目 录 序 前言 第一章集类与测度· 1集合运算与集类… 2单调类定理（集合形式） ········ ·5 3测度与非负集函数…… 84外测度与测度的扩张 S5欧氏空间中的Lebesgue-Stieltjes测度…19 86测度的通近·… ·····…21 第二章可测映射… …24 81定义及基本性质 24 2单调类定理（函数形式）………………29 S3可测函数序列的几种收敛………………34 第三章积分………………… …40 1定义及基本性质…………………40 S2积分号下取极限 ·········· ···········…45 3不定积分与符号测度…49 4空间LP及其对偶…………61 S5 Daniell积分… ·····…··72 S6 Bochner积分和Pettis积分……………77 第四章乘积可测空间上的测度与积分………84 S1乘积可测空间 ···84 S2乘积测度与Fubini定理….....…86 3由-有限核产生的测度… …92 84无穷乘积空间上的概率测度·… ·········96 第五章Hausdorff空间上的测度与积分……99 S1拓扑空间… ·…99 S2局部紧Hausdorff空间上的测度与Riesz表现定理109 S3 Hausdorff空间上的正则测度·… ·…*··115
S4空间Co(x)的对偶 5用连续函数通近可测函数………………124 6乘积拓扑空间上的测度与积分…·126 7波兰空间上有限测度的正则性………133 第六章测度的收敛……………138 S1欧氏空间上Borel测度的收敛…138 82距离空间上有限测度的弱收敏……141 S3胎紧与Prphorov定理… …*·145 4波兰空间上概率测度的弱收敏……………148 S5局部紧Hausdorff空间上Radon测度的淡收敏…151 第七章概率论基础选讲……………157 S1事件和随机变量的独立性……157 S2条件数学期望与条件独立性……………………162 3正则条件概率………… .···174 §4 Kolmogorov相容性定理及Tulcea定理的推广…………181 S5随机变量族的一致可积性…… *187 6本性上确界…… S7解析集与Choquet容度·……200 8经典映论… ,··…207 参考文献……………… …217 名词索引…………… 218 .vi
第一章集类与测度 §1集合运算与集类 集合是现代数学的最基本的概念之一,任何一组彼此可以区 别的事物便构成一个集合.在测度论中,我们通常在某一(或某 些)给定的集合(称为空间)中讨论问题 11令9为一给定的非空集合,其元素以w记之.设A为 的子集,我们用u∈A或日A分别表示u属于A或不属于A 不含任何元素的集称为空集,以卩记之.我们用AB或BCA 表示B是A的子集,用 A∩B,AUB,A\B,A△B 分别表示A与B的交、并、差和对称差,即 AnB={u:w∈A且∈B},AUB={:u∈A或u∈B}, A\B={:w∈A且wgB},A△B=(A\B)U(B\A 我们用A°表示9\A,并称A°为A(在9中)的余集,于是有 A\B=A∩B°.有时也用AB表示A∩B.若A∩B=0,称A与 B互不相交.显然有A∩A°=0,AUA°=92 12集合交和并运算满足如下的交换律、分配律及结合律: A∩B=B∩A,AUB=BUA; (AUB)∩C=(An∩CU(B∩C), (ANBUC=(AUC)n(BUC) (AnB)nC=A∩(BnC),(AUB)UC=AU(B∪C 此外,它们关于余集运算有如下的 de Morgan公式 (AnB)°=A°UB°,(AUB)=As∩B°,(A°)°=A
13以9的某些子集为元素的集合称为(上的)集类.今 后,如无特别说明,总假定集类是非空的,即至少含一个元素(可 以是空集).设{A;,i∈为一集类,其中I为指标集,它用以给 集类元素“编号”,则可如下定义集类中元素的交与并: ∩A;={:w∈A,对一切i∈I}, i∈I UA2={:∈A,对某一i∈} 我们有相应的交换律、分配律、结合律及 de morgan公式 14设{An,n≥1}为一集合序列.若对每个m,有AnC An+1(相应地,AnAn+1),则称(An)为单调增(相应地,单调 降).二者统称为单调列对单调增或单调降序列(An),我们分别 令A=UnAn或A=∩nAn,称A为(An)的极限,通常记为 An↑A或An↓A.一般地,对任一集列(An),令 lim sup An=∩∪A, lim inf An=∪∩Ak n=l k=n m=l k 分别称其为(An)的上极限和下极限.显然有 lim sup An={u:w属于无穷多个An}, 7→0 lim inf An={:a至多不属于有限多个An} 从而恒有 lim inf An C lim sup A,若 lim inf A= lim sup An,称 n→ n→。 (An)的极限存在,并用lmAn表示(An)的极限(即令 lim An= 7→ lim inf An= lim sup An) 几→。。 15设{An,n≥1}为一集列.若(An)两两不相交(即≠ m今An∩Am=0)则常用∑An表示UnAn若有∑,An=9 称{An,n≥1}为9的一个划分
对任一集列(An),令 B1=A1,Bn=AnA…A-1,n≥2, 则{Bn,n≥1}中集合两两不相交,且有∑nBn=∪nAn这 将可列并表示为可列不交并的技巧是很有用的 16设C为一集类(约定是非空的),如果A,B∈C→A∩B∈ C(从而A1,A2,…An∈C→A1A2…,An∈C),称C对有限交封 闭如果An∈C,n≥1→∩nAn∈C,称C对可列交封闭类似可 定义“对有限并封闭”及“对单调极限封闭”等概念.令 A;:n≥1,A;∈C,i=1 2= 1 则Cnr对有限交封闭,我们称Cnf为用有限交运算封闭C所得的 集类.类似地,我们用 Uf,tSf,cs,ca,CEσ 分别表示用有限并、有限不交并、可列交、可列并及可列不交并 封闭C所得的集类.此外,我们用Cn,Jf表示(Cn)Uf,用Ca6表 示(C).今后常用这些记号,读者应熟悉并牢记它们 17命题设C为一集类,则有如下结论: (1)Cnf, uf=Cuf, nf (2)若C对有限交封闭,则CUf,Cxf,C及C亦然; (3)若C对有限并封闭,则Cn及C亦然 证直接从集合的交和并的分配律推得 现在我们用对集合运算的封闭性来划分不同类型的集类.下 面是测度论中常用的一些集类的定义 18定义设C为一集类 (1)称C为丌-类,如果它对有限交封闭 (2)称C为半环,如果0∈C,且有 A,B∈C→A∩B∈C,A\B∈Cxf
(3)称C为半代数,如果它是半环,且∈C (4)称C为代数(或域),如果它对有限交及取余集运算封闭 (由此推知9∈C,0∈C,且C对有限并及差运算封闭) (5)称C为a代数,如果它对可列交及取余集运算封闭(由此 推知C对可列并及差运算封闭,且9∈C,0∈C (6)称C为单调类,如果它对单调序列极限封闭(即An∈ C,n≥1,An↑A或An↓A→A∈C (7)称C为类,如果它满足下列条件 (i)g∈C; (i)A,B∈C,BCA→A\B∈C; i)An∈C,n≥1,An↑A→A∈C 易知:σ-代数为入类,入类为单调类 19例设R为实直线(即丑=(-∞,∞)),令 C1={(-∞,]:a∈B},C2={(a,∞):a∈政}, C3={(a,刮:a≤b,a,b∈政}, 则C1,C2及C3为丌类,C1UC2UC3为半环,C1UC2UC3∪{B} 为半代数 习题 110(A△B)△C=A△(B△C, (A△B)nC=(AnC)△(B∩C) (A1UA2)△(B1UB2)c(A1△B1)U(A2△B2) 1.11(lim inf An) n(lim sup Bn)C limsup(AnnBn t→。 112对可列不交并封闭的代数为a-代数 113若C同时为代数和单调类或同时为丌类和入类,则C 为a-代数 114设C为半代数,则Cx∫为代数 115入类定义中的条件(i)及(i)等价于如下二条件:
(i)′A∈C→Ac∈C; i)A,B∈C,A∩B=0→AUB∈C. 1.16设C为一集类,且∈C,令 A;】∩ m,m≥1,A,B;∈C, 1<讠< 则gC,且9为半环.特别若C对有限并及有限交封闭,则 A∩Bc:A,B∈C}为半环 §2单调类定理(集合形式) 设{C::讠∈Ⅰ为9上一族集类,若每个集类C;对某种集 合运算封闭,则其交∩1C;亦然.于是对9上的任一非空集类C 存在包含C的最小a-代数、最小入类和最小单调类,我们分别 称之为由C生成的a-代数、类和单调类,并分别用a(C),A(C)和 m(C)记之,我们恒有m(C)cA(C)co(C).本节主要研究在什么 条件下有m(C)=a(C)或(C)=0(C) 21定理设C为一集类. (1)若C为代数,则m(C)=σ(C) (2)若C为一丌-类,则入(C)=a(C) 证(1)令 G1={A∈m(C):A∈m(),A∩B∈m(C),VB∈C}, 则Cc91,且1为单调类,故g1=m(C).令 g2={A∈m(C):AnB∈m(C),VB∈m(C)} 则由上所证91=m(C)知,Cc92.但92为单调类,故92=m(C 综上所证,我们有 A∈m(C)→A∈m(C);A,B∈m(C)→A∩B∈m(C), 5
即m(C)为一代数,从而m(C)为σ-代数(习题113),因此有 m(C)0().但相反的包含关系恒成立,故最终有mn(C)=0(C) (2)的证明类似,请读者自行完成 此定理称为单调类定理.它表明:为验证某σ-代数F中元 素有某种性质,只需验证:(1)有一生成F的代数(丌-类)C,其元 素有该性质;(2)有该性质的集合全体构成一单调类(相应地,入 类).而这后二者的验证往往比较容易.单调类定理是测度论中的 一个重要的证明工具.今后我们将陆续给出它的应用 作为定理21的一个简单推论,我们有单调类定理的如下更 有用的形式 22定理设C,F为两个集类,且CCF (1)若C为代数,且厂为单调类,则o(C)c; (2)若C为丌-类且厂为类,则σ(C)C 现在我们着手推广定理21,即寻找使m(C)=(C)或λ(C) (C)的充要条件.细心的读者可能已经看出:在定理21(1)的证 明中,只要C满足 A∈C→A°∈m(C);A,B∈C→A∩B∈m(C), 则定理结论仍成立.于是我们得到定理21的下述推广 23定理设C为一集类 (1)为要m(C)=0(C),必须且只需 A∈C→A°∈m(C);A,B∈C→A∩B∈m(C) (2)为要A(C)=o(C),必须且只需: A,B∈C→A∩B∈)(C) 由此定理,我们还可推得如下的 24定理设C为一集类 (1)为要m(C)=o(C),必须且只需: A∈C→A°∈m(C);A,B∈C→AUB∈m(C)
(2)为要A(C)=a(C),必须且只需: A,B∈C→AUB∈A(C 证令D={A°:A∈C},则由定理23,分别在(1)及 (2)的条件下推得m(D)=0(D)及A(D)=0(D).我们分别有 m(D)cm(C)(因Dcm()及A(D)=入(C)(请读者自行验证,故 定理中条件的充分性得证.条件的必要性是显然的 上述两个定理过于一般,实际难于应用,但它们的下述推论 是有用的(例如见下面的例26及定理63).需要指出:如果不首 先建立定理23及24,那么是不易发现定理25的 25定理设C为一集类若它满足下列条件之一,则有m(C) c (1)A,B∈C→A∩B∈C,A∈C→A∈C (2)A,B∈C→AUB∈C,A∈C→Ac∈Ca (关于记号C及C见1.6) 证若C对有限交封闭,则CCm(C;若C对有限并封闭, 则CCm(C).因此条件(1)及(2)分别蕴含定理23及24的(1) 中条件,定理得证 26例设X为一距离空间,F表示X中闭集全体,9表示 X中开集全体.显然有o(F)=o(9),我们称它为X的 Borel o-代 数,记为B(X)显然9及F分别满足定理25的条件(1)及(2),于 是我们有m(F)=m(9)=B(X)但这一结果并不能从定理21推 得.由此可见,我们将经典的单调类定理进行推广是有意义的 作为本节的结束,我们引进可分a-代数及原子概念 27定义设F为一σ-代数.称厂为可分的(或可数生成 的),如果存在F的一可数子类C,使得a(C)=f 注意:可分a代数的元素未必是可数多个 由习题116及114易知:若F可分,则存在一代数C,其元 素个数至多可数,使得o(C)=F
28定义设厂为上的一σ-代数.对任一∈g,令 ={B∈F:∈B},Au)=∩B, B∈ 称A(u)为含的原子 请读者证明下述结论: (1)设,u∈9则或者A()=A(u),或者A(u)nA()=0; (2)设F可分,C为生成F的可数代数.对任何w∈9,令 C={B∈C:∈B},则有 A)=∩B B∈c 习题 29设C为9上的一集类,AC9.令 AnC={AnB:B∈C} 这一记号以后常用到),并用OA(A∩C)表示A∩c(视为A上集类) 在A上生成的a-代数,则有 A(A∩C)=A∩o(C) 对m(C)、入(C)亦有类似结果 210设F为9上的一0代数,C={A1,A2,…}为92的 个可数划分(即An∩Am=0,n≠m,∑nAn=2),则对任何 B∈a(F∪C),存在Bn∈,n=1,2,…,使得 B=∑(Bn∩An) 211设C为一集类.则对任何A∈o(C),存在C的可数子类 D,使得A∈a(D). 8