ = = = ′ ϕ L L µ 。 定理 8.2.2：如果 是均方可积 Gauss 过程，那么 也是 Gauss 过程。 {X (t),t ∈T} ∫ = t a Y(t) X (s)ds 证明：只需证明对于任意的 是 维正态随机向 量。由于 T n n n,t ,t , ,t T,(Y(t ), ,Y(t )) 1 2 L ∈ 1 L n ∫ ∑= − ∆ → ≤ ≤ = = ∆ = < < = ∆ = − k k k k k kn t a n l i i i n k l l n k n Y t X s ds X s s a s s t s s 1 1 1 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ,其中 L , max( )， 再由引理 8.2.1 和上一节定理 8.1.2 立得。 推 论 8.2.2 ： {X (t),t ∈T} 是均方可积 Gauss 过 程 ， EX (t) = µ(t) ， ， 。那么对于任意的 ， 的特征函数是 Γ( ) s,t = cov(X (s), X (t)) ∫ = t a Y(t) X (s)ds n,t1 ,t2 ,L,tn ∈T T n (Y(t ), ,Y(t )) 1 L ( ) ( ) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − Γ ∑ ∫ ∑∑ ∫∫ = = = l l k n t a t a n l t a n l n k n l l k Y t t t u u j u s ds u u s,t dsdt 2 1 , , exp ( ) 1 1 1 ϕ 1 , 2 ,L, 1 L µ 。 8.3 Brown 运动 4

先讨论对称随机游动,此游动每个单位时间等可能地向左或向右走一个单位 格子。现假设每隔Mt的时间等概率地向左或向右走Ax大小的位移。若以X()记 t时刻的位置,则 X(O)=△(x1+x2+…Xba) 1若长Δx的第步向右 其中X -1若长Ax的第涉步向左且诸x,相互独立 P(X2=1)==P(X1=-1)。因此EX()=0,ar(X()=(△x)1 现令 △,△x→>0,但要使得极限过程是非平凡的(例如若令Ax=M,再令M→0,则 EX(O)a(X(1)→>0,从而X()→0,as),故令Ax=a√M,再令M→0时 EX()=0,ar(Y()→σ2t。再由中心极限定理可见此极限过程 X()~N(0,a2t)。此外随机游动的值在不相重叠的时间区间中的变化是独立的, 位置的变化分布只依赖于区间长度,因此X(),t≥0应有平稳的独立增量。 定义831:随机过程{W(),t≥0}称为 Brown运动或 Wiener过程,若: 1)W(0)=0 2)W()为平稳的独立增量过程 3)对任意t>0,W()~N(0,a2t)。 如果W()~N(μ·t,σ21),则称W()为有漂移的 Brown运动,μ为漂移参数。对 于BoW运动W(),如果a2=1,称为标准 Brown运动。如果a2≠1f() 标准 Brown运动。 Brown运动是 Gauss过程,均值函数为0,协方差函数 I(s,)=EW(s()=a2min(s,l),而且它还是 Markov过程 定义8.3.2:随机过程{()t≥0}称为 Brown运动,若 1)W(0)=0

先讨论对称随机游动，此游动每个单位时间等可能地向左或向右走一个单位 格子。现假设每隔∆t 的时间等概率地向左或向右走∆x 大小的位移。若以 记 时刻的位置，则 X (t) t [ ] ( ) X X X t t X t x = ∆ 1 + 2 + / ∆ ( ) L ， 其 中 且 诸 相互独立， ⎩ ⎨ ⎧ − ∆ ∆ = 1 若长 的第 步向左 1 若长 的第 步向右 x i x i Xi Xi ( 1) 2 1 P(Xi = 1) = = P Xi = − 。因此 EX (t) = 0 ， ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ = ∆ t t Var X t x 2 ( ) 。现令 ∆t,∆x → 0 ，但要使得极限过程是非平凡的(例如若令∆x = ∆t ，再令 ，则 ，从而 )，故令 ∆t → 0 EX (t),Var( ) X (t) → 0 X (t) → 0,a.s. ∆x = σ ∆t ，再令 时 ， ∆t → 0 EX (t) = 0 Var(X t ) t 2 ( ) → σ 。再由中心极限定理可见此极限过程 。此外随机游动的值在不相重叠的时间区间中的变化是独立的， 位置的变化分布只依赖于区间长度，因此 应有平稳的独立增量。 ( ) ~ (0, ) 2 X t N σ t X (t),t ≥ 0 定义 8.3.1：随机过程{W (t),t ≥ 0}称为 Brown 运动或 Wiener 过程，若： 1) W (0) = 0； 2) W (t) 为平稳的独立增量过程； 3) 对任意t > 0,W (t) ~ N(0,σ2 t)。 如果W (t) ~ N(µ ⋅t,σ2 t) ，则称W (t) 为有漂移的 Brown 运动，µ 为漂移参数。对 于 Brown 运动W (t) ，如果σ2 = 1，称为标准 Brown 运动。如果 σ σ ( ) 1, 2 W t ≠ 是 标准 Brown 运动。Brown 运动是 Gauss 过程，均值函数为 0，协方差函数 Γ( ) s,t = EW (s)W (t) = σ2 min(s,t)，而且它还是 Markov 过程。 定义 8.3.2：随机过程{W (t),t ≥ 0}称为 Brown 运动，若： 1) W (0) = 0； 5

2)W()为独立增量过程; 3)对任意t>s>0,W(t)-W(s)~N(0,a2(t-s)。 定理8.3.1:定义1◇定义2。 作为一物理现象, Brown运动由英国植物学家 Brown于1827年发现。著名 物理学家 Einstein在1905年首次从物理的角度给出 Brown运动的一个解释。设 W()表示一个粒子在 Brown运动中x方向的位移,由于 Brown运动的转移是平 稳的,不依赖于起始时刻,故不妨假设初始时刻的位置为x,即X(O)=x p(x,1x)表示在X(0)=x0的条件下X()的条件概率密度, Einstein从物理的原理 证明p(x,4x)满足一个扩散方程 ap n a D 在一般条件下上方程的唯一解为 p(x,x0)= expY 2丌(2D)n (2D)2t Wiener在他1918年博士论文中以及后续文章中给出 Brown运动的精确数学描 述 以下不特别指明所说的 Brown运动是指标准的 Brown运动,即a2=1。 定理83.2:设{(1),1≥0}是标准 Brown运动,任給定n个时刻0<t1<l2…<Ln, 若用f、(x,x2…x,)记(X(4),X(2)…x(n)的联合分布密度,则 )=P2(x1)P-(x2-x1)…P 其中P(x)= 2丌·t

2) W (t) 为独立增量过程； 3) 对任意t > s > 0,W (t) −W (s) ~ N(0,σ2 (t − s))。 定理 8.3.1：定义 1⇔ 定义 2。 作为一物理现象，Brown 运动由英国植物学家 Brown 于 1827 年发现。著名 物理学家 Einstein 在 1905 年首次从物理的角度给出 Brown 运动的一个解释。设 W (t) 表示一个粒子在 Brown 运动中 x 方向的位移，由于 Brown 运动的转移是平 稳的，不依赖于起始时刻，故不妨假设初始时刻的位置为 x0 ，即 X (0) = x0 ， ( , ) 0 p x t x 表示在 的条件下 的条件概率密度，Einstein 从物理的原理 证明 0 X (0) = x X (t) ( , ) 0 p x t x 满足一个扩散方程 2 2 x p D t p ∂ ∂ = ∂ ∂ 在一般条件下上方程的唯一解为 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − − 2 0 0 ( ) (2 )2 1 exp 2 (2 ) 1 ( , ) x x D t D t p x t x π 。 Wiener 在他 1918 年博士论文中以及后续文章中给出 Brown 运动的精确数学描 述。 以下不特别指明所说的 Brown 运动是指标准的 Brown 运动，即 1。 2 σ = 定理 8.3.2：设 是标准 Brown 运动，任给定n 个时刻 ， 若用 记( 的联合分布密度，则 {W (t),t ≥ 0} n < t < t L < t 0 1 2 ( , ) t 1 ,t2 t 1 2 n f x x x L n L ( ), ( ), ( )) 1 2 n X t X t LX t ( , ) ( ) ( ) ( ) t 1 ,t2 t 1 2 n = t1 1 t2 −t1 2 − 1 t −t −1 n − n−1 f x x x p x p x x p x x L n L L n n 其中 t x t e t p x 2 2 2 1 ( ) − ⋅ = π 。 6

定理8.3.3:( Donsker(1951)“不变性原理”, Invariance Principle)设Xn,n≥1为 零均值的独立同分本随机序列有有服的方差a2>0,令S0=0,Sn=∑X,记 为实数x的整数部分,定义(0=m1≥0,对固定的,则当n→时, (1)的任意有限维分布趋于标准 Brown运动的有限维分布(也就是说Wn()的 极限过程就是标准的 Brown运动) 84 Brown运动的性质 性质841: Brown运动的几乎每条样本轨道是连续的,对几乎每条样本轨道上 的任意一点,其导数都不存在。 性质842:设W(1),t≥0}是标准 Brown运动,则: 1)W(1)=-(1),1≥0,(对称) tw-lr>0 W1( ,(逆时间) 0.t=0 3)m)=cH(21,任意国定c>0,(剡度不变) )W3()=W(+h)-W(h),任意固定h>0,(平移不变) 仍然是标准 Brown运动。 性质843:(强 Markov性设W()为标准 Brown运动,则对几乎处处有限停时r 过程W'(1)=W(r+1)-W(r),t≥0仍然为标准Brow运动,并且与r独立。 对于 Brown运动,定义n=inf>o()=a,表示 Brown首次到达状态a 的时刻

定理 8.3.3：(Donsker(1951)“不变性原理”，Invariance Principle)设 为 零均值的独立同分布随机序列有有限的方差 ，令 X n ,n ≥ 1 0 2 σ > S0 = 0 ， ，记 为实数 ∑= = n i Sn Xi 1 [x] x 的整数部分，定义 ( ) , 0 [ ] = t ≥ n S W t nt n σ ，对固定的 ，则当 时， 的任意有限维分布趋于标准 Brown 运动的有限维分布(也就是说 的 极限过程就是标准的 Brown 运动)。 t n → ∞ W (t) n W (t) n 8.4 Brown 运动的性质 性质 8.4.1：Brown 运动的几乎每条样本轨道是连续的，对几乎每条样本轨道上 的任意一点，其导数都不存在。 性质 8.4.2：设{W (t),t ≥ 0}是标准 Brown 运动，则： 1) ( ) ( ), 0 W1 t = −W t t ≥ ，(对称) 2) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎟ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 0, 0 , 0 1 . ( ) 1 t t t tW W t ，(逆时间) 3) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 . ( ) c t W t cW ，任意固定c > 0 ，(刻度不变) 4) . ( ) ( ) ( )，任意固定 ，(平移不变) W3 t = W t + h −W h h > 0 仍然是标准 Brown 运动。 性质 8.4.3：(强 Markov 性)设W (t) 为标准 Brown 运动，则对几乎处处有限停时τ ， 过程W * (t) = W (τ + t) −W (τ ),t ≥ 0仍然为标准 Brown 运动，并且与τ 独立。 对于 Brown 运动，定义Ta = inf{t > 0W (t) = a}，表示 Brown 首次到达状态 的时刻。 a 7

性质844:(反射原理 reflection principle)对任意停时x, Brown运动W(t)的反 射过程W(1)与 Brown远动有相同分布,其中 W(0)=W(min(L, r)-()-w(min(, r)]=w(O) t0,W()=a},a>0,那么 P(T≤D) Vr dy 证明:Pr2)=PO2a.Ts0+PUO2a>D (第二项是0)。由反 P(W(D)≥a,T

性质 8.4.4：(反射原理 reflection principle)对任意停时τ ，Brown 运动 的反 射过程 W (t) W (t) ) 与 Brown 运动有相同分布，其中 ⎩ ⎨ ⎧ − = − − = 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (min( , )) [ ( ) (min( , ))] W W t W t W t W t W t W t τ τ τ ) τ τ ≥ 0,W (t) = a}, a > 0，那么 P T t e dy t a y a ∫ ∞ − ≤ = 2 2 2 ( ) π 。 证明： ( ) ( ( ) , ) ( ) ( ( ) , ) ( ( ) , ) P W t a T t P W t a P W t a T t P W t a T t a a a = ≥ ≤ ≥ = ≥ ≤ + ≥ > （第二项是 0）。由反 8

射原理 pO2as)=pro2o≤ p(wC ()≥ans)=1 2=Po0ss)因此 PW()≥a,Tn≤t)=P(Cn≤D)。 P(T。≤D)=2P(W(m)≥a) d 密度函数为f(t)= a|>0。 exp(2t 由性质845,P(T<∞)=limP(T。<t) 2=1。对每条样本 轨道,不管a多大,总能在某个时刻到达a,但首次到达a所需平均时间 t→∞时 27t 2 √2G=0,从而En 性质846:设W(1)为标准 Brown运动,s<t,在给定W(l)=a的条件下W(s)的 条件分布为正态分布N as s(t-s 85极大过程( maximum process与反正弦率( arcsine law) 设W()为标准 Brown运动,令M(1)=maxW(s),称为极大过程( maximum 定理85:M()的密度函数为(x)={2/exx2 0.x<0

射原理 P(W t aT t) P(W t aT t) ˆ ( ) ≥ a ≤ = ( ) ≥ a ≤ 故 P( ) W t aT t P( ) W t aT t ≥ a ≤ = = ( ) ≤ a ≤ 2 1 ( ) 。因此 ( ) ( ) 2 1 P W (t) a,T t P T t ≥ a ≤ = a ≤ 。 ∫ ∫ ∞ ∞ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ = ≥ = − a t a y a dx e dy t x t P T t P W t a 2 2 2 2 2 exp 2 2 ( ) 2 ( ( ) ) π π ， 密度函数为 , 0 2 exp 2 ( ) 2 3 > ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − t t a t a f t Ta π 。 由性质 8.4.5， ∫ ∞ →∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ < ∞ = < = − 0 2 1 2 exp 2 ( ) lim ( ) dy y P T P T t a t a π 。对每条样本 轨道，不管 a 多大，总能在某个时刻到达 a ，但首次到达 a 所需平均时间 ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = − 0 2 2 0 0 3 2 exp 2 2 exp 2 ( )dt dt t a t a dt t a t a ET tf t t Ta a π π ，由于 = ∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → ∞ − ∫ ∞ π π δ t dt t a t a t a t , 2 ~ 2 exp 2 , 2 时 ，从而 ETa = ∞ 。 性质 8.4.6：设W (t) 为标准 Brown 运动，s < t ，在给定W (t) = a 的条件下 的 条件分布为正态分布 W (s) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − t s t s t as N ( ) , 。 8.5 极大过程(maximum process)与反正弦率(arcsine law) 设W (t) 为标准 Brown 运动，令 ( ) max ( ) 0 M t W s ≤s≤t = ，称为极大过程(maximum process)。 定理 8.5.1： M (t)的密度函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ ⋅ = − 0, 0 , 0 2 2 ( ) 2 ( ) 2 x e x t f x t x M t π 。 9

证明:对x20,P(M)2x)=Pm2x,≤0)= dy,求导即 得。(PM()2x)=Pmax()2x=2P(0≥x)称为Ley等式) 定理852:设W(1)为标准 Brown运动,则{(t),M()的联合分布密度为 2(21 ≥x,y≥0 W()M() (x,y)= 0. otherwise 证明:对y2x,y≥0,P()x,M()2y)=P(≤xT,≤),由反射原理 P()≤xr,s)=PW()22y-x,7,≤),故 PW(t)≤x,M()≥y)=P()22y-x,M(t)≥y) =P(1)≥2y-x) e 2i dc 然后在对x,y求偏导即得。 设x~U(0,2z)均匀分布,Y=sin2x,则P(Y≤)=- arcsinE,t∈[0,称 随机变量Y服从反正弦率( arcsine law),密度函数为f(y) (1-y),0≤y 由于Y与Z=c0s2X同分布,但z=1-Y,即Y与1-Y同分布,故Y关于对称。 定理8.53:( arcsine law)设W(),t≥0为标准 Brown运动 1)设t2>1>0,W()在区间(t12)上无零点的概率为p,则 p=-arcsin 2)令=sPW()=0:∈D.7,则Prsx)=2axsm1,x∈

证明：对 x ≥ 0， ( ) ( ) ∫ ∞ − ≤ ≤ ≥ = ≥ = ≤ = t x y x s t P M t x P W s x P T t e dy 2 0 2 2 ( ) max ( ) ( ) π ，求导即 得。( P( ) M t x P( W s x) P(W t x) s t ≥ = ≥ = ≥ ≤ ≤ ( ) max ( ) 2 ( ) 0 称为 Levy 等式) 定理 8.5.2：设W (t) 为标准 Brown 运动，则(W (t),M (t))的联合分布密度为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≥ ⋅ − = − − otherwise e y x y t y x f x y t y x W t M t 0, , , 0 2 2(2 ) ( , ) 2 (2 ) 3 ( ), ( ) 2 π 。 证明：对 y ≥ x, y ≥ 0 ， P( ) W t x M t y P(W t x T t) ( ) ≤ , ( ) ≥ = ( ) ≤ , y ≤ ,由反射原理 P(W t x T t) P(W t y x T t) ( ) ≤ , y ≤ = ( ) ≥ 2 − , y ≤ ，故 ( ) ( ) ( ) ∫ − −∞ − = = ≥ − ≤ ≥ = ≥ − ≥ y x t z e dz t P W t y x P W t x M t y P W t y x M t y 2 2 2 2 1 ( ) 2 ( ) , ( ) ( ) 2 , ( ) π 。 然后在对 x, y 求偏导即得。 设 X ~ U(0,2π )均匀分布，Y = sin2 X ，则 arcsin , [0,1] 2 P(Y ≤ t) = t t ∈ π ，称 随机变量Y 服从反正弦率(arcsine law)，密度函数为 (1 ),0 1 1 f ( y) = y − y ≤ y ≤ π 。 由于Y 与Z = cos 2 X 同分布，但Z = 1 , −Y 即Y 与1− Y 同分布，故Y 关于 2 1 对称。 定理 8.5.3：(arcsine law)设W (t),t ≥ 0为标准 Brown 运动： 1) 设 t2 > t1 > 0 ， W (t) 在区间 (t1 ,t2 ) 上无零点的概率为 p ， 则 2 1 arcsin 2 t t p π = ； 2) 令τ = sup{ } tW (t) = 0,t ∈[0,T] ，则 sin , [0, ] 2 ( ) x T T x P ≤ x = arx ∈ π τ ； 10