§92在直角坐标系下二重积分的计算 若直接用二重积分的定义去计算它的值,将是复 杂和困难,甚至是不可能的.下面利用二重积分的几 何意义来寻求二重积分的计算方法 设曲顶柱体的曲顶是f(xy)C≥0),底是区域D, D是xy平面上由直线 (x,y) x=a,x=b(asb) 与曲线y=q(x),y=02(x) 所围成 (x)
1 §9.2 在直角坐标系下二重积分的计算 何意义来寻求二重积分的计算方法. 设曲顶柱体的曲顶是z=ƒ(x,y)(≥0),底是区域D, z y O x D z=ƒ(x,y) 1 ( ) x 2 ( ) x b a D是xy平面上由直线 1 2 与曲线 y x y x = = ( ), ( ) 所围成. x=a, x=b(a<b) 若直接用二重积分的定义去计算它的值，将是复 杂和困难，甚至是不可能的.下面利用二重积分的几
y=02(x) :y=q(r) 为了确定积分区域D的范围,在x轴上任取一点x,过该 点作一条垂直于x轴的直线去穿区域与D的边界曲线 之交点不多于两个,即一进一出.此区域为X一型区域 即D为 ∫a(x)sy≤sa2(x) 为了确定曲顶柱体的体积V,在x轴上任取一点x,过该点
2 1 2 ( ) ( ) x y x a x b 即D为 为了确定曲顶柱体的体积V,在x轴上任取一点x,过该点 x y O 2 y x = ( ) 1 y x = ( ) a x b D 为了确定积分区域D的范围, 在x轴上任取一点x,过该 点作一条垂直于x轴的直线去穿区域, 之交点不多于两个,即一进一出. 与D的边界曲线 此区域为X―型区域
作一个垂直于x轴的平面去截曲顶柱体; 其截面面积设为S(x),则由定积分知: 平行切面截面面积已知的立体的 体积为定积分 V=S(x)dx 01(x x.i..n.i. 因对于区间[a,b上每一个 固定的x,Sx)就是一个曲边梯形的面积,此曲边梯形 的曲边是由方程=f(xy)确定的关于y的一元函数, 而底边是沿着轴方向从(x)到m2(x)的线段
3 z y O x D z=ƒ(x,y) 1 ( ) x 2 ( ) x x S(x) b a 体积为定积分 则由定积分知: ( ) b a V S x dx = 因对于区间[a,b]上每一个 固定的x, S(x)就是一个曲边梯形的面积,此曲边梯形 的曲边是由方程z=ƒ(x,y)确定的关于y的一元函数, 1 2 而底边是沿着y轴方向从 ( ) ( ) x x 到 的线段. 作一个垂直于x轴的平面去截曲顶柱体; 其截面面积设为S(x), 平行切面截面面积已知的立体的
故由曲边梯形的面积公式得 S(x) 2(x) S(x) f(x, y)dy (x) D,(x )2(x) →j/(xy)=m 2(x) f(r, y)dy]dx q1(x) 上式右端的积分称为二次积分 或称先对y再对x的累次积分常简写为 2(x) f(x, yodo= dx f(x, y)dy (x)
4 z y z=ƒ(x,y) 1 ( ) x 2 ( ) x S(x) 2 1 ( ) ( ) ( , ) [ ( , ) ] b x a x D f x y d f x y dy dx = 故由曲边梯形的面积公式得 2 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) x x S x f x y dy = 或称先对y再对x的累次积分.常简写为 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) b x a x D f x y d dx f x y dy = 上式右端的积分称为二次积分
注1此式告诉我们:在计算二重积分时,首先把被积 函数fxy)中的x看成常数,将f(xy)对y从(x)到2(x) q2(x) 作定积分;此时积分的结果为f(xy)=S(x)是变 量x的函数;再将此函数对x在区间[a,b]上求定积分 注2去掉上面讨论中的限制f(xy)≥20,等式照样成立 注3在轴上任取一点y,过该点作一条垂直于y轴的直 线去穿区域,与D的边界曲线之 交点不多于两个即一进一出 此区域为Y—型区域
5 ƒ(x,y)中的x看成常数, 1 2 ( ) ( ) x x 到 此时积分的结果为 量x的函数; 2 1 ( ) ( ) ( , ) x x f x y dy 再将此函数对x在区间[a,b]上求定积分. 注2 去掉上面讨论中的限制ƒ(x,y)≥0,等式照样成立. O x D 2 x y = ( ) 1 x y = ( ) y 注1 此式告诉我们:在计算二重积分时,首先把被积 将ƒ(x,y)对y从 作定积分; 函数 =S(x)是变 在y轴上任取一点y,过该点作一条垂直于y轴的直 交点不多于两个,即一进一出. 与D的边界曲线之 此区域为Y―型区域. 注3 线去穿区域, y
注4同理:当被积函数是=f(xy),积分区域D(Y一型 区域)是x平面上由直线y=cy=d(C<d)与曲线x=w(y) x=v2(y)所围成, v2(y) v1(y)≤xsv2(y) 即D为 yI 此时,f(xy)的二重积分为先对x再对y的累次积分 常简写为 v2(y) f(, y)do= dy f(x,y)dx v1(y)
6 注4 同理：当被积函数是z=ƒ(x,y),积分区域D(Y―型 1 2 ( ) ( ) y x y c y d 即D为 1 x y = ( ), 此时, ƒ(x,y)的二重积分为先对x再对y的累次积分. 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) d y c y D f x y d dy f x y dx = y=c,y=d(c<d)与曲线 O x D d c 2 ( ) y 1 ( ) y y 区域)是xy平面上由直线 2 x y = ( ) 常简写为 所围成
注5若D既不是X一型区域也不是Y一型区域(如图), 则可将D分成若千个部分,使每个部分不是Y一型区域 就是Y一型区域,再利用二重积分对积分区域的可加性 进行计算 f(x,yodo=ll f(x, ydo+ll f(x,ydo+ll f(x, y)do
7 注5 若D既不是X―型区域也不是Y―型区域,(如图), x y O D2 D1 D3 1 2 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d = + + 则可将D分成若干个部分,使每个部分不是X―型区域 就是Y―型区域, 再利用二重积分对积分区域的可加性 进行计算
注6综上所述二重积分的计算就是分别对变量x和y 作两次定积分的计算 化二重积分为二次积分的关键是 “选择积分次序和确定积分上、下限” 如何根据区域D来确定两次定积分的上、下限呢? 同学们会感觉困难 因而应先画出积分区域D的图形,并写出D的边界方程, 再由D的形状找出区域D内点的坐标所满足的不等式
8 注6 综上所述二重积分的计算就是分别对变量x和y 因而应先画出积分区域D的图形,并写出D的边界方程, 作两次定积分的计算. 化二重积分为二次积分的关键是: “选择积分次序和确定积分上、下限” 如何根据区域D来确定两次定积分的上、下限呢? 再由D的形状找出区域D内点的坐标所满足的不等式. 同学们会感觉困难!
特殊地,若区域D是一矩形:∝≤x≤b,c≤y 则二重积分 ∫(x,ydo= dx f(x,y )dy= dyl,/(,y)dr 即积分区域D是一矩形时,其积分次序可交换 例4计算/=小(x2+y2+1)db 其中D为矩形:-1≤x≤1,2≤y≤2
9 特殊地,若区域D是一矩形: a≤x≤b,c≤y≤d, ( , ) ( , ) ( , ) b d d b a c c a D f x y d dx f x y dy dy f x y dx = = x y O d c a b 即积分区域D是一矩形时,其积分次序可交换. 则二重积分 2 2 4 ( 1) , D I x y dxdy = + + 例 计算 其中 为矩形 D x y : 1 1, 2 2. − −
解Ⅰ=,a(x2+y2+1)dy 这是先对y再对x的 累次积分同学们 ∫xy+3y+y 定要注意对积分时 要固定x为常数 =(4x2 )、64 28 或者I=「dy(x2y2+1x这是先对x再对y的 累次积分.同学们 定要注意对x积分时 +yx+xdy 要固定y为常数 64 2y3
10 1 2 2 2 1 2 ( 1) I dx x y dy − − = + + 解 ——这是先对y再对x的 累次积分.同学们一 1 2 3 2 定要注意 2 1 1 [ ] 3 x y y y dx − − = + + 1 2 1 28 64 (4 ) . 3 3 x dx − = + = 2 1 2 2 2 1 ( 1) I dy x y dx − − = + + 或者 2 3 2 1 1 2 1 [ ] 3 x y x x dy − − = + + 2 2 2 8 64 (2 ) . 3 3 y dy − = + = 要固定x为常数. 对y积分时 ——这是先对x再对y的 累次积分.同学们一 定要注意 要固定y为常数. 对x积分时