第三章可测函数 在给定了一个测度空间以后,由定义在这个空间上的一个函数可以自然地产生出各种 各样的集.为用测度论的方法研究这个函数我们自然要求这些集是可测的.由此产生了可 测函数的概念在定义积分时候,对被积函数的一个基本要求就是这个函数必须是可测的我 们将看到可测函数是一类很广泛的函数.特别地,欧氏空间R"上的 Lebesgue可测函数是比 连续函数更广泛的一类函数.而且可测函数类对极限运算是封闭的,这将使我们在讨论积 分的时候更加便利 本章§31和§32讨论可测函数的定义,可测函数的基本性质和收敛性.§3.3在欧氏空间 Rn上讨论可测函数与连续函数的联系 §3.1可测函数的基本性质 教学目的定义在测度空间上的函数可以自然产生出各种各样的集为 用测度论的方法研究这个函数,特别是在定义积分时,必须要求这些集是可 测的.由此产生了可测函数的概念本节将给出可测函数的定义并讨论其基 本性质 本节要点可测函数有不同的等价定义.可测函数是一类很广泛的函数 并且有很好的运算封闭性。可测函数可以用特殊的可测函数即简单函数逼 近,这是可测函数的构造性特征,在研究可测函数,特别是在积分理论中有 重要应用 本节和以后若无特别申明“函数”一词均指取值于R的广义实值函数,取值于R的函 数仍称为实值函数在§21我们已给出可测空间的定义.这里回顾一下.称二元组合 (X,)为一可测空间,若X是一个非空集,分是X上的a-代数.称中的集为-可 测集或者简称为可测集 可测函数的定义与等价特征 定义1设(X,丌)为一可测空间,E是一个可测集.f:E→R为定义在E上的函 数.若对任意实数a,总有 {x∈E:f(x)<a}∈界
67 第三章 可测函数 在给定了一个测度空间以后, 由定义在这个空间上的一个函数可以自然地产生出各种 各样的集. 为用测度论的方法研究这个函数,我们自然要求这些集是可测的. 由此产生了可 测函数的概念.在定义积分时候, 对被积函数的一个基本要求就是这个函数必须是可测的.我 们将看到可测函数是一类很广泛的函数. 特别地, 欧氏空间 n R 上的 Lebesgue 可测函数是比 连续函数更广泛的一类函数. 而且可测函数类对极限运算是封闭的, 这将使我们在讨论积 分的时候更加便利. 本章§3.1 和§3.2 讨论可测函数的定义, 可测函数的基本性质和收敛性. §3.3 在欧氏空间 n R 上讨论可测函数与连续函数的联系. §3.1 可测函数的基本性质 教学目的 定义在测度空间上的函数可以自然产生出各种各样的集.为 用测度论的方法研究这个函数, 特别是在定义积分时, 必须要求这些集是可 测的. 由此产生了可测函数的概念.本节将给出可测函数的定义并讨论其基 本性质. 本节要点 可测函数有不同的等价定义. 可测函数是一类很广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用特殊的可测函数即简单函数逼 近, 这是可测函数的构造性特征, 在研究可测函数, 特别是在积分理论中有 重要应用. 本节和以后若无特别申明,“函数”一词均指取值于 ∗ R 的广义实值函数, 取值于 1 R 的函 数仍称为实值函数. 在§2.1 我们已给出可测空间的定义. 这里回顾一下. 称二元组合 (X, F ) 为一可测空间, 若 X 是一个非空集, F 是 X 上的σ − 代数. 称F 中的集为F -可 测集或者简称为可测集. 可测函数的定义与等价特征 定义 1 设(X , F ) 为一可测空间, E 是一个可测集. f : E → ∗ R 为定义在 E 上的函 数. 若对任意实数 a, 总有 {x ∈ E : f (x) < a}∈F
(图1-1是X=R时的示意图)则称∫为E上的可测函数(简称为E上的可测函数)特 别地,X上的可测函数也称为可测空间(X,分)上的可测函数.(x,)上的可测函数和非 负可测函数的全体分别记为M(X,)和M(x,丌) R f(x) E {x:f(x)<a}=E1∪E2 注1设(x,)为一可测空间,E是一个可测集.容易知道 ={A:A∈E,A∈界}是一个σ-代数因此(E,TE)是一个可测空间.显然f是E上 的可测函数当且仅当∫是可测空间(E,E)上的可测函数因此在讨论一般可测函数的性 质时,不妨只讨论定义在全空间上的可测函数 特别地,若可测空间(X,)取为是R”上的 Lebesgue可测空间(R",M(R"),E是 R中的 Lebesgue可测集,则E上的可测函数称为 Lebesgue可测函数.类似地,若可测空间 (X,分)取为是R”上的 Borel可空间(R",(R"),E是R”中的 Borel可测集,则E上的 可测函数称为 Borel可测函数.按定义,∫是E上的 Lebesgue可测函数(或者 Borel可测函 数),若对任意实数a, {x∈E:f(x)<a} 是 Lebesgue可测集(相应地, Borel可测集).以后 Lebesgue可测函数可以简称为L可测函数 显然每个 Borel可测函数是 Lebesgue可测函数 一般地,设和是X上的两个a-代数并且C丌,则由可测函数的定义知 道,每个可测函数都是2可测函数 例1设(X,)是一可测空间,f(x)≡c是X上的常数函数.则∫是(X,)上的可测 函数.这是因为对任意实数a
68 (图 1—1 是 1 X = R 时的示意图) 则称 f 为 E 上的F -可测函数(简称为 E 上的可测函数). 特 别地, X 上的可测函数也称为可测空间(X , F ) 上的可测函数. (X , F ) 上的可测函数和非 负可测函数的全体分别记为 M (X , F ) 和 M (X , F ). + 图 1—1 注 1 设 (X , F ) 为一可测空间 , E 是一个可测集 . 容易知道 F = {A : A ⊂ E, A∈F } E 是一个σ − 代数. 因此( , ) E FE 是一个可测空间. 显然 f 是 E 上 的可测函数当且仅当 f 是可测空间 ( , ) E FE 上的可测函数. 因此在讨论一般可测函数的性 质时, 不妨只讨论定义在全空间上的可测函数. 特别地, 若可测空间(X, F ) 取为是 n R 上的 Lebesgue 可测空间( , ( )) n n R M R , E 是 n R 中的 Lebesgue 可测集, 则 E 上的可测函数称为 Lebesgue 可测函数. 类似地, 若可测空间 (X , F ) 取为是 n R 上的 Borel 可空间( , ( )) n n R B R , E 是 n R 中的 Borel 可测集, 则 E 上的 可测函数称为 Borel 可测函数. 按定义, f 是 E 上的 Lebesgue 可测函数(或者 Borel 可测函 数), 若对任意实数 a, {x ∈ E : f (x) < a} 是 Lebesgue 可测集(相应地, Borel 可测集). 以后 Lebesgue 可测函数可以简称为 L 可测函数. 显然每个 Borel 可测函数是 Lebesgue 可测函数. 一般地, 设F1 和F2 是 X 上的两个σ − 代数 并且F1 ⊂ F2 , 则由可测函数的定义知 道, 每个F1 -可测函数都是F2 -可测函数. 例 1 设(X, F ) 是一可测空间, f (x) ≡ c 是 X 上的常数函数. 则 f 是(X, F ) 上的可测 函数. 这是因为对任意实数 a, X 1 R f (x) a E1 1 2 {x : f (x) < a} = E ∪ E E2
若 a>c {x:f(x)1 由此易知结论成立 例3Rn上的连续函数是 Borel可测函数(因而也是 Lebesgue可测函数)这是因为对任 意实数a,{x:f(x)a}∈丌 (4).对任意实数a,{x:f(x)≥a}∈分 此外,上面的(1)(4)蕴涵 (5).对任意B∈B(R),f(B)∈丌 若∫是实值函数,则(1)(5)是等价的 证明(1)→(2).因为∫可测故对任意实数a,{x:f(x)a}={x:f(x)≤a}∈. (3)→(4)这是因为
69 ∅ ≤ > a}∈F . (4). 对任意实数 a, {x : f (x) ≥ a}∈F . 此外, 上面的(1)—(4)蕴涵 (5). 对任意 B ∈ ( ) 1 B R , ( ) . 1 ∈F − f B 若 f 是实值函数, 则(1)—(5)是等价的. 证明 (1)⇒(2). 因为 f 可测,故对任意实数 a,{x : f (x) } = { : ( ) ≤ } ∈F . c x f x a x f x a (3)⇒(4).这是因为
{x:f(x)2a}=∩x:f(x)>a-n}∈ (4)→(1).这是因为 f(x)m},故{x:f(x)=+∞}是可测集.同理 {x:f(x)=-∞}也是可测集 可测函数的运算封闭性设∫和g是定义在x上的广义实值函数若f(x)和g(x)在某 一点x取异号的∞为值,则f(x)+g(x)无意义.此时规定∫(x)+g(x)=0.又定义 (vg(x)=maff(x),g(x),(fAg(x)=minf(x),g(x)) f(x)若f(x)≥0 若f(x)≥0 若(x)<O f(x)若f(x)<0
70 } . 1 { : ( ) } { : ( ) 1 ≥ = > − ∈F ∞ = ∩ n n x f x a x f x a (4)⇒(1). 这是因为 { : ( ) n x f x x f x n 故 {x : f (x) = +∞} 是可测集 . 同 理 , {x : f (x) = −∞}也是可测集. 可测函数的运算封闭性 设 f 和 g 是定义在 X 上的广义实值函数. 若 f ( ) x 和 g x( ) 在某 一点 x 取异号的∞ 为值, 则 f () () x gx + 无意义. 此时规定 f x gx ( ) ( ) 0. + = 又定义 ( f ∨ g)(x) = max{ f (x), g(x)}, ( f ∧ g)(x) = min{ f (x), g(x)}. < ≥ = + 0 ( ) 0. ( ) ( ) 0 f x f x f x f 若 若 − < ≥ = − ( ) ( ) 0. 0 ( ) 0 f x f x f x f 若 若
分别称函数∫和∫为∫的正部和负部(图1-2)∫和∫都是非负值函数,并且成立 ∫=f-f,=f*+∫ f(x) f(x) 图 为简单计,我们以后将集{x:∫(x)0 icf a}若c<0 等式右边的集都是可测集因此f是可测函数 (2).先设∫和g不取异号∞为值设{n}是有理数的全体.由于∫+g<a当且仅当 存在rn使得∫<rn并且g<a-rn,因此 U+g<a=U(<rin(g<a-rm) 由上式∫和g的可测性知道{∫+g<a}是可测集.因此∫+g是可测函数.再考虑一般情 形.令 A={∫=+0,g=-0}∪{f=-∞,g=+∞}
71 分别称函数 + f 和 − f 为 f 的正部和负部(图 1—2). + f 和 − f 都是非负值函数, 并且成立 , . + − + − f = f − f f = f + f 图 1—2 为简单计, 我们以后将集{x : f (x) < = { } 0. { } 0 { } c c a f c c a f cf a 若 若 等式右边的集都是可测集. 因此cf 是可测函数. (2). 先设 f 和 g 不取异号 ∞ 为值. 设{ }nr 是有理数的全体. 由于 f + g < a 当且仅当 存在 nr 使得 n f < r 并且 . n g < a − r 因此 { } ({ } { }). 1 ∪ ∞ = + < = < ∩ < − n n n f g a f r g a r 由上式 f 和 g 的可测性知道{ f + g < a}是可测集. 因此 f + g 是可测函数. 再考虑一般情 形. 令 A = { f = +∞, g = −∞}∪{ f = −∞, g = +∞}. X Y f (x) O f (x) + f (x) −
则A是可测集.我们有 f+g0 A∩{f+g-着a>0 若a≤0. {x:(∫vg)(x)≤a}={x:f(x)≤a}∩{x:g(x)≤a}, x:(f∧g)(x)≤a}={x:f(x)≤a}{x:g(x)≤a} 由此知道八,fg和∫^g都是可测函数■ 推论4若∫是可测函数则∫的正部∫+和负部∫都是可测函数 证明容易知道∫+=∫v0,f=(-f)Vv0.再由定理3即知推论成立 定理5设{fn}是一列可测函数.则函数 sup f,, inf f,, limf和 lim f,都是可测函 数特别地若对每个x∈X,极限lmfn(x)存在(有限或±∞),则 lim f,是可测函数 证明由于对任意实数a,我们有 {spf≤a}=∩Un≤a},{ finf f,≥a}=∩n2a 由此知 sup f和inff都是可测函数.由于 limf =inf sup fk, limf -supinf f k n→①
72 则 A 是可测集. 我们有 { } ( { }) ( { }). C f + ∩ + − ≥ − > < = 0. { } { } 0 { } a f a f a a f a 若 若 { : ( )( ) } { : ( ) } { : ( ) }. { : ( )( ) } { : ( ) } { : ( ) }, x f g x a x f x a x g x a x f g x a x f x a x g x a ∧ ≤ = ≤ ∪ ≤ ∨ ≤ = ≤ ∩ ≤ 由此知道 f , f ∨ g 和 f ∧ g 都是可测函数. ■ 推论 4 若 f 是可测函数,则 f 的正部 + f 和负部 − f 都是可测函数. 证明 容易知道 = ∨ 0, = (− ) ∨ 0. + − f f f f 再由定理 3 即知推论成立. 定理 5 设{ }n f 是一列可测函数. 则函数 n n f 1 sup ≥ , n n f 1 inf ≥ , n n f →∞ lim 和 n n f →∞ lim 都是可测函 数. 特别地,若对每个 x ∈ X,极限 lim f (x) n n→∞ 存在(有限或 ± ∞ ), 则 n n f →∞ lim 是可测函数. 证明 由于对任意实数 a, 我们有 {sup } { }, {inf } { }. 1 1 1 1 ∩ ∩ ∞ = ≥ ∞ = ≥ ≤ = ≤ ≥ = ≥ n n n n n n n n f a f a f a f a 由此知 n n f 1 sup ≥ 和 n n f 1 inf ≥ 都是可测函数. 由于 n n f →∞ lim =inf sup , 1 k k n n f ≥ ≥ n n f →∞ lim =supinf . 1 k n k n f ≥ ≥
因此知 limf和imf都是可测函数 例5设∫是可测空间(X,T)上的实值可测函数,g是R上的连续函数则复合函数 h(x)=g((x)是(X,)上的可测函数 证明由例3知道g是R上的 borel可测函数,因此对任意 B∈(R),g(B)∈B(R)由于∫是可测的,由定理2,f(g-(B)∈.因此 h(B)=f(g(B)∈.再次应用定理2知道h(x)是(X,T)上的可测函数■ 以上定理和例5表明可测函数类具有较好的运算封闭性,这将使我们在讨论积分的性 质时十分便利 简单函数与可测函数 定义6设(X,分)为一可测空间.称型如 f(x)=∑a,l 的函数为(X,)上的简单函数.其中a12…an是实数,A1…,An是互不不相交的可测集 并且X=Um4 容易证明下面的定理7和定理8,其证明留作习题 定理7函数∫为简单函数当且仅当∫为只取有限个实值的可测函数 定理8设∫和g1都是简单函数则cf(c为实数)f+g,,,∫∨g和f^g 都是简单函数 设{fn}是一函数列.若对每个x∈X,总有fn(x)≤fn1(x),n≥1,则称{fn}是单 调增加的函数列,记为n个.类似地可以定义单调减少的函数列 定理9设∫是非负可测函数.则存在单调增加的非负简单函数列{厂}处处收敛于∫ 证明对每个n≥1,令 fn(r)fk (x)+n(2m1(x) (图1-3是示意图)由于∫是非负可测函数,故每个fn是非负简单函数.易知{fn}是单调增 加的.对任意x0∈X,若f(x)f(x0)时, 0≤f(x0)-fn(x0)<
73 因此知 n n f →∞ lim 和 n n f →∞ lim 都是可测函数. ■ 例 5 设 f 是可测空间(X, F ) 上的实值可测函数, g 是 1 R 上的连续函数. 则复合函数 h(x) = g( f (x)) 是(X, F ) 上的可测函数. 证 明 由 例 3 知 道 g 是 1 R 上 的 Borel 可测函数 , 因此对任意 B ∈ ( ) 1 B R , ∈ − ( ) 1 g B ( ). 1 B R 由于 f 是可测的, 由定理 2, ∈ − − ( ( )) 1 1 f g B F . 因此 = − ( ) 1 h B ∈ − − ( ( )) 1 1 f g B F . 再次应用定理 2 知道h(x) 是(X, F ) 上的可测函数. ■. 以上定理和例 5 表明可测函数类具有较好的运算封闭性, 这将使我们在讨论积分的性 质时十分便利. 简单函数与可测函数 定义 6 设(X, F ) 为一可测空间. 称型如 ∑= = n i i A f x a I x i 1 ( ) ( ) 的函数为 (X, F ) 上的简单函数. 其中 a "an , 1 是实数, A An , , 1 " 是互不不相交的可测集, 并且 . ∪ 1 n i X Ai = = 容易证明下面的定理 7 和定理 8 , 其证明留作习题. 定理 7 函数 f 为简单函数当且仅当 f 为只取有限个实值的可测函数. 定理 8 设 f 和 g1都是简单函数. 则cf (c 为实数), f + g , fg , f , f ∨ g 和 f ∧ g 都是简单函数. 设{ }n f 是一函数列. 若对每个 x ∈ X, 总有 ( ) ( ), 1, f n x ≤ f n+1 x n ≥ 则称{ }n f 是单 调增加的函数列, 记为 f n ↑ . 类似地可以定义单调减少的函数列.. 定理 9 设 f 是非负可测函数. 则存在单调增加的非负简单函数列{ }n f 处处收敛于 f . 证明 对每个n ≥ 1, 令 ∑= ≥ ≤ f x 时, . 2 1 0 ( ) ( ) 0 n 0 n ≤ f x − f x <
故 lim f,(x0)=f(x).若∫(x0)=+∞,则f(x0)=n,n≥1.于是 lim f,(x0)=+∞ 此时也有imfn(x0)=f(x0)因此{fn}处处收敛于∫.■ k f,(x) k-1 E E, k-1 图1-3 注3由定理的证明可以看出,若∫还是有界的,则{n}收敛于∫是一致的事实上 若0≤f≤M,则当n≥M时,对任意x∈x,成立 05f()-(x)≤1 因此{n}在X上一致收敛于f 推论10设∫为可测函数则存在简单函数列{n}处处收敛于∫并且|f|≤n≥1 若∫还是有界的,则上述收敛是一致的 证明由于∫可测,故∫和都是非负可测函数由定理9,存在简单函数列{gn} 和{hn},使得gn↑∫,h个∫.令厂=8n-hn,n≥1.由定理8知道{n}是简单函数 列,并且 f=lim(g-h)=f-f=f 川≤gn+hn≤f+f=1 若∫是有界的,则∫和厂都是有界的由注3知道{gn}和{仇hn}分别一致收敛于∫和f 因此{厂n}一致收敛于∫■ 推论11设∫为一给定函数.则∫为可测函数的充要条件是存在简单函数列{fn}处处
74 故 lim ( ) ( ). 0 0 f x f x n n = →∞ 若 ( ) , f x0 = +∞ 则 ( ) , f n x0 = n n ≥ 1. 于是 lim ( ) . 0 = +∞ →∞ f x n n 此时也有 lim ( ) ( ). 0 0 f x f x n n = →∞ 因此{ }n f 处处收敛于 f . ■ 图 1—3 注 3 由定理的证明可以看出, 若 f 还是有界的, 则{ }n f 收敛于 f 是一致的. 事实上, 若0 ≤ f ≤ M , 则当n ≥ M 时, 对任意 x ∈ X, 成立 . 2 1 0 ( ) ( ) n n ≤ f x − f x ≤ 因此{ }n f 在 X 上一致收敛于 f . 推论10 设 f 为可测函数. 则存在简单函数列{ }n f 处处收敛于 f 并且 f ≤ f , n ≥ 1. n 若 f 还是有界的, 则上述收敛是一致的. 证明 由于 f 可测, 故 + − f 和f 都是非负可测函数. 由定理 9 , 存在简单函数列{ } gn 和{ }, hn 使得 , . + − g ↑ f h ↑ f n n 令 f = g − h , n ≥ 1. n n n 由定理 8 知道{ }n f 是简单函数 列, 并且 lim f lim(g h ) f f f . n n n n n = − = − = + − →∞ →∞ f g h f f f . n ≤ n + n ≤ + = + − 若 f 是有界的, 则 + − f 和f 都是有界的. 由注 3 知道{ } gn 和{ } hn 分别一致收敛于 + − f 和f . 因此{ }n f 一致收敛于 f .■ 推论 11 设 f 为一给定函数. 则 f 为可测函数的充要条件是存在简单函数列{ }n f 处处 n k 2 −1 n 2 1 1 2 } 2 2 1 { E E k f k n n ≤ < = ∪ − n k 2 y n f (x) f (x) n n 2 2 x N N E1 E2 O
收敛于∫ 证明必要性由推论10即得由于简单函数是可测函数,可测函数列的极限是可测函 数,故充分性成立■ 定理9表明,一个非负可测函数可以用一列单调增加的非负简单函数来逼近.而一般 可测函数可以表示成其正部和负部这两个非负可测函数之差.由于非负简单函数往往较容 易处理因此定理9在研究可测函数的性质时是常常用到的.推论11给出了可测函数的一个 构造性特征.这个构造性特征也可以作为可测函数的定义.这两种定义是等价的 小结本节在抽象可测空间上定义了可测函数,讨论了可测函数的基本性质.可测函 数是一类很广泛的函数,并且有很好的运算封闭性本节还介绍了一类特殊的可测函数,即 简单函数.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征,在研究可测函数 特别是在积分理论中有重要应用 习题习题三,第1题一第17题
75 收敛于 f . 证明 必要性由推论 10 即得. 由于简单函数是可测函数, 可测函数列的极限是可测函 数, 故充分性成立.■ 定理 9 表明, 一个非负可测函数可以用一列单调增加的非负简单函数来逼近. 而一般 可测函数可以表示成其正部和负部这两个非负可测函数之差. 由于非负简单函数往往较容 易处理.因此定理 9 在研究可测函数的性质时是常常用到的. 推论 11 给出了可测函数的一个 构造性特征. 这个构造性特征也可以作为可测函数的定义. 这两种定义是等价的. 小 结 本节在抽象可测空间上定义了可测函数, 讨论了可测函数的基本性质. 可测函 数是一类很广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 本节还介绍了一类特殊的可测函数, 即 简单函数. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征, 在研究可测函数, 特别是在积分理论中有重要应用. 习 题 习题三, 第 1 题—第 17 题
