§73任意项级数 本节讨论一般的常数项级数,即各项符号不尽相同 的变号级数任意项级数).如级数 ∑(-1)"及∑ SIn 2n兀 (n+1)! 下面讨论任意项级数的敛散性的判别法首先讨论其中 的一种各项正负相间的特殊情形——交错级数,它是一种 常见而有实用价值的特殊级数 一.交错级数 定义4正负项相间的级数称为交错级数其一般形式为 ∑ (-1)un=1-l2+3-l4+…+l2x1-l2 H=1 (Ln>0,n=1,2,…)
1 §7.3 任意项级数 本节讨论一般的常数项级数, 即各项符号不尽相同 的变号级数(任意项级数). 如级数 一.交错级数 1 1 1 1 2 ( 1) sin ( 1)! n n n n n n − = = − + 及 下面讨论任意项级数的敛散性的判别法.首先讨论其中 的一种各项正负相间的特殊情形 ——交错级数, 它是一种 常见而有实用价值的特殊级数. 定义4 正负项相间的级数,称为交错级数.其一般形式为 1 1 2 3 4 2 1 2 1 ( 1) ( 0, 1,2, ) n n k k n n u u u u u u u u n − − = − = − + − + + − + =
或∑(-1)n=-1+2-n3+u 2k-1+l 2k un>0,n=1,2,… 定理11( Leibnitz判别法)若交错级数∑(-1yn、an>0) 满足条件:(1)un≥n+1(n=1,2,…) (2)lim u =0 n→0 则交错级数收敛,且其和S≤u1,余项Rl|≤um 证因为S2k=(u1-2)+(3-u4)+…+(u2k1-2k 则序列{S2k}单增 而S2k=u1-(u2-u3)-(u4-m5)-…-(2k2-u2k1) 则序列{S2x}有上界 于是limS2k=s≤l1 k→)0
2 1 2 3 4 2 1 2 1 ( 1) n n k k n u u u u u u u − = 或 − = − + − + − − + − 定理11 (Leibnitz判别法) 若交错级数 1 1 ( 1) ( 0) n n n n u u − = − 满足条件: 1 (1) ( 1,2, ); u u n n n = + (2)lim 0 n n u → = 2 1 2 3 4 2 1 2 ( ) ( ) ( ) S u u u u u u k k k = − + − + + − − S2k 1 . 则交错级数收敛, 且其和 1 R u n n + s u , 证 因为 则序列 单増. 2 1 lim k k S s u → 于是 = 2 1 2 3 4 5 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 而 S u u u u u u u u k k k k = − − − − − − − − − − u1 2 . 则序列 S k 有上界 余项 ( 0, 1,2, ) u n n =
又因S2+1=S2k+l2k+1 lim s k-)o2k+1 lim Sak t limu2k1=5+0=S k→0 则无论n是奇数还是偶数均有imSn=s. n→0 于是交错级数∑(-1)"u,收敛,且其和S≤ 因Rn=un-un2+…也是交错级数,同样满足定理给 出的两个条件从而Rn|sun 例14判定下列交错级数的敛散性 ∑(-) +(-1) 23 n 解因 n+1 而Imun=im=0→∑(-1)收敛 n
3 2 1 2 2 1 lim lim lim 0 k k k k k k S S u s s + + → → → = + = + = 因 R u u n n n = − + + + 1 2 1 . R u n n + 又因 S S u 2 1 2 2 1 k k k + + = + lim . n n S s → 则无论n是奇数还是偶数均有 = 于是交错级数 1 1 ( 1)n n n u − = − 收敛, 且其和 1 s u . 也是交错级数, 同样满足定理给 出的两个条件.从而 例14 判定下列交错级数的敛散性. 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 2 3 4 n n n n n − − = − = − + − + + − + 1 1 1 ( 1,2, ) 1 u u n n n n n = = = + + 解 因 1 lim lim 0 n n n u → → n 而 = = 1 1 1 ( 1)n n n − = − 收敛
任意常数项级数 由于任意常数项级数各项的符号不一定同号,因而正 项级数的敛散性的判别法对它来说是不适用的但当我们 考察它的每一项取绝对值后组成的级数—正项级数便 可借助于正项级数的敛散性的判别法来研究它了 定义5若级数∑u每项取绝对值构成的级数∑mn|收敛, 则称级数∑un绝对收敛;若级数∑%发散,而级数∑ 收敛,则称级数∑"n条件收敛 例如级数∑(-1)2是绝对收敛的 ∑-1y-1是条件收敛的
4 由于任意常数项级数各项的符号不一定同号,因而正 项级数的敛散性的判别法对它来说是不适用的.但当我们 定义5 若级数 每项取绝对值构成的级数 收敛, 1 n n u = 1 n n u = 二.任意常数项级数 可借助于正项级数的敛散性的判别法来研究它了. 绝对收敛; 1 n n u = 1 n n u = 1 n n u = 1 n n u = 例如级数 是条件收敛的. 是绝对收敛的; 1 2 1 1 ( 1)n n n − = − 1 1 1 ( 1)n n n − = − 考察它的每一项取绝对值后组成的级数——正项级数,便 收敛, 则称级数 则称级数 若级数 发散, 而级数 条件收敛
定理12若级数∑"nl收敛,则级数∑"n必定收敛 即绝对收敛的级数必收敛 证设"=2(n+u)=n,un≥0 有0≤n≤{nl,于是∑”收敛 而vn=(n+an)→n=2n-mn→∑收敛 注1所有正项级数的收敛都是绝对收敛 注2一切判别正项级数的敛散性的判别法都可用来 判定任意常数项级数是否绝对收敛,从而收敛
5 定理12 若级数 收敛, 则级数 必定收敛. 即绝对收敛的级数必收敛. 1 n n u = 1 n n u = 1 ( ) 2 n n n v u u = + 0 , n n 有 v u 1 n n v = 于是 2 u v u n n n = − 1 n n u = 证 设 收敛. 收敛. 注1 所有正项级数的收敛都是绝对收敛. 注2 一切判别正项级数的敛散性的判别法都可用来 判定任意常数项级数是否绝对收敛, 从而收敛. , 0 0 0 n n n u u u = 1 ( ) 2 n n n 而 v u u = +
注意:(1)当∑m发散时,就只能断定∑非绝对收敛 而不能断定它必为发散,此时需进一步用其他方法来判 定∑"n的敛散性 (2)若用比值法和根值法判别级数∑un,得出级数∑ 发散则可断言级数∑un一定发散 定理13若任意项级数∑"1满足条件 imH=l,或 limu|=l n->∞L n→) 则(1)当l1时,级数发散
6 而不能断定它必为发散, (2) 若用比值法和根值法判别级数 , 得出级数 1 lim , n n n u l u + → = 或 lim , n n n u l → = 1 n n u = 1 n n u = 1 n n u = 1 n n u = 注意: 1 n n u = 定理13 若任意项级数 满足条件 1 n n u = 则 (1)当 l 1时, 级数发散. (1) 当 发散时, 就只能断定 此时需进一步用其他方法来判 定 的敛散性. 发散,则可断言级数 一定发散. 非绝对收敛, 1 n n u =
证因若imm=1>1(或myu|=1>1) 则对充分大的m,均有un+|>n(或un|=r>1 lim|u|≠0 n→o imun≠0→∑"n发散 n→ 注3对于任意项级数∑un nE ①首先判断它是否绝对收敛(即用正项级数的判 别法判别∑n是否收敛); ②再看它是否为交错级数;若是交错级数,就用 莱布尼兹判别法判别∑"是否收敛; n=1 ③着前面方法失效就考虑用其它方法 如级数收敛的定义级数的一些基本性质等进行判别
7 1 lim 1 ( lim 1) n n n n n n u l u l u + → → 因若 或 = = lim 0 n n u → lim 0 n n u → 1 , ( 1) n 充分大的 均有 或 n u u u l n n n + = 如级数收敛的定义,级数的一些基本性质等进行判别. 证 则对 1 n n u = 发散. 注3 对于任意项级数 1 n n u = ①首先判断它是否绝对收敛 1 n n u = ②再看它是否为交错级数; 1 n n u = 是否收敛); (即用正项级数的判 别法,判别 若是交错级数，就用 莱布尼兹判别法判别 是否收敛; ③若前面方法失效,就考虑用其它方法;
例15判定下列级数的敛散性 coS nI 十n 解(1因 Cos n7 而imVm 十n √n3+n√n3+n n→ 由比较判别法的极限形式知∑ 收敛 1√n°+n 故原级数绝对收敛 2)∑(-1 (a>0,b>0) a+ bn 解因im+bn=1,而∑1发散 n→0 b n
8 例15 判定下列级数的敛散性: 3 1 cos (1) n n n n = + 1 1 1 (2) ( 1) ( 0, 0) n n a b a bn − = − + 3 3 cos 1 (1) n n n n n + + 解 因 3 2 3 1 lim 1 n 1 n n n → + 而 = 由比较判别法的极限形式知 故原级数绝对收敛. 1 1 lim , n 1 a bn b n → + 解 因 = 1 1 n n = 而 发散. 收敛. 3 1 1 n n n = +
从而原级数不绝对收敛;但它却是满足莱布尼兹条件 的交错级数,即 limu =lim 0且Ln a+bn a+b(n+1) n+1 n→o n→a+bn 则原级数条件收敛 3)∑(-1y(n2-1) n=] 解因u 1>0,而 lr (1-Inn) lim lim lim n→0 n→ n→ 设f(x)=xx=ex→f(x)=e Inx 1-In x
9 1 1 1 (3) ( 1) ( 1) n n n n − = − − 从而原级数不绝对收敛； 1 1 1 ( 1) u u n n a bn a b n = = + + + + 则原级数条件收敛. 1 1 0, n 解 因 而 u n n = − 1 ln 1 lim 1 n n n e n → − 2 2 1 (1 ln ) limn 1 n n n → − − = = − 1 ln ( ) x x x f x x e = = ln 2 1 ln ( ) x x x f x e x − 设 = 但它却是满足莱布尼兹条件 的交错级数, 即 1 lim lim 0 n n n u → → a bn = = + 且 1 lim 1 n n n n → − =
当x>e时,f(x)Ln-1(m=3>,4,…) 而limf(x) lim e r-+o x e=1 x→+0 limu = lim(f(n)-1=0 n→ n→ 故原级数条件收敛 (4)∑(-1)”(cos) 解因imyn|=im( cos lim(1-sin n→0 n→ lim(-sin2 n1→ n2=e2<1 由根值判别法知∑n收敛.故原级数绝对收敛
10 f x ( ) 0 1 ( 3 ,4, ) 于是 u u n e n n = + ln lim ( ) lim x x x x f x e →+ →+ 而 = ln lim 0 1 x x x e e →+ = = = lim lim( ( ) 1) 0 n n n u f n → → = − = 故原级数条件收敛. 当 x > e 时, 单减, 则 un 3 1 1 (4) ( 1) (cos ) n n n n = − 2 2 2 1 lim(1 sin ) n n→ n − 2 2 1 1 lim ( sin ) 2 2 1 n n n e e → − − = = 1 n n u = 由根值判别法知 收敛. 故原级数绝对收敛. f x( ) 单减； 1 2 lim lim( cos )n n n n n u → → n 解 因 = =