第五节函数的幂级数展开式的应用 四一、近似计算 计算定积分 巴三、求数项级数的和 四、欧拉公式 四五、小结思考题
一、近似计算 A=a1+a2+…+an+ n A≈1+ +∴+a 2 误差rn= n+1+an+2 两类问题 1给定项数求近似值并估计精度; 2给出精度确定项数 牛关健通过估计余项确定精度或项数 上页
一、近似计算 , A = a1 + a2 ++ an + , A a1 + a2 ++ an . 误差 rn = an+1 + an+2 + 两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关健:通过估计余项,确定精度或项数
常用方法: 1若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2若不是交错级数,则放大余和中的各项使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和 中例1计算e的近似值使其误差不超过05 工工工 解!=1+x+x2+…+x"+ 2! 令x=1,得e1+1+++mt 上页
常用方法: 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 例1 , 10 . 计算 的近似值 使其误差不超过 −5 e 解 , ! 1 2! 1 1 x = + + 2 ++ x n + n e x x 令 x = 1, , ! 1 2! 1 1 1 n 得 e + + ++
余和: 1 十 十 (1 十 (n+1)!(n+2)! (n+1)!n+2 1 1 ≤ 十 十 (n+1)!n+1(n+12 n 欲使r≤105,只要,≤1035, n·n 即nm≥105,而88!=322560>10 11 e≈1+1+++…+,≈2.71828 2!3! 8 上页
余和: + + + + ( 2)! 1 ( 1)! 1 n n rn ) 2 1 (1 ( 1)! 1 + + + + = n n ) ( 1) 1 1 1 (1 ( 1)! 1 2 + + + + + + n n n ! 1 n n = 10 , −5 欲使 rn 10 , ! 1 −5 n n 只要 ! 10 , 5 即n n 8 8! 322560 10 , 5 而 = 8! 1 3! 1 2! 1 e 1+ 1+ + ++ 2.71828
3 例2利用sinx≈x-计算sin9的近似值, 3! 并估计误差 解sin9= 元 元 SIn 2020620 1兀 2|≤ 02)5< <10-5 5!20120 300000 ∴sin90≈0.157079-0.00046≈0156433 其误差不超过10-5. 上页
例2 . sin9 , 3! sin 0 3 并估计误差 利用 计算 的近似值 x x x − 解 20 sin9 sin 0 = ) , 20 ( 6 1 20 3 − 5 2 ) 20 ( 5! 1 r 5 (0.2) 120 1 300000 1 10 , −5 sin9 0.157079 0.000646 0 − 0.156433 其误差不超过 . 5 10−
二、计算定积分 例如函数ex, 2 sinx 1 ,原函数不能用初等 nd 王函数表示难以计算其定积分 工工工 解法「被积函数 定积分的近似值 展开成幂级数 逐项积分 上页
二、计算定积分 , . , ln 1 , sin , 2 函数表示 难以计算其定积分 例如函数 原函数不能用初等 x x x e − x 解法 展开成幂级数 逐项积分 被积函数 定积分的近似值
例3计算 a的近似值,精确到0 解 sInd 1-x2+2x4-x6+…x∈(-∞,+) 3! 5 7! Sinx dx= 1 十 OX 3·3!5·5!7.7 收敛的交错级数 第四项 < <10 工工工 7·7!3000 取前三项作为积分的近似值得 I sinx d≈l--1+1≈094611 0 X 3·3!5.5! 上页
第四项 3000 1 7 7! 1 10 , −4 取前三项作为积分的近似值,得 5 5! 1 3 3! 1 1 1 sin 0 + − dx x x 0.9461 例3 , 10 . sin 4 1 0 − 计算 dx的近似值 精确到 x x = − 2 + 4 − 6 + 7! 1 5! 1 3! 1 1 sin x x x x x 解 x(−,+) + − + = − 7 7! 1 5 5! 1 3 3! 1 1 1 sin 0 dx x x 收敛的交错级数
三、求数项级数的和 1.利用级数和的定义求和: (1)直接法;(2)拆项法;(3)递推法 例4求∑ 2n2的和 arctan 解 S,=arctan 2 s arctan -+arctan -= arctan 28=arctan 2 8 23 l一 28 王页下
三、求数项级数的和 1.利用级数和的定义求和: (1)直接法; (2)拆项法; (3)递推法. 例4 . 2 1 arctan 1 求 2 的和 n= n 解 , 2 1 s1 = arctan 8 1 arctan 2 1 s2 = arctan + 8 1 2 1 1 8 1 2 1 arctan − + = , 3 2 = arctan
3 3=s,tartan o=arctan +arctan=arctan s 假设s -1 k-1=arctan -1 k Sk= arctan+arctan=arctan / 2k +1 n S= arctan n n+1 → arctan=(n→>∞) 故∑ arctan 必S4 4 上页
18 1 arctan 3 2 = arctan + 18 1 s3 = s2 + arctan , 4 3 = arctan arctan1 1 arctan → + = n n sn ( ) 4 → = n . 2 4 1 arctan 1 2 = n= n 故 , 1 1 arctan k k sk − 假设 − = 2 2 1 arctan 1 arctan k k k sk + − = , 1 arctan + = k k
2阿贝尔法(构造幂级数法): oo ∑an=im∑nx,求得s(x)=∑anx", n=0 =0 n=0 ∑an=lim(x).(逐项积分、逐项求导) n=0 x→ 工工工 例4求∑ 2n-1的和 2 解令(x)=∑2x2"2,(√2,2) n=1 上页
2.阿贝尔法(构造幂级数法): lim , 0 1 0 n n n x n an a x → = = − = ( ) , 0 n n s x an x = 求得 = lim ( ). 1 0 a s x x n n → − = = (逐项积分、逐项求导) 例4 . 2 2 1 1 求 的和 = − n n n 解 , 2 2 1 ( ) 2 2 1 − = − = n n n x n 令 s x (− 2, 2)
