§6.2定积分的的性质 上 性质1若(x)=1,则/(x)=∫h=b=a 证J=im∑Ax=b 性质2若f(x)与g(x)在[a,b上可积,则f(x)±g(x)在,b] 上也可积,且∫(x)士g(=/(x)士g(x)h 证「[f(x)±g(x)=im∑()±g(5)Ax λ→>0i=1 in∑f(5)x±im∑8(5) ∫(x+g(x) 注1性质2可推广到有限个,即J∑(xx=∑J/(x)d
1 §6.2 定积分的的性质 性质1 若ƒ(x)=1, 则 ( ) b b a a f x dx dx b a = = − 0 1 lim n b i a i dx x → = = 性质2 若ƒ(x)与g(x)在[a, b]上可积, 则ƒ(x) ± g(x)在[a, b] 上也可积, 且 [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx = [ ( ) ( )] b a f x g x dx 注1 性质2可推广到有限个, 即 1 1 ( ) ( ) n n b b i i a a i i f x dx f x dx = = = 0 0 1 1 lim ( ) lim ( ) n n i i i i i i f x g x → → = = = 证 证 = −b a 0 1 lim [ ( ) ( )] n i i i i f g x → = = ( ) ( ) b b a a = f x dx g x dx
性质3若f()在[ab上可积,k为常数,则k(x)在ab 也可积,且「(x)x=k∫f(x) 证∫0(x)x=im∑()Ax=kmn∑/()Ax=kJ(x) 性质4(区间可加性)若f(x)在点a、b、c所成区间中最大 的一个上可积,则f(x)在其余两个区间上也可积,且 f(x)dx= f(x)ax+ f(x) 证分两种情形讨论 I.若a<c<b,则因f(x)在[a,b]上可积知,其积分和的极限 存在且与[a,b的分法和5的取法无关
2 性质3. 若ƒ(x)在[a, b]上可积, k为常数, 则kƒ(x)在[a, b] 上也可积, 且 ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx = 0 1 ( ) lim ( ) n b i i a i kf x dx kf x → = = 0 1 lim ( ) ( ) . n b i i a i k f x k f x dx → = = = 性质4(区间可加性) 若ƒ(x)在点 a、 b 、 c 所成区间中最大 的一个上可积, 则ƒ(x)在其余两个区间上也可积, 且 证 ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx = + 证 分两种情形讨论 Ⅰ.若a<c<b,则因ƒ(x)在[a, b]上可积知, 其积分和的极限 存在且与[a, b]的分法和 i 的取法无关
因而可将点c作为区间的一个分点,并记x=C,从而 n=∑f()x+∑f(5 其中∑/()Ax和∑f(5x分别是f(x)在a,c]与c,b]上的 积分和,当λ>0时,对上式两边取极限,有 ∫f(xk=/(x)/x)k y=f(r
3 , k x c = 从而 1 1 ( ) ( ) k n n i i i i i i k S f x f x = = + = + 因而可将点 c 作为区间的一个分点, 并记 积分和, 当 时, 1 1 ( ) ( ) k n i i i i i i k f x f x = = + 其中 和 →0 ( ) ( ) ( ) . b c b a a c f x dx f x dx f x dx = + 分别是ƒ(x)在[a, c]与[c, b]上的 对上式两边取极限, 有
Ⅱ.若点c不在内不妨设a<b<c,其他情形可类似证明, 则由1有J(x)k=()k+./(x) (x)k=J(x)-/(xk=J(x)+!(xk 性质5若f(x)与g(x)在[a,b上都可积,且∨x∈[a,b,均有 (x)≤g(x)则f(x)sJg(x 证[U(x)-8(x)=mim∑(5)-8(5)A50 ∫"f(x)x-J8(x)k≤0Jf(x)sg(x
4 Ⅱ. 若点 c不在内.不妨设 a<b<c, 其他情形可类似证明, 则由Ⅰ有 ( ) ( ) ( ) c b c a a b f x dx f x dx f x dx = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b c c c b a a b a c f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =−=+ 性质5 若ƒ(x)与g(x)在[a, b]上都可积, 且 x a b [ , ] , 均有 ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx 则 f x g x ( ) ( ). 0 1 [ ( ) ( )] lim [ ( ) ( )] 0 n b i i i a i f x g x dx f g x → = 证 − = − ( ) ( ) 0 b b a a f x dx g x dx − ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx
性质6若f(x)在[a,b]上连续,f(x)≥0但不恒为零,必有 f(dx>0 证因在[a,b]上f(x)≥0但不恒为零,故在[ab上至少存在一点 6,不妨设x∈(a2b)2使得f(x)≥0 由f(x)的连续性知,在x的某邻域内,必有 f(x)≥f(x0)>0 而(x0-6,x0+6)c[a,6 ∫(xlk=.(x)+∫(x)+。(x)2」。(x 2/(x)h=(x)>0
5 性质6 若ƒ(x)在[a, b]上连续, f x( ) 0 ( ) 0 b a f x dx 但不恒为零, 必有 f x( ) 0 0 x , 0 x a b 0 ( , ), f x( ) 0 0 x 0 0 而 ( , ) [ , ] x x a b − + 0 1 ( ) ( ) 0 2 f x f x 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) b x x b a a x x f x dx f x dx f x dx f x dx − + − + = + + 证 因在[a, b]上 但不恒为零,故在[a,b]上至少存在一点 不妨设 使得 由ƒ(x)的连续性知, 在 的某邻域内, 必有 0 0 ( ) x x f x dx + − 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 0 2 x x f x dx f x + − =
4确定积分」xmxt的符号 解∵f(x)=x2nx∈C[,1,而f(x)≤0且f(x)≠0 x nxdx <0 性质7若f(x)在[a,b上可积,则f(x)在a,b]上也可积,且有 (x)((<b 证∵-f(x)≤f(x)≤|(x) (x)≤J(x)t≤(x) f(x)(sIf(x)dx
6 例4 确定积分 1 2 1 2 x xdx ln 2 1 ( ) ln [ ,1], ( ) 0 ( ) 0, 2 解 而 且 f x x x C f x f x = 1 2 1 2 ln 0. x xdx 性质7 若ƒ(x)在[a, b]上可积, 则|ƒ(x)|在[a, b]上也可积, 且有 ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx a b 的符号. − f x f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a − f x dx f x dx f x dx ( ) ( ) . b b a a f x dx f x dx 证
SIn x 例5求证 10 SIn x SIn x 证 inx≤1且x≥10>0,∴ 1+x √x 20 sinx o sinx 0 √1+x 性质8(估值定理)若f(x)在[a,b上可积,且x∈[an,b],均有 m≤f(x)≤M m(b-a)sf(x)x≤M(b-a) 证 m≤f(x)sM∴|m≤f(x)d≤Max m(b-a)s f(x)dxs M(b-a)
7 例5 求证 20 10 2 sin 1 1 x dx x + 2 sin sin 1 10 0, 1 x x x x + 且 20 20 10 10 2 2 sin sin 1 1 x x dx dx x x + + 性质8 (估值定理)若ƒ(x)在[a, b]上可积, 且 x a b [ , ], m f x M ( ) ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a − − 2 sin x x 1 1 x 10 20 10 1 1 10 = dx 则 ( ) m f x M ( ) b b b a a a mdx f x dx Mdx 证 证 均有 ( ) ( ) ( ) b a − − m b a f x dx M b a
此性质的几何解释 区间[a,b上方以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积, 介于以[ab为底、以被积函数f(x)的最小值m及最大值M为 高的两个矩形的面积之间
8 此性质的几何解释: 区间[a, b]上方以曲线 y =ƒ(x)为曲边的曲边梯形的面积, 介于以[a,b]为底、 以被积函数ƒ(x)的最小值m及最大值M为 高的两个矩形的面积之间
例6估计积分n(x+x2)hx的值 解令f(x)=lm(x+x2.,f(x) 2x 由f(x)=0有x=0 1+ f(0)=0,f(-1)=ln2,f(2)=ln50≤f(x)≤ln5 0≤ln(x+x2)x≤3ln5 注2学会应用微分法来求函数的最大小值从而可利用估 值定理估计定积分的值 性质9(积分中值定理)若f(x)在{a,b上连续,在(a,b)上至少 存在一点,使得[f(x)x=f(Mb-a)5∈(a,b) 证因f(x)∈C[ab,则f(x)在[ab上必有,最小值m及最大值M, 即∨x∈[a,b]均有m≤f(x)≤M
9 例6 估计积分 的值. 2 2 1 ln( ) x x dx − + 注2 学会应用微分法来求函数的最大小值,从而可利用估 值定理估计定积分的值. 2 2 2 ( ) ln( ), ( ) , 1 x f x x x f x x = + = + 解 令 性质9(积分中值定理)若ƒ(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)上至少 , ( ) ( )( ) ( , ) b a f x dx f b a a b = − 由 有 ( ) 0 0 f x x = = f f f (0) 0, ( 1) ln 2, (2) ln 5 = − = = 0 ( ) ln 5 f x 2 2 1 0 ln( ) 3ln5. x x dx − + 证 因ƒ(x)∈C[a,b],则ƒ(x)在[a,b]上必有, 最小值m及最大值M, 即 x a b [ , ] 均有 m f x M ( ) 存在一点 使得
而m 3f(x)k≤M,则由连续函数的介值定理, 至少存在一点∈(ab),使得 f(x f(xdx=f(s b f(xdx=f(s(b-a) SE(a, b) 称为f(x)在[a,b上的平均值 此性质的几何解释: 区间[a,b上方以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积 等于以区间[a,b为底、以f(2)为高的这个矩形的面积 注3通常把Jf(x)x=()称为f(在1b上的平均值 习题提示:P226.5利用积分中值定理计算简单
10 即 1 ( ) ( ) b a f x dx f b a = − ( ) ( )( ) ( , ) b a f x dx f b a a b = − 此性质的几何解释: 注3 通常把 1 ( ) ( ) b a f x dx f b a = − 习题提示:P226.5利用积分中值定理计算简单. 区间[a ,b]上方以曲线 y =ƒ(x)为曲边的曲边梯形的面积, 等于以区间[a, b]为底、以ƒ(ξ) 为高的这个矩形的面积. 从而 则由连续函数的介值定理, 1 ( ) , b a m f x dx M b a − 至少存在一点ξ∈(a,b), 使得 称为ƒ(x)在[a, b]上的平均值. 称为ƒ(x)在[a, b]上的平均值