习题 1.证明以下各式 (1).A∪B=A∪(A∩B) U4-UB=U∩ 3)A⌒dUB,)=U(A⌒B) (4)E-UA=∩(E-A) (5)E-∩4=U(E-4) (6).(A△B)nC=(AnC△(B∩C 2.设{fn}是R上的一列实值函数,满足f1(x)≤/2(x)≤…,x∈R.并设{fn} 存在极限函数f(x).证明对任意实数c,成立 (i).(x: f(x)>c)=UEx: f,(x)>c) (i).{x:f(x)≤c} fn(x)≤c} 3.设{fn}是R上的一列实值函数证明 {x:lmfn(x)=+}=∩U∩x:f(x)>k k≥1m2ln2m 4.设EcR",a∈R",记a+E={a+x:x∈E}.证明若A,B∈R",a∈R",则 ().a+A∩B=(a+A)∩(a+B) (i).a+A=(a+A) 5.设An1=(0,),A2n=(0,n),n≥1.求imAn和limA 6.设{fn}是R”上的一列实值函数,A∈R",并且在R”上 f(x)→l4(x)(n→∞).证明lim{x:J(x)≥1/2}=A 7.设∫是X到Y的映射,{41}=r是X中的一族集.证明 (/UA=U/(4)
33 习 题 一 1. 证明以下各式: ∪ ∪∩ ∪ n i n i m j i j m j i j c A B A B A B A A B 1 11 1 (2). ( ). (1). ( ). = == = − = − ∪ = ∪ ∩ ∪ ∪( ) t T T t A Bt A Bt ∈ ∈ (3). ∩ ( ) = ∩ . (4). ∪ ∩( ). t T t t T E At E A ∈ ∈ − = − (5). ∩ ∪( ). t T t t T E At E A ∈ ∈ − = − (6). (A∆B) ∩C = (A∩C)∆(B ∩ C). 2. 设{ }n f 是 1 R 上的一列实值函数, 满足 ( ) ( ) , f1 x ≤ f 2 x ≤ " x ∈ 1 R . 并设{ }n f 存在极限函数 f (x). 证明对任意实数 c, 成立 (i). { : ( ) } { : ( ) }. 1 ∪ ∞ = > = > n n x f x c x f x c (ii). { : ( ) } { : ( ) }. 1 ∩ ∞ = ≤ = ≤ n n x f x c x f x c 3. 设{ }n f 是 1 R 上的一列实值函数. 证明 ∩∪∩ 1 1 { : lim ( ) } { : ( ) }. ≥ ≥≥ →∞ = +∞ = > km m n n n n x f x x f x k 4. 设 E ⊂ , n R a ∈ , n R 记 a + E = {a + x : x ∈ E}. 证明若 A, , B ∈ n R a ∈ , n R 则 (ii). ( ) . (i). ( ) ( ). c c a A a A a A B a A a B + = + + ∩ = + ∩ + 5. 设 ), (0, ), 1. 1 (0, 2 −1 = A2 = n n ≥ n A n n 求 lim lim . n n n n A A →∞ →∞ 和 6. 设 { }n f 是 n R 上的一列实值函数 , , n A ⊂ R 并且在 n R 上 f (x) → I (x) (n → ∞). n A 证明 lim{x : f (x) 1 2} A. n n ≥ = →∞ 7. 设 f 是 X 到Y 的映射, At t∈T { } 是 X 中的一族集. 证明 (i). ( ). t t tT tT f A fA ∈ ∈ = ∪ ∪
)f∩4c∩f(4) (in)给出一个例子,使得f(A⌒B)≠f(A)∩f(B) 8.设∫是X到Y的映射,{A4}r是Y中的一族集,AcY.证明 f∪4|=U(4) Gy41=∩f(4) (i).f(A)=(f-(A) 此外,若∫:X→Y,g:Y→Z,则对AcZ成立 (iv).(g°f)-(A)=f(g-(4) 9.证明关于特征函数的如下等式: (1).IB(x)=l4(x)+l(x)-la(x) (2).Ia2(x)=l4(x)/(x) (3)若{4}是X的一列互不相交的子集,A=UA,则1(x)=∑(x) (4).若AcX,B∈Y,则lAB(x)=lA(x)l2(x) (5).设{An}是一列集,A= limA,B= lim a,则lA(x)=lim/4(x) IR(x)=lim/(x) 10.设A是无限集,B是可数集.证明若存在一个A到B的单射f,则A是可数集 11.证明可数集的有限子集的全体是可数集 12.设∫(x)是[0,1上的实值函数,并且存在M>0,使得对[0,1]中的任意有限个不 同的数x1…x,均有|(x)+…f(xn)≤M.证明A={x∈[0f(x)≠0}是至多 可数集 提示:A=∪4,其中A={x∈[0,11(x)>} 13.证明以有理数为端点的区间只有可数个 14.设A是R中的不可数集.证明存在x∈A,使得对任意E>0, A∩(x-E,x+E)不是可数集 提示:利用上题的结果
34 (ii). ( ). t t tT tT f A fA ∈ ∈ ⊂ ∩ ∩ (iii).给出一个例子, 使得 f (A∩ B) ≠ f (A) ∩ f (B). 8. 设 f 是 X 到Y 的映射, At t∈T { } 是Y 中的一族集, A ⊂ Y. 证明 (ii). ( ). (i). ( ). 1 1 1 1 ∩ ∩ ∪ ∪ t T t t T t t T t t T t f A f A f A f A ∈ − ∈ − ∈ − ∈ − = = (iii). ( ) ( ( )) . 1 c 1 c f A f A − − = 此外, 若 f : X → Y, g :Y → Z, 则对 A ⊂ Z 成立 (iv).( ) ( ) ( ( )). 1 1 1 g f A f g A − − − D = 9. 证明关于特征函数的如下等式: (1). I (x) I (x) I (x) I (x). A∪B = A + B − A∩B (2). I (x) I (x)I (x). A∩B = A B (3).若{ } An 是 X 的一列互不相交的子集, , 1 ∪ ∞ = = n A An 则 ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = = n A A I x I x n (4). 若 A ⊂ X , B ⊂ Y, 则 I (x) I (x)I (x). A×B = A B (5). 设 { } An 是一列集 , lim , n n A A →∞ = lim . n n B A →∞ = 则 I (x) limI (x), An n A →∞ = I (x) lim I (x). An n B →∞ = 10. 设 A 是无限集, B 是可数集. 证明若存在一个 A 到 B 的单射 f , 则 A 是可数集. 11. 证明可数集的有限子集的全体是可数集. 12. 设 f (x) 是[0, 1]上的实值函数, 并且存在 M > 0, 使得对[0, 1]中的任意有限个不 同的数 , , 1 n x "x 均有 ( ) ( ) . f x1 +" f xn ≤ M 证明 A = {x ∈[0,1]: f (x) ≠ 0} 是至多 可数集. 提示: ∪ ∞ = = 1 , k A Ak 其中 { [0,1]: ( ) }. 1 k x k A = x ∈ f > 13. 证明以有理数为端点的区间只有可数个. 14. 设 A 是 1 R 中的不可数集 . 证明存在 x ∈ A, 使得对任意 ε > 0, A∩ (x − ε, x + ε ) 不是可数集. 提示: 利用上题的结果
15.设A是R中的可数集证明E={x-y:x,y∈A}是可数集 16.设A是R中的可数集证明存在x∈R,使得A∩(x+A)=② 提示:令E={x-y:x,y∈A},则R1-E≠② 17.证明[O,1]×[0,1]~[0,1 18.设{An}是环界中的一列集.证明存在中一列互不相交的集{Bn},使得 U4UB,∪4七 19.证明:集类4是一个代数当且仅当4是一个包含全空间X的环 20.若丌为代数并且对不相交可数并运算封闭,则为σ一代数 21.设X是一无限集.证明 (1).令 A={A:A或A是有限集 则4是X上的一个代数,但不是σ-代数 (i).令 丌={A:A或A是至多可数集} 证明J是σ-代数 22.设是X上的a一代数,E∈X.令E={E∩A:A∈男}.证明是E上的 代数 23.设A是X的一个非空真子集证明o(A)={∞,X,A,As} 24.举例说明X上的两个G一代数的并不一定是a一代数 25.设AcX.令C={E: ACECX}.求(C) 26.设C为一半环,(C)是由C生成的环.证明a(C)=a((C) 7.设C是一非空集类.证明对每个A∈σ(C),都存在中一列集{An},使得 A∈o(A,,n≥1) 提示:令={A:存在{An}CC,使得A∈o(An,n≥1)}.证明是包含的C 的-代数 28.设∫:x→Y是X到Y的映射,C是Y上的集类证明 o(-()=f(o(c) 其中f-(C)={f-(E):E∈C 提示令={A:A∈G(),∫(A)∈o(f-(C)}.则是一个-代数 29.设x0∈R”,P0.证明 (i)x的r-邻域U(x0,r)是开集 (i).S(x0,p)={x:d(x,x0)≤r}是闭集
35 15. 设 A 是 1 R 中的可数集. 证明 E = {x − y : x, y ∈ A}是可数集. 16. 设 A 是 1 R 中的可数集. 证明存在 x0 ∈ , 1 R 使得 ( ) . A ∩ x0 + A = ∅ 提示: 令 E = {x − y : x, y ∈ A}, 则 . 1 R − E ≠ ∅ 17. 证明[0,1]×[0,1] ~[0,1]. 18. 设 { } An 是环 R 中的一列集. 证明存在 R 中一列互不相交的集 { }, Bn 使得 ∪ ∪ ∪ ∪ ∞ = ∞ = = = = = 1 1 1 1 , . i i i i n i i n i Ai B A B 19. 证明: 集类 A 是一个代数当且仅当 A 是一个包含全空间 X 的环.. 20. 若F 为代数并且对不相交可数并运算封闭, 则F 为σ − 代数. 21. 设 X 是一无限集. 证明 (i). 令 A { : 或 是有限集}. c = A A A 则 A 是 X 上的一个代数, 但不是σ -代数. (ii).令 F = {A : A 或 c A 是至多可数集} 证明F 是σ − 代数. 22. 设F 是 X 上的σ − 代数, E ⊂ X. 令F = {E ∩ A : A∈F }. E 证明FE 是 E 上的 σ − 代数. 23. 设 A 是 X 的一个非空真子集. 证明σ (A) { , , , } c = ∅ X A A . 24. 举例说明 X 上的两个σ − 代数的并不一定是σ − 代数. 25. 设 A ⊂ X. 令C = {E : A ⊂ E ⊂ X}. 求σ (C ). 26. 设C 为一半环, R (C ) 是由C 生成的环. 证明σ (C ) = σ (R (C )). 27. 设C 是一非空集类. 证明对每个 A∈ σ (C ), 都存在中一列集{ }, An 使得 A∈ (A ,n ≥ 1). σ n 提示: 令F ={A: 存在{ } ⊂C , An 使得 A∈ (A , n ≥ 1)} σ n . 证明F 是包含的C 的σ − 代数. 28. 设 f : X → Y 是 X 到Y 的映射, C 是Y 上的集类. 证明 ( ( )) ( ( )). 1 1 σ C σ C − − f = f 其中 ( ) { ( ) : }. 1 1 C = ∈C − − f f E E 提示: 令F { : ( ), ( ) ( ( ))}. 1 1 C C − − = A A∈σ f A ∈σ f 则F 是一个σ − 代数. 29. 设 x0 ∈ n R , r>0. 证明 (i). 0 x 的 r − 邻域 ( , ) 0 U x r 是开集. ( ) ii). ( , 0 S x r ={ : ( , ) } 0 x d x x ≤ r 是闭集
(ii). U(o, r)=S(xo, r) 30.设A,BcR”.证明 (1).(A∩B)°=A°∩B° (i)(AUB)=A'∪B,A∪B=AUB 31.设AcR",证明A的闭包A和A的导集A都是闭集 32.设A,BcR”,A∩B=.证明A∩B°= 证明定理149 设AcR",x∈R".定义x与A的距离为d(x,A)=infd(x,y).证明: (i).函数f(x)=d(x,A)是R”上的连续函数 (i).若A是闭集,xgA.则d(x,A)>0 (i).若A是有界闭集,则对任意x∈R",存在y∈A使得 d(x, yo)=d(x, a) 35.设f(x)是R”上的实值函数.证明f(x)在R上连续的充要条件是对任意 常数c,集{x:f(x)≤c}和{x:f(x)≥c}都是闭集 36.证明:每个闭集可以表示成可数个开集的交每个开集可表示成可数个闭集的并 37.证明空集和全直线是直线上仅有的又开又闭的集 提示:利用直线上开集的构造定理 38.设AcR".证明若A是可数集,则A是可数集 提示:先证明若A"=②,则A是有限集或者可数集 39.设∫是R上的实值函数.证明∫的连续点的全体是一个G。型集 提示{a:imf(x)存在并且有限}=∩Gn,其中 G,=(a: 38>0,Vx', EU(a, 8),(x)-f(r)0}是F型集 x:limf(x)=+∞}是G。型集 提示:limf(x)>0当且仅当存在k∈N和m∈N,使得对任意 n≥m,f(x)≥1/k 41.设∫是[a,b上单调增加的实值函数,使得f([a,b])在[f(a),f(b)中稠密 证明∫在[a,b上连续 42.分别在以下情形下,证明G(C)=(R)
36 (iii). ( , ) ( , ). 0 0 U x r = S x r 30. 设 A, B ⊂ . n R 证明 (i). ( ) . D D D A∩ B = A ∩ B ( , ii). (A∪ B)′ = A′ ∪ B′ A ∪ B = A ∪ B. 31. 设 A ⊂ , n R 证明 A 的闭包 A 和 A 的导集 A′ 都是闭集. 32. 设 A, B ⊂ , n R A ∩ B = ∅. 证明 ∩ = ∅. D A B 33. 证明定理 1.4.9. 34. 设 A ⊂ , n R x ∈ . n R 定义 x 与 A 的距离为 d(x, A) inf d(x, y) y∈A = . 证明: (i). 函数 f (x) = d(x, A) 是 n R 上的连续函数. (ii). 若 A 是闭集, x ∉ A. 则 d(x, A) > 0. (iii). 若 A 是有界闭集 , 则对任意 x ∈ , n R 存 在 y0 ∈ A 使 得 ( , ) ( , ). d x y0 = d x A 35. 设 f (x) 是 n R 上的实值函数. 证明 f (x) 在 n R 上连续的充要条件是对任意 常数 c, 集{x : f (x) ≤ c}和{x : f (x) ≥ c}都是闭集. 36. 证明: 每个闭集可以表示成可数个开集的交,每个开集可表示成可数个闭集的并. 37. 证明空集和全直线是直线上仅有的又开又闭的集. 提示: 利用直线上开集的构造定理. 38. 设 A ⊂ . n R 证明若 A′ 是可数集, 则 A 是可数集. 提示: 先证明若 A′ = ∅, 则 A 是有限集或者可数集. 39. 设 f 是 1 R 上的实值函数. 证明 f 的连续点的全体是一个Gδ 型集. 提示: { : lim ( ) } . 1 ∩ ∞ = → = n n x a a f x 存在并且有限 G 其中 }. 1 { : 0, , ( , ), ( ) ( ) n G a x x U a f x f x n = ∃δ > ∀ ′ ′′∈ δ ′ − ′′ 0} →∞ x f x n n 是 Fσ 型 集 , { : lim ( ) = +∞} →∞ x f x n n 是Gδ 型集. 提 示 : lim ( ) > 0 →∞ f x n n 当且仅当存在 k ∈ N 和 m ∈ N, 使得对任意 n ≥ m, f (x) 1 k . n ≥ 41. 设 f 是 [a,b] 上单调增加的实值函数, 使得 f ([a,b]) 在 [ f (a), f (b)] 中稠密. 证明 f 在[a,b]上连续. 42. 分别在以下情形下, 证明 ( ) ( ) 1 σ C = B R :
(1).C是直线上型如[a,+∞)区间的全体 (2).C是直线上有界左开右闭区间(a,b]的全体 (3).C是直线上有界左开右闭区间(a,b]的全体生成的环,即 C={∪(an,b:其中a,b]…(a,b1互不相交,k21 43.设AcR”,x∈R.证明若A∈B(R"),则x+A∈(R").其中 +a=x+x A 提示:设C是直线上有界左开右闭区间(a,b]的全体令 丌={A∈当(R"):x+A∈(R") 证明丌是包含的C的σ一代数
37 (1). C 是直线上型如[a, + ∞) 区间的全体. (2). C 是直线上有界左开右闭区间(a, b]的全体. (3). C 是直线上有界左开右闭区间(a, b]的全体生成的环, 即 { ( , ]: ( , ], ,( , ] , 1}. 1 1 1 = ≥ = a b a b a b k k k k i C ∪ i i 其中 " 互不相交 43. 设 A ⊂ , n R x0 ∈ . n R 证明若 A∈ ( ), n B R 则 x0 + A∈ ( ). n B R 其中 { : }. x0 + A = x0 + x x ∈ A 提示: 设C 是直线上有界左开右闭区间(a, b]的全体. 令 F { ( ) : ( )} 0 n n = A∈B R x + A∈B R . 证明F 是包含的C 的σ − 代数