《实变分析》课程教学资源（讲义）引言

引言 Riemann积分理论的缺陷在数学分析课程中我们已经熟悉 Riemann积分. Riemann积 分对处理连续函数和几何,物理中的计算问题时候是很有效的.但是 Riemann积分在理论使 存在一些缺陷.主要表现在以下几个方面 1.可积函数对连续性的要求 设∫(x)是定义在区间[a,b上的有界实值函数.又设 是[a,b]的一个分划.对每个i=1,…,k,令, m,=infff(x):xE[x,x 1i, M,=suff(x)xE[x,xl 并且令=maxx1-x1则f(x)在anb]上可积的充要条件是 (M,-m)x1-x1)= fr b 其几何意义就是曲线y=∫(x)的下方图形(曲边梯形)的外接阶梯形与内接阶梯形面积之差 趋于零(如图)因此为保证f(x)在[a,b上可积,f(x)在[a,b]上的不连续点不能太多 由于 Riemann积分对被积函数的连续性要求太强,这样就限制了 Riemann积分的应用.例如 Dirichlet函数 1若x为有理数 0若x为无理数 在[0,1上不满足条件(1).因此D(x)在上不是 Riemann可积的 2.积分与极限顺序的交换

I 引 言 Riemann 积分理论的缺陷 在数学分析课程中我们已经熟悉 Riemann 积分. Riemann 积 分对处理连续函数和几何, 物理中的计算问题时候是很有效的. 但是Riemann积分在理论使 存在一些缺陷. 主要表现在以下几个方面: 1. 可积函数对连续性的要求. 设 f (x) 是定义在区间[a, b] 上的有界实值函数. 又设 a = x0 < x1 < " < xn = b 是[a, b] 的一个分划. 对每个i = 1,", k, 令, inf{ ( ) : [ , ]}, sup{ ( ) : [ , ]}. i i 1 i i i 1 i m f x x x x M f x x x x = ∈ − = ∈ − 并且令 1 1 max − ≤ ≤ = i − i i n λ x x . 则 f (x) 在[a, b] 上可积的充要条件是 ∑= − → − − = n i i i i i M m x x 1 1 0 lim ( )( ) 0 λ . 其几何意义就是曲线 y = f (x)的下方图形(曲边梯形)的外接阶梯形与内接阶梯形面积之差 趋于零(如图). 因此为保证 f (x) 在[a, b] 上可积, f (x) 在[a, b] 上的不连续点不能太多. 由于 Riemann 积分对被积函数的连续性要求太强, 这样就限制了 Riemann 积分的应用. 例如 Dirichlet 函数 1 ( ) 0 . x D x x  =    若 为有理数 若 为无理数 在[0, 1]上不满足条件(1). 因此 D(x) 在上不是 Riemann 可积的. 2. 积分与极限顺序的交换 X Y O 1 a x b f (x) 2 x i−1 x i x n−1 x mi Mi

在数学分析中,经常会遇到积分运算和极限运算交换顺序的问题.设{f(x)}是 [a,b]上的连续函数列并且 lim f,(x)=f(x),wx∈[a,b]一般情况下,f(x)未必在 a,b]上可积.即使∫(x)在[a,b]上可积,也未必成立 lm∫。(x=” 为使∫(x)在[a,b上可积并且(2)成立,充分条件是{f(x)}在[a,b]上一致收敛于 f(x)(这不是必要条件,例如考虑函数[0,1上的函数列fn(x)=x"(n=1,2,…)这个条 件太强并且不易验证 3.可积函数空间的完备性 设R[a,b]是[{a,b]上 Rieman可积函数的全体.在R{a,b上定义距离 d(g)=(/(x)=g(x)p dx)2,/,geR[a,bl 则R[a,b]称为一个距离空间(确切涵义将在泛函分析部分叙述).设{fn}是R[a,b中序列, f∈R[a,b.若limd(n,∫)=0,则称{fn}按距离收于∫.R[a,b]中序列{n}称为是 Cauchy序列,若对任意E>0,存在N>0,使得当m,n>N时,d(m,J)<E.有例子 表明,在R[a,b]中并非每个 Cauchy序列都是收敛的,即R[a,b]不是完备的空间.而空间 的完备性在泛函分析理论中是非常重要的.因此R[a,b]不是作为研究对象的理想空间 以上几点表明, Riemann积分有不少缺陷,这就限制了 Riemann积分的应用,因此有必 要加以改进.二十世纪初,法国数学家 Lebesgue(1875-1941)创建了一种新的积分理论,称之 为 Lebesgue积分. Lebesgue积分理论是 Riemann积分理论的推广和发展.并且克服了 Riemann积分的上述缺陷 Lebesgue积分的大体思路.设f(x)为[a,b]上的有界实值函数.前面已经提到,为 使f(x)在[a,b]上 Riemann可积,必须 im∑(M-m1)x-x)=0 这样就要求振幅M,-m1比较大的那些小区间[x21,x的长度之和很小.因此那些在很多地 方振幅很大的不连续函数就不可积了 为了使得很多连续性不好的函数也可积, Lebesgue提出了一种新的积分思想.主要想

II 在数学分析中, 经常会遇到积分运算和极限运算交换顺序的问题. 设{ f (x)} n 是 [a, b] 上的连续函数列,并且 lim ( ) ( ), n n f x fx →∞ = ∀ ∈x [ , ]. a b 一般情况下, f (x) 未必在 [a, b] 上可积. 即使 f (x) 在[a, b] 上可积, 也未必成立 lim ( ) ( ) . b b n n a a f x dx f x dx →∞ ∫ ∫ = 为使 f (x) 在 [a, b] 上可积并且(2)成立, 充分条件是 { f (x)} n 在 [a, b] 上一致收敛于 f (x) (这不是必要条件, 例如考虑函数[0, 1]上的函数列 n n f ( ) x) = x (n = 1, 2," ). 这个条 件太强并且不易验证. 3. 可积函数空间的完备性. 设 R[a, b]是[a, b] 上 Riemann 可积函数的全体. 在 R[a, b]上定义距离 1 2 2 ( , ) ( () () ) b a d f g f x g x dx = − ∫ , f , ] g ∈ R[a, b . 则 R[a, b]称为一个距离空间(确切涵义将在泛函分析部分叙述). 设{ }n f 是 R[a, b]中序列, f ∈ R[a, b]. 若 lim ( , ) = 0, →∞ d f f n n 则称{ }n f 按距离收于 f . R[a, b]中序列{ }n f 称为是 Cauchy 序列, 若对任意ε > 0, 存在 N > 0, 使得当 m,n > N 时, ( , ) < ε. m n d f f 有例子 表明, 在 R[a, b]中并非每个 Cauchy 序列都是收敛的, 即 R[a, b]不是完备的空间. 而空间 的完备性在泛函分析理论中是非常重要的. 因此 R[a, b]不是作为研究对象的理想空间. 以上几点表明, Riemann 积分有不少缺陷, 这就限制了 Riemann 积分的应用, 因此有必 要加以改进. 二十世纪初, 法国数学家 Lebesgue(1875-1941)创建了一种新的积分理论, 称之 为 Lebesgue 积分. Lebesgue 积分理论是 Riemann 积分理论的推广和发展. 并且克服了 Riemann 积分的上述缺陷. Lebesgue 积分的大体思路. 设 f (x) 为[a, b] 上的有界实值函数. 前面已经提到, 为 使 f ( ) x 在[a, b] 上 Riemann 可积, 必须 ∑= − → − − = n i i i i i M m x x 1 1 0 lim ( )( ) 0 λ . 这样就要求振幅 Mi i − m 比较大的那些小区间 1 [ ,] i i x x − 的长度之和很小. 因此那些在很多地 方振幅很大的不连续函数就不可积了. 为了使得很多连续性不好的函数也可积, Lebesgue 提出了一种新的积分思想. 主要想

法就是不从分割区间[a,b]着手,而是从分割函数的值域出发.为简单计,这里只考虑 f(x)≥0的情况.注意到 Riemann积分的几何意义就是曲线y=f(x)的下方图形 G()={(x,y):a≤x≤b,0≤y≤f(x)}的面积.因此可以用下面的方式计算G()面积 令 m=inf{f(x):x∈[a,b]},M=sup{f(x):x∈[a,b]} 对[m,M]的任意一个分划m=y<y1<…<y=M,令 E={x∈[a,b]:y1≤f(x)<y},i=1,2 则E是区间[m,M的子集用E表示E的“长度”。作和式 y-E 它相当于G(的一个近似值(如图) V4 f(x) yo EL E E2 E3 E4 E3=ESUE3 令=max{y-y1:1≤i≤n}.则定义f(x)在[a,6上的 Lebesgue积分为 ①)J(x=m∑m-|E (如果上述极限存在)这样定义积分的好处在于,由于在每个E1上,f(x)的振幅小于 因此很多连续性不好的函数(例如 Dirichlet函数)也可积了 但是按照 Lebesgue的方式定义积分有一个很大的困难,就是要给出E的意义E 应该是一种类似区间长度的东西.但是一般情况下,E不是区间,甚至也不是有限个不相 交区间的并因此必须对直线上比区间更一般的集E,给出一种类似于区间长度的度量为 此, Lebesgue建立了测度理论,并且在测度理论的基础上,建立了 Lebesgue积分理论 Lebesgue积分理论为的建立近代分析理论打下了坚实的基础

III 法就是不从分割区间[a, b] 着手, 而是从分割函数的值域出发. 为简单计, 这里只考虑 f x() 0 ≥ 的情况. 注意到 Riemann 积分的几何意义就是曲线 y fx = ( ) 的下方图形 Gf xy a x b y f x ( ) {( , ) : ,0 ( )} = ≤≤ ≤≤ 的面积. 因此可以用下面的方式计算G f ( ) 面积. 令 m f x x ab = inf{ ( ) : [ , ]}, ∈ M = sup{ ( ) : [ , ]}. f x x ab ∈ 对[, ] m M 的任意一个分划 my y y M =<<< = 0 1 " n , 令 1 { [ , ]: ( ) }, E x ab y f x y i ii =∈ ≤ < − i n =1,2, , " . 则 Ei 是区间[, ] m M 的子集. 用 Ei 表示 Ei 的“长度”. 作和式: 1 1 . n i i i y E − = ∑ 它相当于G f ( )的一个近似值(如图). 令 max{ :1 } i i 1 λ y y in = − ≤≤ − . 则定义 f ( ) x 在[,] a b 上的 Lebesgue 积分为: 1 0 1 (L) ( ) lim . n b i i a i f x dx y E λ − → = ∫ = ∑ (如果上述极限存在). 这样定义积分的好处在于, 由于在每个 Ei 上, f ( ) x 的振幅小于 λ, 因此很多连续性不好的函数(例如 Dirichlet 函数)也可积了. 但是按照 Lebesgue 的方式定义积分有一个很大的困难, 就是要给出 Ei 的意义. Ei 应该是一种类似区间长度的东西. 但是一般情况下, Ei 不是区间, 甚至也不是有限个不相 交区间的并. 因此必须对直线上比区间更一般的集 E , 给出一种类似于区间长度的度量.为 此, Lebesgue 建立了测度理论, 并且在测度理论的基础上, 建立了 Lebesgue 积分理论. Lebesgue 积分理论为的建立近代分析理论打下了坚实的基础. O x y f ( ) x 1 y 2 y 3 y M 4 =y m y = 0 E1 1 2 EEE 2 22 = ∪ E4 1 E2 2 E2 1 E3 2 E3 1 2 E EE 3 33 = ∪ a b

本课程的大致内容本课程很大一部分内容就是介绍 Lebesgue测度理论由于测度理 论要经常地遇到集的运算和欧氏空间上的各种点集,因此本课程首先要介绍集合论和欧氏 空间上点集的知识.然后介绍测度理论.由于 Lebesgue测度理论并不能给直线上的每个集 定义测度,只能对一部分集即所谓“可测集”给出测度,因此要定义∫(x)的 Lebesgue积分, 必须要求由∫(x)产生的型如E={x:y1≤f(x)<y}的集是可测集,这样的函数称为可 测函数。只有对可测函数才能定义新的积分,因此在定义 Lebesgue积分之前,需要讨论可测 函数的性质作了这些准备后,就可以定义 Lebesgue积分了.并讨论 Lebesgue积分的性质及 其应用.总之,本课程的内容就是围绕建立 Lebesgue积分理论而展开的 上面简单介绍了本课程主要思想和的大致内容.学习了本课程后,将会对这里所述内 容有更好的理解

IV 本课程的大致内容 本课程很大一部分内容就是介绍 Lebesgue 测度理论. 由于测度理 论要经常地遇到集的运算和欧氏空间上的各种点集, 因此本课程首先要介绍集合论和欧氏 空间上点集的知识. 然后介绍测度理论. 由于 Lebesgue 测度理论并不能给直线上的每个集 定义测度, 只能对一部分集即所谓’“可测集”给出测度, 因此要定义 f ( ) x 的 Lebesgue 积分, 必须要求由 f ( ) x 产生的型如 1 {: () } E xy fx y = ≤< i i − 的集是可测集,这样的函数称为可 测函数. 只有对可测函数才能定义新的积分, 因此在定义 Lebesgue 积分之前, 需要讨论可测 函数的性质. 作了这些准备后, 就可以定义Lebesgue积分了. 并讨论Lebesgue积分的性质及 其应用. 总之, 本课程的内容就是围绕建立 Lebesgue 积分理论而展开的. 上面简单介绍了本课程主要思想和的大致内容. 学习了本课程后, 将会对这里所述内 容有更好的理解