不定积分 习题课
不定积分 习题课
、主要内容 原函数 不定积分 选择u有效 分部 积分法积分 直接基 积分法本 积分 方‖第一换元法 几种特殊类型表 法‖第二换元法 函数的积分
积分法 原 函 数 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 第一换元法 第二换元法 直接 积分法 分部 积分法 不 定 积 分 几种特殊类型 函数的积分 一、主要内容
基本积分表 (1)∫kac=kx+C(k是常数)(7) sin xdx=-c0sx+C (2)jx“x +C(≠/<x sec a dx= tanx +C +1 cos (3)∫=x+C o9x=」 CSC Cax cotx+C 1+x d =arctanc(10)sec x tan xdx= secx+C 5 odx= arcsinx+C (11)csc x cot xdx=-cscx+C (6)∫ cos xdx=sinx+C (12)edx=e +C
基本积分表 (1) kdx = kx + C (k 是常数) ( 1) 1 (2) 1 + − + = + C x x dx = x + C x dx (3) ln = + dx x 2 1 1 (4) arctan x +C = − dx x 2 1 1 (5) arcsin x +C (6) cos xdx = sin x +C (7) sin xdx = − cos x +C (10) sec x tan xdx = sec x +C (11) csc x cot xdx = − csc x +C = e dx x (12) e C x + = x dx 2 cos (8) xdx = 2 sec tan x +C = x dx 2 sin (9) xdx = 2 csc − cot x +C
(13)「a2atx +c In a (20 dx=-arctan -+c a +x (14)shed=chx +C X-a (21) sdx +c (15)chxdx=shx +C 2a x+a ax (16) tan xdx=-In cosx+C (22)-22x +c 2a a-x 17)「 cot xdx= Insinx+C (23) -dx= arcsin -+C a -x (18) sec xdr=In(secx+tanx)+C x2±a (19)csc xdx=In(cscx-cot x)+C ln(x+√x2±a2)+C
a dx = x (13) C a a x + ln (16) tan xdx = −lncos x +C (17) cot xdx = lnsin x +C (18) sec xdx = ln(sec x + tan x) +C (19) csc xdx = ln(csc x − cot x) +C C a x a dx a x = + + arctan 1 1 (20) 2 2 C a x a x a dx a x + − + = − ln 2 1 1 (22) 2 2 C a x dx a x = + − arcsin 1 (23) 2 2 x x a C dx x a = + + ln( ) 1 (24) 2 2 2 2 C x a x a a dx x a + + − = − ln 2 1 1 (21) 2 2 x +C (14) shxdx = ch xdx = x +C (15) ch sh
四种类型分式的不定积分 Adx Adx AInx-a+c, 2 r-a (x-a)”(1-n)(x-0)+C 3∫M+N nx+ px+q 2 N-M/2 x+p/2 十 arctan +C q-p q-p-/4 Mr + N M(2x+p)⊥N-/2 (x-+ px+q 2了(x2+Bx+ (x px+q 此两积分都可积,后者有递推公式
四种类型分式的不定积分 1. Aln x a C; x a Adx = − + − ; ( ) (1 )( ) 2. 1 C n x a A x a Adx n n + − − = − − ; / 4 / 2 arctan / 4 / 2 ln 2 3. 2 2 2 2 C q p x p q p N Mp x px q M dx x px q Mx N + − + − − + = + + + + + + + − + + + + = + + + dx x px q N Mp x px q M x p dx dx x px q Mx N n n n ( ) / 2 ( ) (2 ) ( ) 2 4. 2 2 2 此两积分都可积,后者有递推公式
二、典型例题 例1求 23 dx 9-4 解原式=32=3J32 3Jt2-1 n ()2x-1 2 )dt +c 2In 3t-1t+12(ln3-ln2)t+1 2 32-2 In +c 2(n3-ln2)3+2
二、典型例题 例1 − = dx x x ) 1 2 3 ( ) 2 3 ( 2 解 原式 . 9 4 2 3 − dx x x x x 求 − = ) 1 2 3 ( ) 2 3 ( 2 3 ln 1 2 x x d − 1 2 3 ln 1 2 t dt + − − = dt t t ) 1 1 1 1 ( 2 3 2 ln 1 C t t + + − − = 1 1 ln 2(ln 3 ln 2) 1 . 3 2 3 2 ln 2(ln 3 ln 2) 1 x x C x x + + − − = t x ) = 2 3 令(
例2求∫ e(l+sin x) 1+cos x e(1+2sin。C0s) 解原式=∫ 2 2 2 cos 2 ∫e +e tan dx 2 cos 2 2 (e d(tan)+tan a de l=d( e tan 2 =e tan -+C
例 2 解 . 1 cos (1 sin ) ++ dx x e x x 求 + = dx xx x e x 2 2cos ) 2 cos 2 (1 2sin2 原式 = + dx x e x e x x ) 2 tan 2 2cos1 ( 2 ] 2 ) tan 2 [( (tan = + x x de x x e d = ) 2 ( tan x d e x . 2 tan C x e x = +
例3求 x+1 2 2 解令x (倒代换) +1 原式= (odt 1+t 2 1-t Adt+i-22 arcsin t+√1-t2+C arcsin -
例 3 解 . 1 1 2 2 − + dx x x x 求 , 1t 令x = dt t t t t ) 1 ( ) 1 1( 1 1 1 2 2 2 − − + = 原式 dt tt −+ = − 2 11 −− + − = − 22 2 2 1(1 ) 11 t d t dt t = − t + − t + C 2 arcsin 1 . 1 arcsin 1 2 C x x x − + − = (倒代换 )
例4求 dx e2+e°+e 解令巴=,x=6lmt,d=t, 6 原式= 6 dt t°+t+t r(1+t)(1+t2) 6 AB Ct+D 设 (1+1)(1+t2)tt+11+t2 6=A(1+t)(1+t2)+Br(1+t2)+(Ct+D)t(t+1)
例 4 解 . 1 2 3 6 + + + x x x e e e dx 求 , 6 e t x 令 = x = 6ln t , , 6 dt t dx = dt t t t t6 1 13 2 + + + = 原式 dt t t t + + = (1 )( 1 ) 6 2 2 2 (1 )(1 ) 1 1 6 t Ct D t B tA t t t ++ + + = + + + 设6 (1 )(1 ) (1 ) ( ) ( 1) 2 2 = A + t + t + Bt + t + Ct + D t t +
解得A=6,B=-3,C=-3,D=-3 原式 ∫c 33t+3 1+t1+ 6Int-3In(1+t-In(1+t)-3arctant+C 2 x-3In(1+e6)-In(1+e3)-3arctan e6 +C
解得 A = 6, B = −3, C = −3, D = −3. dt t t t t ) 1 3 3 1 6 3 ( 2 + + − + = − 原式 = t − + t − ln(1 + t ) − 3arctan t + C 2 3 6ln 3ln(1 ) 2 ln(1 ) 3arctan . 2 3 3 ln(1 ) 6 3 6 x e e e C x x x = − + − + − +