§4.5 Lebesgue可积函数的逼近 教学目的本节考虑可积函数的逼近问题.本节要证明几个关于积分的 逼近定理主要是关于 Lebesgue积分的逼近定理 教学要点 Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数特别是用连续函数 逼近.由于连续函数具有较好的性质,因此L可积函数的逼近性质在处理有 些问题时是很有用的应通过例题和习题掌握这种方法 设给定一个测度空间(X,,p),C是可积函数类L()的一个子类.若对任意可积 函数∫∈L()和E>0,存在一个g∈C,使得』-8du0,存在L()中的 简单函数g,使得-8d0,存在R 上具有紧支集的连续函数g,使得∫|-g<E 证明设∫∈L(E).先设设∫=lA是特征函数,其中AcE并且m(A)<+∞.对任
112 §4.5 Lebesgue 可积函数的逼近 教学目的 本节考虑可积函数的逼近问题. 本节要证明几个关于积分的 逼近定理.主要是关于 Lebesgue 积分的逼近定理. 教学要点 Lebesgue 可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数 逼近. 由于连续函数具有较好的性质, 因此 L 可积函数的逼近性质在处理有 些问题时是很有用的.应通过例题和习题掌握这种方法. 设给定一个测度空间 (X , F ,µ), C 是可积函数类 L(µ) 的一个子类. 若对任意可积 函数 f ∈ L(µ) 和ε > 0, 存在一个 g ∈C , 使得 − µ 0, 存在 L(µ) 中的 简单函数 g, 使得 − µ 0, 存在 n R 上具有紧支集的连续函数 g, 使得 . E f g dx − <ε ∫ 证明 设 f ∈ L(E). 先设设 A f = I 是特征函数,其中 A ⊂ E 并且 m(A) < +∞. 对任
意E>0,由§23定理6,存在开集G和有界闭集F,使得 FCACG,使得 m(G-F)0,存在[a,b]上的一个阶梯函数g,使得 证明设∫∈L(E)类似于定理2的证明,我们不妨设∫=lA,其中Ac[a,b并且 m(A)0,存在开集U,U是有限个开区间的并集,使得 m(A-U)∪(U-A)<E.显然我们可以设Uc(a,b),令g=lu,则g是阶梯函数 并且
113 意 ε > 0, 由 §2.3 定 理 6, 存在开集 G 和有界闭集 F, 使 得 F ⊂ A ⊂ G, 使 得 m(G − F) 0, 存在 [a,b] 上的一个阶梯函数 g , 使得 . b a f g dx − 0, 存在开集U, U 是有限个开区间的并集, 使得 m((A −U) ∪ (U − A)) < ε.. 显然我们可以设U ⊂ (a,b), 令 , U g = I 则 g 是阶梯函数. 并且
∫-8kh≤Jxm1-l=m4-0)+mU-小0,存在R上的一个具有紧支集的阶梯函数g 使得f-gtx0.,存在k使得m(4)-m4)0.由定理3存在一个阶梯函数g使得-80,使得当n>N时,g(x)omhE于是当n>N时有 2 fo (f(x)-g(x)cosnxdx+ g(x)cos ndx I-gldx+5<E
114 ( )( ) ( ) ( ). b A U a AU U A f g dx I I dx m A U m U A −∪− ∫ ∫ − ≤ − = −+ − 0, 存在 1 R 上的一个具有紧支集的阶梯函数 g, 使得 1 f g dx − 0, 存在 0 k 使得 . 2 ( ) ( ) 0 ε m A − m Ak 0, 由定理 3, 存在一个阶梯函数 g , 使得 . 2 ε − 0, 使得当n > N 时, . 2 ( ) cos ε N 时有 ( )cos ( ( ) ( ))cos ( )cos . 2 bb b aa a b a f x nxdx f x g x nxdx g x nxdx f g dx ε ε ≤− + ≤ − +< ∫∫ ∫ ∫
因此(1)成立.类似地可以证明(2)成立 例2设∫是R”上的L可积函数,则 f(x+1)-f(x)rx=0 r→0JR" 证明先设∫是具有紧支集的连续函数.则存在闭球S(0,r),使得当xgS(0,r)时 ∫=0.由于∫在S(O,r)上连续,因此∫在S(O,r)上一致连续.因此对任意E>0,存在 6>0,使得当x,x"∈SO.n,d(x,x”)0,使得当 d(0,1)<6时,。g1-gx<2由41例4,有 厂U-sdk=J-gd< 于是当d(0,1)<δ时,我们有 ∫-nd≤JCM-gak+J月k-gk+J-d e 8 因此(3)成立■ 小结本节证明了几个关于积分的逼近定理主要是关于 Lebesgue积分的逼近定理。本 节的结果表明 Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数逼近.利用积分 的逼近定理,可以把一般可积函数的问题转化为比较容易处理的连续函数的问题例1和例2 说明了可积函数的逼近定理的典型方法 习题习题四,第40题一第42题
115 因此(1)成立. 类似地可以证明(2)成立. ■ 例 2 设 f 是 n R 上的 L 可积函数, 则 0 lim ( ) ( ) 0. n t f x t f x dx → ∫ +− = R (3) 证明 先设 f 是具有紧支集的连续函数. 则存在闭球 S(0,r), 使得当 x ∉ S(0,r) 时 f = 0. 由于 f 在 S(0,r) 上连续, 因此 f 在 S(0,r) 上一致连续. 因此对任意ε > 0, 存在 δ > 0, 使得当 x′, x′′∈ S(0,r), d(x′, x′′) 0, 使得当 d(0,t) < δ 时, . 3 n t g g dx ε ∫ − < R 由§4.1 例 4, 有 . 3 n n t t f g dx f g dx ε ∫ ∫ − = −< R R 于是当 d(0,t) < δ 时, 我们有 . 333 n n nn t tt t f f dx f g dx g g dx g f dx εεε ε −≤ − + −+ − <++= ∫∫ ∫∫ RR RR 因此(3)成立.■ 小 结 本节证明了几个关于积分的逼近定理.主要是关于Lebesgue积分的逼近定理. 本 节的结果表明 Lebesgue 可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数逼近. 利用积分 的逼近定理, 可以把一般可积函数的问题转化为比较容易处理的连续函数的问题.例1和例2 说明了可积函数的逼近定理的典型方法. 习 题 习题四, 第 40 题—第 42 题