46乘积测度与 Fubin定理 教学目的本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理 Fubini定理 本节要点乘积测度的构造利用了§22测度的延拓定理. Fubin定理是 积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分累次积分交换积 分顺序的定理 Fubini定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用 设X和Y是两个非空集,AcX,BcY.称AxB为XxY中的矩形(定义 A×=z,×B=) 例如平面可以看成是直线与直线的乘积,即R×R1=R2.当A和B是直线上的有 界区间时,A×B就是平面上的通常意义下的矩形.本节在抽象空间的情形下讨论乘积空间 但可以将R×R=R这一特殊情形作为直观模型。通过直接验证,不难证明矩形具有如 下性质(图6-1) 1).(A1×B1)∩(A2×B2)=(A1∩A2)×(B1∩B2) (2)(A1×B1)-(A2×B2)=[(41-A2)×B1]u[(A1∩A2)×(B1-B2 B E B E2 A2 A E1=(A1-A2)×B1E2=(A1∩A2)×(B1-B2) 图6-1 设(X,,p)和(Y,,v是两个测度空间.若A∈A,B∈罗,则称AxB为可测矩形.设 C是可测矩形的全体所成的集类.利用上面所列的矩形的性质,容易验证C是一个半环 由C生成的σ-代数o(C)称为4与多的乘积-代数,记为×B
116 §4.6 乘积测度与 Fubini 定理 教学目的 本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理 —Fubini 定理. 本节要点 乘积测度的构造利用了§2.2 测度的延拓定理. Fubini 定理是 积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分,累次积分交换积 分顺序的定理.Fubini 定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用. 设 X 和 Y 是两个非空集 , A ⊂ X, B ⊂ Y. 称 A× B 为 X ×Y 中 的 矩 形 ( 定 义 A×∅ = ∅, ∅ × B = ∅ ). 例如,平面可以看成是直线与直线的乘积, 即 1 R × =1 R . 2 R 当 A 和 B 是直线上的有 界区间时, A× B 就是平面上的通常意义下的矩形. 本节在抽象空间的情形下讨论乘积空间, 但可以将 1 R × =1 R 2 R 这一特殊情形作为直观模型. 通过直接验证, 不难证明矩形具有如 下性质(图 6—1): (1).( ) ( ) ( ) ( ). A1 × B1 ∩ A2 × B2 = A1 ∩ A2 × B1 ∩ B2 (2).( ) ( ) [( ) ] [( ) ( )]. A1 × B1 − A2 × B2 = A1 − A2 × B1 ∪ A1 ∩ A2 × B1 − B2 图 6-1 设 (X, A,µ) 和(Y, B,ν ) 是两个测度空间. 若 A∈A, B ∈B, 则称 A× B 为可测矩形. 设 C 是可测矩形的全体所成的集类. 利用上面所列的矩形的性质, 容易验证C 是一个半环. 由C 生成的σ − 代数 σ (C ) 称为 A 与B 的乘积σ -代数, 记为A ×B. ( ) ( ) 1 1 2 1 E 2= A1 ∩ A2 × B1 − B2 E = (A − A )× B X A1 A2 E1 B2 B1 Y E2
在C上定义一个非负值集函数如下.对任意AxB∈C,令 (4xv)(A×B)=(A)·v(B) 定理1由(1)式定义的集函数Xv是C上的测度 证明显然(Xv))=0.往证pXv在C上是可数可加的.设A×B是一个可测矩 形,{A,xBn}是一列互不相交的可测矩形使得AxB=Um14×B由于{ A xB}是 互不相交的,故成立 14(x)l2(y)=∑l2(x)(y) 对任意固定的y∈Y,将上式两边对x积分并利用单调收敛定理得到 (A)2(y)=∑(An)B() 再对y积分得到(A)H(B)=∑(4)v(Bn)这就是 (XD(AxB)=∑(x) A xB) 即yxv在C上是可数可加的.因此Xv是C上的测度■ 设界是由C生成的环,即 R={4=UE,E1,E是互不相交的可测矩形k≥l 注意由于XxY∈,故实际上是一个代数.按下面的方式将Xv延拓到上.若 E∈,E的一个分解式为E=U4×B,则令 (x)(E)=∑u(4)(B) 由§22引理7,(μxv)(A×B)的值不依赖于A×B的分解式的选取.由定理1和22定理8 立即得到如下定理 定理2由(2)式定义的集函数Xv是上的测度 设(×v)是由HXv导出的外测度,m是(×v)可测集的全体所成的a一代数 由22定理5,(4xv)在M上是一个测度,称这个测度为和v的乘积测度,仍记为
117 在C 上定义一个非负值集函数如下. 对任意 A× B ∈C , 令 (µ ×ν )(A× B) = µ(A)⋅ν (B). (1) 定理 1 由(1)式定义的集函数 µ ×ν 是C 上的测度. 证明 显然(µ ×ν )(∅) = 0 . 往证 µ ×ν 在C 上是可数可加的. 设 A× B 是一个可测矩 形, { } An × Bn 是一列互不相交的可测矩形使得 1 . n n n AB A B ∞ = ×= × ∪ 由于{ } An × Bn 是 互不相交的, 故成立 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ∑ ∞ − = n A B A B I x I y I x I y n n 对任意固定的 y ∈Y, 将上式两边对 x 积分并利用单调收敛定理得到 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = = n B n B A I y A I y n µ µ 再对 y 积分得到 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = ⋅ = ⋅ n µ A ν B µ An ν Bn 这就是 ( )( ) ( )( ). 1 ∑ ∞ = × × = × × n µ ν A B µ ν An Bn 即 µ ×ν 在C 上是可数可加的. 因此 µ ×ν 是C 上的测度. ■ 设R 是由C 生成的环, 即 { : ,, , 1}. 1 1 = = ≥ = A E E E k k k i R ∪ i 是互不相交的可测矩形 注意由于 X ×Y ∈ R, 故 R 实际上是一个代数. 按下面的方式将 µ ×ν 延拓到 R 上. 若 E∈R, E 的一个分解式为 , ∪ 1 k i E Ai Bi = = × 则令 ( )( ) ( ) ( ). 1 ∑= × = ⋅ k i µ ν E µ Ai ν Bi (2) 由§2.2.引理 7, (µ ×ν )(A× B) 的值不依赖于 A× B 的分解式的选取. 由定理 1 和§2.2 定理 8 立即得到如下定理. 定理 2 由(2)式定义的集函数 µ ×ν 是R 上的测度. 设 ∗ (µ ×ν ) 是由 µ ×ν 导出的外测度, Mµ×ν 是 ∗ (µ ×ν ) 可测集的全体所成的σ − 代数. 由§2.2 定理 5, ∗ (µ ×ν ) 在Mµ×ν 上是一个测度, 称这个测度为 µ 和ν 的乘积测度, 仍记为
HxV.称测度空间(X×Y,w,xv)为(X,,)与(Y,罗,V)乘积空间.由22定理 10,测度空间(XxY,,xv)是完备的.容易证明若和V都是G-有限的,则 v也是a-有限的(其证明留作习题) 由第一章习题第26题的结果知道σ(C)=o().由.4×的定义和§22定理5 A×=0(C)=a()∈x 因此4Xv也是Ax上的测度.有时也称测度空间(X×Y,4×,Xv为(X,A,)与 (,,v)乘积空间. 下面我们将证明 Fubini定理.为此需要作一些准备.设 ECXXY,x∈X.称集 Ex={y∈Y:(x,y)∈E}为E在x的截口.类似地,对y∈Y,称集 E,={x∈X:(x,y)∈E}为E在y的截口.注意E和E,分别是Y和X的子集(图6-2) E3 图6—2 容易验证关于截口成立 (D). (UEn=U(Ex ().(E-F)=E3-Fx 同样,关于y的截口也成立类似的性质 定理3设(X,A,p)和(H,,v)是两个一有限的测度空间,E∈A×.则 ()对任意x∈X,必有Ex∈B (i1).v(E)和是(X,A,)上的可测函数.并且成立等式 (×XE)=v(E)d
118 µ ×ν . 称测度空间 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 为 (X, A,µ) 与 (Y, B,ν ) 乘积空间. 由§2.2.定理 10, 测度空间 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 是完备的. 容易证明若 µ 和ν 都是 σ − 有限的, 则 µ ×ν 也是σ − 有限的(其证明留作习题). 由第一章习题第 26 题的结果知道σ (C ) =σ (R ). 由A ×B 的定义和§2.2 定理 5, A ×B =σ (C ) =σ (R ) ⊂ Mµ×ν . 因此 µ ×ν 也是A ×B 上的测度. 有时也称测度空间(X ×Y,A ×B,µ ×ν )为(X, A,µ) 与 (Y, B,ν ) 乘积空间. 下面我们将证明 Fubini 定理. 为此需要作一些准备. 设 E ⊂ X ×Y, x ∈ X. 称集 E {y Y : (x, y) E} x = ∈ ∈ 为 E 在 x 的 截 口 . 类似地 , 对 y ∈Y, 称 集 E {x X : (x, y) E} y = ∈ ∈ 为 E 在 y 的截口. 注意 Ex 和 Ey 分别是Y 和 X 的子集(图 6—2). 图 6—2 容易验证关于截口成立 (i). ( ) ( ) , 1 1 ∪ ∪ ∞ = ∞ = = n x n x n En E (ii). ( ) . E − F x = Ex − Fx 同样, 关于 y 的截口也成立类似的性质. 定理 3 设(X, A,µ) 和(Y, B,ν ) 是两个σ − 有限的测度空间, E ∈ A ×B . 则 (i).对任意 x ∈ X, 必有 ∈B. Ex (ii). ( ) ν Ex 和是(X, A,µ) 上的可测函数. 并且成立等式 ∫ (µ ×ν )(E) = ν (E )dµ. x (3) X Y Ex Ey x y E
证明(i).设C是可测矩形的全体.令 ={E∈×:对任意x∈X,E∈h 若E=AXB∈C,则当x∈A时,Ex=B.当xgA时,Ex=②.故对任意 x∈X,E∈.因此Cc.利用截口的性质容易证明是一个-代数.因此得到 ×=o(C)∈.即对任意x∈X必有Ex∈B (i)先设v(Y)<+∞.由本定理的结论(),对任意x∈X,必有Ex∈B.故函数 v(E)有意义令 分={E∈h×:(E)是可测的} 若E=A×B是一个可测矩形,则以E)=v(B)A(x)是可测的.这表明Cc.往证 分是一个类.显然X×Y∈.设E,F∈并且EF.注意到v(F2)≤v(Y)<+∞ 我们有 V(E-F=vEr-F=VEn-V(F) 故W(E-F2)是A可测的因此E-F∈,即对包含差运算封闭再设{En}c界 并且En个.则(En)2个.于是有 v(UE))=En),)=im(E,),) 由上式看出以(UEn))是4可测的因此∪En∈,即对单调增加的集列的并运算 封闭.所以牙是包含C的一个λ类.注意到C是一个丌类.由§1.3推论12,我们有 4×=(C)c 即对任意E∈H×B,以(E2)是可测的.若v()=+∞.由于(,,v是a-有限的 因此存在Y的一列互不相交的可测集{x}使得v(H)<+并且Y=UF,对每个 n≥1,在罗上定义测度 vn(B)=v(B∩n),B∈豸 则v(Y)=(n)<+∞.设E∈×罗.则由上面所证,每个n≥1,vn(E)是A可测的 我们有 v(E2)=(U(E,n)=∑v(E2∩n)=∑vn(E2) 由此可见v(E2)是可测的 在.A×罗上定义集函数A如下 A(E)=[v(E,)du,E∈nxB
119 证明 (i).设C 是可测矩形的全体. 令 F = { ∈ A ×B : ∈ , ∈B}. X Ex E 对任意x 若 E = A× B ∈ C , 则 当 x ∈ A 时 , E B. x = 当 x ∉ A 时 , = ∅. Ex 故对任意 x∈ X , ∈B. Ex 因此C ⊂ F . 利用截口的性质容易证明 F 是一个 σ -代数. 因此得到 A ×B = σ (C ) ⊂ F . 即对任意 x ∈ X 必有 ∈B. Ex (ii) 先设ν (Y) < +∞. 由本定理的结论 (i), 对任意 x ∈ X , 必有 ∈B. Ex 故函数 ( ) ν Ex 有意义. 令 F { A B : ( )是A 可测的}. = E ∈ × ν Ex 若 E = A× B 是一个可测矩形, 则 (E ) (B)I (x) ν x =ν A 是 A 可测的. 这表明C ⊂ F . 往证 F 是一个λ 类. 显然 X ×Y ∈ F . 设 E, F ∈ F 并且 E ⊃ F. 注意到 (F ) ≤ (Y) < +∞, ν x ν 我们有 (( ) ) ( ) ( ) ( ). ν E − F x =ν Ex − Fx =ν Ex −ν Fx 故 (( ) ) ν E − F x 是 A 可测的. 因此 E − F ∈ F , 即F 对包含差运算封闭.再设{En } ⊂ F 并且 ↑ . En 则( ) ↑ . En x 于是有 (( ) ) ( ( ) ) lim (( ) ). 1 1 n x n n x n x n ν En ν E ν E →∞ ∞ = ∞ = ∪ = ∪ = 由上式看出 (( ) ) 1 x n ∪En ∞ = ν 是 A 可测的. 因此 ∈ ∞ = ∪ n 1 En F , 即F 对单调增加的集列的并运算 封闭. 所以F 是包含C 的一个λ 类. 注意到C 是一个π 类. 由§1.3.推论 12, 我们有 A ×B = σ (C ) ⊂ F . 即对任意 E ∈ A ×B , ( ) ν Ex 是 A 可测的. 若ν (Y) = +∞. 由于 (Y, B,ν ) 是σ − 有限的, 因此存在 Y 的一列互不相交的可测集{ } Yn 使得ν (Yn ) < +∞ 并且 1 . n n Y Y ∞ = = ∪ 对每个 n ≥ 1, 在B 上定义测度 ν n (B) =ν (B ∩Yn ), B ∈B. 则 ( ) = ( ) < +∞. ν n Y ν Yn 设 E ∈ A ×B . 则由上面所证, 每个 n ≥ 1, ( ) ν n Ex 是 A 可测的. 我们有 ( ) ( ( )) ( ) ( ). 1 1 1 ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = = ∩ = ∩ = n n x n x n n ν Ex ν ∪ Ex Yn ν E Y ν E 由此可见 ( ) ν Ex 是 A 可测的. 在A ×B 上定义集函数λ 如下: = ∈ ∫ λ(E) ν (Ex )dµ, E A ×B
则是非负值集函数并且m()=0.设{En}是×中的一列互不相交的集.则由单调 收敛定理得到 A(UEn=V(UEndu=v(U(E,))due u(En)M=∑(En 即是可数可加的.故λ是.A×B上的测度.若E=A×B是一个可测矩形,则 a(E)=V(E, du=]VB)(x)du =A()v(B)=(uXv)E 故在C上A=×V.测度的有限可加性蕴涵在由C生成的环上A=4Xv.由于和v 都是σ一有限的,容易知道A和Xv也是a-有限的(参见习题).由§2,2定理6知道在 4×上A=xV.这表明对任意E∈A×,(3)式成立■ 注1由定理3,我们也可以用(3)式来定义A×上的乘积测度4Xv,这样定义的 xv与我们前面定义的上的乘积测度XV在.×2上是一致的.但是这样得到的 乘积测度空间(X×Y,A×,4xV)一般说来不是完备的.本节所用的定义乘积测度的方 式的优点是直接得到了完备的乘积测度空间(XxY,m,xv),这样就避免了对 (X×Y,n×,4×v)再进行完备化的讨论 引理4设(X,H,)和(Y,Bv)是两个完备的测度空间,若E∈.,并且 (×v)(E)=0.则对几乎所有x∈X,E2∈B并且v(E)=0ae, 证明由§22定理11,存在F∈o()=4×劣,使得F→E并且 (×v)(F)=(×v)(E)=0 定理3(i)蕴涵W(F)=0ae.由于关于v是完备的,因此由ExFx得到 Ex∈罗,ae.并且v(E)=0ae.■ 定理5设(X,,)和(Y,2,v是两个完备的-有限的测度空间,E∈.MYmy,则 ().则对几乎所有x∈X,必有E,∈罗 (i).v(E2)是(X,A,)上的可测函数并且成立等式 (AXv(E)=ME, du (i)若f(x,y)是(X×y,y,xv)上的可测函数,则对几乎所有x∈X,函数 f2(y)=f(x,y)是(Y,,v上的可测函数 证明设E∈m·由§22定理13,存在F∈4×3和N∈ v(N)=0,使得E=F-N.由引理4,Nx∈,ae.并且(N)=0ae.再利用定 理3,我们有E2=Fx-Nx∈B,ae.因此()得证.由定理3,wF2)是可测的.由于
120 则 λ 是非负值集函数并且 m(∅) = 0. 设{ } En 是 A ×B 中的一列互不相交的集. 则由单调 收敛定理得到 (( ) ) ( ). ( ) (( ) ) ( ( ) ) 1 1 1 1 1 ∫∑ ∑ ∫ ∫ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = = = = = n n n n x n x n x n n n n E d E E E d E d ν µ λ λ ∪ ν ∪ µ ν ∪ µ 即λ 是可数可加的. 故λ 是 A ×B 上的测度. 若 E = A× B 是一个可测矩形, 则 (E) (E )d (B)I (x)d . (A) (B) ( )(E). λ = ν x µ = ν A µ = µ ⋅ν = µ ×ν ∫ ∫ 故在C 上λ = µ ×ν. 测度的有限可加性蕴涵在由C 生成的环R 上λ = µ ×ν. 由于 µ 和ν 都是σ − 有限的, 容易知道 λ 和 µ ×ν 也是σ − 有限的(参见习题). 由§2.2 定理 6 知道在 A ×B 上λ = µ ×ν. 这表明对任意 E ∈ A ×B, (3)式成立.■ 注 1 由定理 3, 我们也可以用(3)式来定义 A ×B 上的乘积测度 µ ×ν , 这样定义的 µ ×ν 与我们前面定义的Mµ×ν 上的乘积测度 µ ×ν 在 A ×B 上是一致的. 但是这样得到的 乘积测度空间 (X ×Y,A ×B,µ ×ν ) 一般说来不是完备的. 本节所用的定义乘积测度的方 式的优点是直接得到了完备的乘积测度空间 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × , 这样就避免了对 (X ×Y,A ×B,µ ×ν )再进行完备化的讨论. 引 理 4 设 (X, A,µ) 和 (Y, B,ν ) 是两个完备的测度空间 , 若 E ∈ Mµ×ν 并 且 (µ ×ν )(E) = 0. 则对几乎所有 x ∈ X , Ex ∈B 并且 ( ) = 0 a.e., ν Ex 证明 由§2.2 定理 11, 存在 F ∈ σ (R ) = A ×B, 使得 F ⊃ E 并且 (µ ×ν )(F) = (µ ×ν )(E) = 0. 定 理 3 (ii) 蕴 涵 ( ) = 0 a.e. ν Fx 由 于 B 关 于 ν 是完备的 , 因此由 Ex ⊂ Fx 得 到 Ex ∈B, a.e.并且 ( ) = 0 a.e. ν Ex .■ 定理 5 设(X, A,µ) 和(Y, B,ν ) 是两个完备的σ − 有限的测度空间, E ∈Mµ×ν . 则 (i).则对几乎所有 x ∈ X , 必有 ∈B. Ex ( ) ii). ( ν Ex 是(X , A,µ) 上的可测函数. 并且成立等式 ∫ (µ ×ν )(E) = ν (E )dµ. x (4) (iii).若 f (x, y) 是 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 上的可测函数, 则对几乎所有 x ∈ X , 函数 f ( y) f (x, y) x = 是(Y, B,ν ) 上的可测函数. 证 明 设 E ∈ Mµ×ν . 由 §2.2 定 理 13, 存 在 F ∈ A ×B 和 N ∈ Mµ×ν , (µ ×ν )(N) = 0,使得 E = F − N. 由引理 4, Nx ∈ B, a.e.并且 ( ) = 0 a.e. ν Nx 再利用定 理 3, 我们有 Ex = Fx − Nx ∈ B, a.e. 因此 (i) 得证. 由定理 3, ( ) ν Fx 是 A 可测的. 由于
4关于是完备的,并且 v(E)=v(F2)-v(Nx2)=v(F2) 故E)是.星可测的(参见第三章习题第7题)注意到(×v)(N)=0,由定理3(i) IX v)())=(uxv(F)=VF) dv=MEr 即(4)成立.因此(i)得证.由于对任意实数a,{(x,y):f(x,y)<a}∈.于是由结论 (i),对几乎所有x∈X,我们有 y∈Y:f(x,y)<a}={(x,y):f(x,y)<a}x∈ 即f(y)=f(x,y)是(Y,,v)上的可测函数.因此(i)得证■ 由对称性关于E,和(E)成立类似于定理3引理4和定理5的结果 设(X,A,)和(H,,v)是两个测度空间,f(x,y)是XxY上的可测函数.若对几乎 所有固定的x∈X,f(x,y)在Y上的积分存在记g(x)=f(x,y)dv.(g(x)可能在 个-零测度集上没有定义,在这个零测度集上令g(x)=0).若g(x)是X上的可测函数 并且在X上的积分存在,则称f的二次积分存在,并且称JxMm为f的二次积分记 为 hp或J,du,v.类似可以定义另一个顺序的二次积分/,aJ,f 关于在乘积空间上的积分和两个不同顺序的二次积分之间的关系,我们由如下的定理.这 是本节最主要的结果 定理6( Fubini理)设(X,H,)和(Y,,)是两个完备的a-有限的测度空间.则 ()若∫是(XxxY,Mmx,×V)上的非负可测函数,则I(x)=,f(x,y)dv和 J(y)=|f(x,y)d分别是x和Y上的非负可测函数并且成立 ∫,nd×=J(k=-.(0m ()若厂是(x×y,MCm,xn上的可积函数,则1()=J,(xy)b和 J(0)=J,f(x,y)d分别是关于u和v可积的并且(5)成立 证明()由对称性,只需证明(x)=「f(x,y)是X上的非负可测函数,并且 fd×v fdv du XxI 先设∫=lE是特征函数,其中E∈由定理5(),对几乎所有x∈X,E∈罗.于是 IE(x,y)dv=LIE (y)dv=v(E,).H-ae 121
121 A 关于 µ 是完备的, 并且 ( ) ( ) ( ) ( ), a.e. ν Ex =ν Fx −ν Nx =ν Fx 故 ( ) ν Ex 是 A 可测的(参见第三章习题第 7 题). 注意到(µ ×ν )(N) = 0, 由定理 3 (ii) , ∫ ∫ ( × )( )) = ( × )( ) = ( ) = ( ). µ ν E µ ν F ν Fx dν ν Ex 即(4)成立. 因此 (ii) 得证. 由于对任意实数 a, {(x, y) : f (x, y) < a}∈ Mµ×ν .于是由结论 (i), 对几乎所有 x ∈ X , 我们有 {y ∈Y : f (x, y) < a} = {(x, y) : f (x, y) < a}x ∈ B. 即 f ( y) f (x, y) x = 是(Y, B,ν ) 上的可测函数. 因此(iii) 得证.■ 由对称性,关于 Ey 和 (( ) µ Ey 成立类似于定理 3,引理 4 和定理 5 的结果. 设(X , A,µ) 和(Y, B,ν ) 是两个测度空间, f (x, y) 是 X ×Y 上的可测函数. 若对几乎 所有固定的 x ∈ X , f (x, y) 在Y 上的积分存在. 记 () (, ) . Y gx f xyd = ν ∫ ( g(x) 可能在 一个 µ − 零测度集上没有定义, 在这个零测度集上令 g(x) =0). 若 g(x) 是 X 上的可测函数 并且在 X 上的积分存在, 则称 f 的二次积分存在, 并且称 ( ) X g xdµ ∫ 为 f 的二次积分,记 为 ( ) X Y fd d ν µ ∫ ∫ 或 . X Y d fd µ ν ∫ ∫ 类似可以定义另一个顺序的二次积分 . Y X d fd ν µ ∫ ∫ 关于在乘积空间上的积分和两个不同顺序的二次积分之间的关系, 我们由如下的定理. 这 是本节最主要的结果 定理 6 (Fubini 理)设(X , A,µ) 和(Y, B,ν ) 是两个完备的σ − 有限的测度空间. 则 (i). 若 f 是 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 上的非负可测函数, 则 () (, ) Y I x f xyd = ν ∫ 和 () (, ) X J y f xyd = µ ∫ 分别是 X 和Y 上的非负可测函数. 并且成立 X Y f dµ ν × ∫ × = ( ) X Y fd d ν µ ∫ ∫ = ( ) . Y X fd d µ ν ∫ ∫ (5) (ii). 若 f 是 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 上的可积函数 , 则 () (, ) Y I x f xyd = ν ∫ 和 () (, ) X J y f xyd = µ ∫ 分别是关于 µ 和ν 可积的. 并且(5)成立. 证明 (i).由对称性, 只需证明 () (, ) Y I x f xyd = ν ∫ 是 X 上的非负可测函数, 并且 X Y f dµ ν × ∫ × = ( ) X Y fd d ν µ ∫ ∫ (6) 先设 E f = I 是特征函数, 其中 E ∈Mµ×ν . 由定理5 (i), 对几乎所有 x ∈ X , Ex ∈B. 于是 ( , ) ( ) ( ). E Ex x Y Y ∫ I xyd I yd E ν νν = = ∫ µ − a.e
由定理5(i),V(E2)是X上的可测函数.并且 IEduXV=(UXv()=v(E)du lEddy XxI 这表明当∫是特征函数时,(x)=)f(x,y)dv是x上的非负可测函数并且6)成立由 积分的线性性质知道,当∫是非负简单函数时,I(x)是X上的非负可测函数并且(6)成立 一般情形,设∫是非负可测函数则存在非负简单函数列{n}使得∫n↑f.由上面的证明 ∫ n(x)=∫f(x,y)d是X上的非负可测函数,由单调收敛定理得到 f(x,y)dhv1/f(x,y)dh.因此/(x)是X上的非负可测函数.再对函数列{n}应用 单调收敛定理,我们有 ∫。Jdxv= lim/,,duxv=mJ(y1=J(Jm 即(6)成立.因此()得证 (i).由对称性,我们只需证明(x)是关于可积的,并且(6)成立,由(1)的结论 f+(x,y)如和f(xy)dv是X上的非负可测函数因此/(x)是X上的可测函数 对∫和∫分别运用(6),我们有 fd×v f+duxv- fdv du fdv du fraU 注意由于∫是关于4Xv可积的,故上式中出现的积分都是有限的,因此作减法运算是允许 的这就证明了I(x)是关于可积的,并且(6成立■ 推论7设(X,4,4)和(H,B,v)是两个完备的a-有限的测度空间,∫是 (X×y,,y×v)上的可测函数.若 ∫,arJ,d<+或J,duJ<+ 则∫可积并且成立 ∫ faux=JadJ,m=JdJa (7) 证明设jdJd<+∞.由Fm定理,我们有 ∫,M/dxy=Jam厂dx+
122 由定理 5 (ii) , ( ) ν Ex 是 X 上的可测函数. 并且 I dµ ν (µ ν )(E) ν (E )dµ ( I dν ).dµ. X Y E X x X Y ∫ E ∫ ∫ ∫ × = × = = × 这表明当 f 是特征函数时, () (, ) Y I x f xyd = ν ∫ 是 X 上的非负可测函数并且(6)成立. 由 积分的线性性质知道, 当 f 是非负简单函数时, I(x) 是 X 上的非负可测函数并且(6)成立. 一般情形, 设 f 是非负可测函数. 则存在非负简单函数列{ }n f 使得 f f . n ↑ 由上面的证明, () (, ) n n Y I x f xyd = ν ∫ 是 X 上的非负可测函数 . 由单调收敛定理得到 (, ) (, ) . n Y Y f xyd f xyd ν ↑ ν ∫ ∫ 因此 I(x) 是 X 上的非负可测函数. 再对函数列{ }n I 应用 单调收敛定理, 我们有 lim lim . n n ( ) () XY XY X Y X Y n n f d f d f d d fd d µ ν µν ν µ ν µ × × →∞ →∞ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ×= ×= = 即(6)成立. 因此(i) 得证. (ii). 由对称性, 我们只需证明 I(x) 是关于 µ 可积的, 并且(6)成立. 由 (i) 的结论, (, ) Y f xydν + ∫ 和 (, ) Y f xydν − ∫ 是 X 上的非负可测函数. 因此 I(x) 是 X 上的可测函数. 对 + f 和 − f 分别运用(6), 我们有 ( )( ) ( ) . XY XY XY XY XY X Y fd f d f d f d d fd d fd d µν µν µν ν µ νµ ν µ + − ×× × + − ×= ×− × = − = ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 注意由于 f 是关于 µ ×ν 可积的, 故上式中出现的积分都是有限的, 因此作减法运算是允许 的. 这就证明了 I(x) 是关于 µ 可积的, 并且(6)成立.■ 推 论 7 设 (X , A,µ) 和 (Y, B,ν ) 是两个完备的 σ − 有限的测度空间 , f 是 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 上的可测函数. 若 Y X ∫ d fd ν µ ∫ < +∞ 或 , X Y ∫ d fd µ ν ∫ < +∞ 则 f 可积并且成立 X Y f dµ ν × ∫ × = X Y d fd µ ν ∫ ∫ = . Y X d fd ν µ ∫ ∫ (7) 证明 设 < +∞ ∫Y ∫X dν f dµ . 由 Fubini 定理, 我们有 X Y f dµ ν × ∫ × = . Y X ∫ d fd ν µ ∫ < +∞
即∫可积.再由 Fubini定理即知(7)成立.■ 注2在Fbi定理中,若f(x,y)是可积的则由于I(x)=f(x,y)dv是关于4可 积的因此函数(x)几乎处处有限.这表明对几乎所有x∈X,f(y)=f(x,y)是关于v 可积的同理,对几乎所有y∈Y,函数f,(x)=f(x,y)是关于可积的 注3在 Fubini定理中,若去掉(X,A,)和(Y,,v)是完备的这个条件,则当∫是 (X×,n×,μv)上的非负可测函数或可积函数时,定理的结论仍成立.其证明与定理 6的证明是类似的.只是此时不用定理5而直接引用定理3就可以了 例1设(X,A,)是一个σ-有限的测度空间,∫是X上的非负可测函数 1≤pt)dt 证明令E={(x,D):f(x)>1≥0},则E1={x:f(x)>l}.显然∫(x)-t是乘积空 间(X×R,T×M(R,xm)上的可测函数 故 E={(x,1):f(x)-t>0}∈x.(R).因此函数l(x)=2(x,1)是关于T×M(R) 可测的.由 Fubini定理我们有 ∫ f(xr"du= s pr-d ∫d。p-=(x)t ∫。p- (xdu ir f(r)n, (r +00 pr-u(x: f(x)>I))dr 下面我们将本节的结果用到R”上的 Lebesgue积分上去 定理8设(R)和B(R2)分别是R和R2上的 borel o-代数,m1和m2分别是R和 R2上的 Lebesgue测度,则f(R)xB(R)=(R2)并且在B(R2)上m1xm1=m2即 (R×R,B(R)xf(R),m1xm)=(R2,(R2),m2) 证明设R是R2中的左开右闭方体的全体生成的环,是由R2中的 Lebesgue可测 矩形的全体生成的环则σ()=(R2),(R)=(R)×B(R).由于cR,故 (R2)=a()co(R)=(R)×B(R) 反过来,令P1和p2是R2到R的投影函数,即p1(x,y)=x,P2(x,y)=y.则P1和p2 都是连续的,因而是R2上的Boel可测函数由§3.1定理2,若A,B∈(R),则 p(4)∈(R2),p(B)∈B(R2).于是 123
123 即 f 可积. 再由 Fubini 定理即知(7)成立. ■ 注 2 在 Fubini 定理中, 若 f (x, y) 是可积的. 则由于 () (, ) Y I x f xyd = ν ∫ 是关于 µ 可 积的. 因此函数 I(x) 几乎处处有限. 这表明对几乎所有 x ∈ X , f ( y) f (x, y) x = 是关于ν 可积的. 同理, 对几乎所有 y ∈Y, 函数 f (x) f (x, y) y = 是关于 µ 可积的. 注 3 在 Fubini 定理中, 若去掉(X, A,µ) 和(Y, B,ν ) 是完备的这个条件, 则当 f 是 (X ×Y,A ×B,µ ×ν )上的非负可测函数或可积函数时, 定理的结论仍成立. 其证明与定理 6 的证明是类似的. 只是此时不用定理 5 而直接引用定理.3 就可以了. 例 1 设 (X, A,µ) 是一个 σ − 有限的测度空间, f 是 X 上的非负可测函数, 1 ≤ p 证明 令 E = {(x,t) : f (x) > t ≥ 0}, 则 E {x : f (x) t}. t = > 显然 f (x) − t 是乘积空 间 ( , ( ), ) 1 1 X × R F ×M R µ × m 上的可测函数 , 故 E = {(x,t) : f (x) − t > 0}∈ ( ) 1 F ×M R . 因此函数 I (x) I (x,t) Et = E 是关于 ( ) 1 F ×M R 可测的. 由 Fubini 定理我们有 ( ) 1 0 1 {: ( ) } 0 1 {: ( ) } 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ({ : ( ) }) . f x p p X X p xf x t X p xf x t X p f x d d pt dt d pt I x dt pt dt I x d pt x f x t dt µ µ µ µ µ − +∞ − > +∞ − > +∞ − = = = = > ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ■ 下面我们将本节的结果用到 n R 上的 Lebesgue 积分上去. 定理8 设 ( ) 1 B R 和 ( ) 2 B R 分别是 1 R 和 2 R 上的Borelσ -代数, m1和m2分别是 1 R 和 2 R 上的 Lebesgue 测度. 则 ( )× 1 B R ( ) = 1 B R ( ) 2 B R 并且在 ( ) 2 B R 上 . m1 × m1 = m2 即 ( × , ( )× ( ), 1 × 1 ) = 1 1 1 1 R R B R B R m m ( , ( ), ). 2 2 2 R B R m 证明 设R 是 2 R 中的左开右闭方体的全体生成的环, R ′ 是由 2 R 中的 Lebesgue 可测 矩形的全体生成的环. 则σ (R ) = ( ), 2 B R σ (R ′) = ( )× 1 B R ( ). 1 B R 由于R ⊂ R ′ , 故 ( ) = 2 B R σ (R ) ⊂ σ (R′) = ( )× 1 B R ( ). 1 B R 反过来, 令 1 p 和 2 p 是 2 R 到 1 R 的投影函数, 即 ( , ) , . 1 p x y = x p (x, y) = y 2 . 则 1 p 和 2 p 都是连续的, 因而是 2 R 上的 Borel 可测函数. 由§3.1 定理 2, 若 A, ) B ∈ ( 1 B R , 则 ∈ − ( ) 1 p1 A ( ) 2 B R , ∈ − ( ) 1 p2 B ( ). 2 B R 于是
AxB=(AxR)∩(R×B)=p(4)⌒p2(B)∈B(R2) 故c(R2)于是Z(R)×B(R)=G()c(R2).因此 (R)×B(R)=B(R2).由乘积测度的定义容易知道在R上m1xm1=m2由22定 理6知道在a(R)上m1xm=m2即在B(R2)上面m1xm1=m2 定理9两个一维 Lebesgue测度空间的乘积测度空间是二维 Lebesgue测度空间,即 (RXR, Mxm, m, xm,=(R,M(R), m2) 证明仍设,R,m1和m2如定理8.由定理8 (R×R,B(R)×B(R),m1xm1)=(R2,B(R2).,m2) 此即 (R×R,a(R),m1xm)=(R2,(R),m2) 由$22定理15,(R×R,m,mxm1)和(R2,M(R2),m2)分别是 (R×R,a(),m1xm1)和(R2,a(R),m2)的完备化空间因此(8)成立 推论10设∫是R2上的非负L可测函数或L可积函数则成立 ∫d=J厂/=厂厂h 特别地当厂小<+∞或者厂nd厂M<+∞时,成立 dyl, fe fdy (我们将R2上的L积分记为, foxy.) 证明将定理6和推论7应用到乘积空间(RxR, M,m1Xm1)上,并利用定理9 即得.■ 显然,对R”与R”的乘积空间Rq的情形成立与推论10类似的结果 例2计算I (e-e )dx(0<a<b) 解我们有 d dh 由 广小"”sm三广的广””h=的=h 由Fubn定理(推论7),我们有 dxle-msin xdy=d) y sin xdx I+ydy=actg b-arctga
124 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 2 2 1 1 1 1 × = × R ∩ R × = ∩ ∈B R − − A B A B p A p B 故 R′ ⊂ ( ). 2 B R 于 是 ( )× 1 B R ( ) = 1 B R σ (R′) ⊂ ( ). 2 B R 因 此 ( )× 1 B R ( ) = 1 B R ( ) 2 B R . 由乘积测度的定义容易知道在R 上 . m1 × m1 = m2 由§2.2 定 理 6 知道在σ (R ) 上 . m1 × m1 = m2 即在 ( ) 2 B R 上面 . m1 × m1 = m2 ■ 定理 9 两个一维 Lebesgue 测度空间的乘积测度空间是二维 Lebesgue 测度空间, 即 ( × , × , 1 × 1 ) = 1 1 m m Mmi mi R R ( , ( ), ). 2 2 2 R M R m (8) 证明 仍设R , R′ , m1和 m2如定理 8. 由定理 8, ( × , ( )× ( ), 1 × 1 ) = 1 1 1 1 R R B R B R m m ( , ( ), ). 2 2 2 R B R m 此即 ( × , ( ′), 1 × 1 ) = 1 1 R R σ R m m ( , ( ), ). 2 2 R σ R m 由 §2.2 定 理 15, ( , , ) 1 1 1 1 m m mi mi R × R M × × 和 ( , ( ), ) 2 2 2 R M R m 分别是 ( , ( ), ) 1 1 1 1 R × R σ R ′ m × m 和( , ( ), ) 2 2 R σ R m 的完备化空间. 因此(8)成立.■ 推论 10 设 f 是 2 R 上的非负 L 可测函数或 L 可积函数.则成立 2 R ∫ f dxdy = dy f dx ∫R R 1 1 ∫ = dx f dy. ∫R R 1 1 ∫ 特别地, 当 ∫ ∫ 1 1 dy f dx < +∞ R R 或者 ∫ 1 1 dx f dy ∫ < +∞ R R 时, 成立 dy f dx ∫ ∫ 1 1 R R = dx f dy. ∫R R 1 1 ∫ (我们将 2 R 上的 L 积分记为 2 . R f dxdy ∫ ) 证明 将定理 6 和推论 7 应用到乘积空间( , , ) 1 1 1 1 m m mi mi R × R M × × 上, 并利用定理 9 即得. ■ 显然, 对 p R 与 q R 的乘积空间 p+q R 的情形,成立与推论 10 类似的结果. 例 2 计算 0 sin ( ) (0 ). x ax bx I e e dx a b x +∞ − − = − << ∫ 解 我们有 0 0 sin ( ) sin . b ax bx xy a x e e dx dx e xdy x +∞ +∞ −− − ∫ ∫∫ − = 由 于 0 0 1 sin ln . b bb xy xy a aa b dy e x dx dy e dx dy y a +∞ +∞ − − ∫∫ ∫∫ ∫ ≤ = = < +∞ 由 Fubini 定理(推论 7), 我们有 0 0 2 sin sin 1 arctg arctg . 1 b b xy xy a a b a I dx e xdy dy e xdx dy b a y +∞ +∞ − − = = = =− + ∫ ∫ ∫∫ ∫
小结本节首先介绍了测度空间的乘积空间乘积测度的构造利用了22测度的延拓定 理.本节的主要结果是二重积分和累次积分交换积分顺序的定理— Fubin定理. Fubini定理 是积分理论的基本定理之一,它在理论推导和积分计算方面有广泛的应用 习题习题四,第43题一第57题
125 小 结 本节首先介绍了测度空间的乘积空间.乘积测度的构造利用了§2.2测度的延拓定 理. 本节的主要结果是二重积分和累次积分交换积分顺序的定理—Fubini 定理. Fubini 定理 是积分理论的基本定理之一,它在理论推导和积分计算方面有广泛的应用. 习 题 习题四, 第 43 题—第 57 题