第四节一阶线性微分方程 巴一、线性方程 巴二、伯努利方程 巴三、小结思考题
生一、线性方程 阶线性微分方程的标准形式: + P()y=e(x 当Q(x)≡0,上方程称为齐次的 当Q(x)与0,上方程称为非齐次的 例如 dr +x2 d x y = xsint+t2,线性的; t yy-2xy=3,y'-cosy=1,非线性的
P(x) y Q(x) dx dy + = 一阶线性微分方程的标准形式: 当Q(x) 0, 上方程称为齐次的. 当Q(x) 0, 上方程称为非齐次的. 一、线性方程 例如 , 2 y x dx dy = + sin , 2 x t t dt dx = + yy − 2xy = 3, y − cos y = 1, 线性的; 非线性的
阶线性微分方程的解法 y 1.线性齐次方程+P(x)y=0 4(使用分离变量法) dy 牛=-P(x)d,∫ dy y=-」P(x)k, J y 生my=Px)+mC P(x)dx 王齐次方程的通解为y=Ce 上页
+ P(x) y = 0. dx dy P(x)dx, y dy = − ( ) , = − P x dx y dy ln y = − P(x)dx + lnC, 齐次方程的通解为 . ( ) = − P x dx y Ce 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法)
庄2线性非齐次方程4+P()y=Q(x) 讨论:女=x P(x)dx, J 生两边积分y=-Prx), 设∫b为(x,:h=(x-P(), 即p=ee-n),非齐方程通解形式 与齐方程通解相比:C→以(x) 上页
2. 线性非齐次方程 P(x) y Q(x). dx dy + = 讨论 ( ) , ( ) P x dx y Q x y dy = − 两边积分 ( ) , ( ) ln = dx − P x dx y Q x y ( ), ( ) dx v x y Q x 设 为 ln ( ) ( ) , y = v x − P x dx . ( ) − ( ) = v x P x dx 即 y e e 非齐方程通解形式 与齐方程通解相比: C u(x)
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 实质:未知函数的变量代换 新未知函数以(x)→原未知函数y(x), 工工工 作变换y=u(x)e P(x)dx P(x)dx P(x)dx y=u(ce +u(xlp(xle 上页
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 新未知函数 u(x) 原未知函数 y(x), 作变换 = − P x dx y u x e ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )] , ( ) ( ) + − = − P x d x P x d x y u x e u x P x e
将和y代入原方程得(x)e P(x)dx =Q(x) 积分得u(x)=「Q(x P(x)de dx+C, 阶线性非齐次微分方程的通解为: 工工工 y=」(x ∫P( x)dx dx+Cle P(xdx P(x)dx P(x)dx s=Ce e foce pe 对应齐次 非齐次方程特解 方程通解 上页
将y和y代入原方程得 ( ) ( ) , ( ) u x Q x e dx C P x d x + = ( ) ( ), ( ) u x e Q x P x dx = − 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: + = − P x d x P x d x y Q x e dx C e ( ) ( ) [ ( ) ] Ce e Q x e dx P x d x P x d x P x d x + = − ( ) − ( ) ( ) ( ) 对应齐次 方程通解 非齐次方程特解
例1求方程y+-y SIn d 的通解 sInx 解P(x)= Q(x)= SInd dx x'ex dx+C =cx(温mx,cm+C Gsin xdx+C)=cos x+c) 上页
. 1 sin 求方程 的通解 x x y x y + = , 1 ( ) x P x = , sin ( ) x x Q x = = + − e dx C x x y e d x x d x x1 1 sin = + − e dx C x x e ln x sin ln x = ( xdx + C ) x sin 1 ( cos ). 1 x C x = − + 解例 1
上例2如图所示,平行与轴的动直线被曲 线y=f(x)与y=x3(x≥0截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积,求曲线∫(x) 解f(x)dc=√(x3-y)2 2 0 y y=x x 庄=xy 两边求导得y+y=3x2 y=f(r) x 解此微分方程 上页
例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . y y = f (x) ( 0) 3 y = x x f (x) ( ) ( ) , 3 2 0 f x dx x y x = − = − x ydx x y 0 3 , 两边求导得 3 , 2 y + y = x 解 解此微分方程 x y o x P Q 3 y = x y = f (x)
2 y'+y=3x d c+[3x edx =Cex+3x2-6x+6, 由yl==0,得C=-6, 所求曲线为y=3(-2ex+x2-2x) 上页
+ = − y e C x e dx dx dx 2 3 3 6 6, 2 = + − + − Ce x x x | 0, 由 y x=0= 得 C = −6, 所求曲线为 3( 2 2 ). 2 y e x x x = − + − − 2 y + y = 3x
士 牛二、伯努利方程 伯努利( bernoulli)方程的标准形式 +P(x)y=Q(x)y"(n≠0,1) dx 当n=0,时,方程为线性微分方程 王当m≠0时,方程为非线性微分方程 解法:需经过变量代换化为线性微分方程. 上页
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 n P x y Q x y dx dy + ( ) = ( ) (n 0,1) 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 二、伯努利方程 当n 0,1时， 当n = 0,1时， 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程
