第五章多目标规戈 §1.问题的提出与目标规划的数学模型 §2.目标规划的图解分析法 §3.用单纯形法求解目标规划 §4.求解目标规划的层次算法 s5.应用举例
第五章 多目标规划 §1．问题的提出与目标规划的数学模型 § 2．目标规划的图解分析法 § 3．用单纯形法求解目标规划 § 4．求解目标规划的层次算法 § 5．应用举例
§1.问题的提出与 目标规划的数学模型 线性规划、整数规划和后面将要学习的动态规划都是 解决单个目标函数在一组约束条件下的极值问题。但在许 多实际问题中,在一组约束条件下,往往要求实现多个目 标。例如,在企业安排生产问题中,既要利润高,又要消 耗低,还要考虑市场需求,等等。这些目标的重要性各不 相同,目标规划正是为了解决这类多目标规划问题而产生 的,它能把决策者的意愿反映到数学模型中去
§1．问题的提出与 目标规划的数学模型 线性规划、整数规划和后面将要学习的动态规划都是 解决单个目标函数在一组约束条件下的极值问题。但在许 多实际问题中，在一组约束条件下，往往要求实现多个目 标。例如，在企业安排生产问题中，既要利润高，又要消 耗低，还要考虑市场需求，等等。这些目标的重要性各不 相同，目标规划正是为了解决这类多目标规划问题而产生 的，它能把决策者的意愿反映到数学模型中去
线性规划问题的局限性: 1.要求问题的解必须满足全部约束条件,但实际问 题中并非所有约束都需严格满足; 2.只能处理单目标的优化问题,因此线性规划模型 认为地将一些次要目标转为约束。而实际问题中,目标和 约束可以互相转化,处理时不一定严格区分; 3.线性规划中各个约束条件都处于同等重要的地位, 但实际问题中,各目标的重要性是有差别的; 4.线性规划寻求最优解,但很多实际问题中只需找 出满意解就可以了
线性规划问题的局限性： 1. 要求问题的解必须满足全部约束条件，但实际问 题中并非所有约束都需严格满足； 2. 只能处理单目标的优化问题，因此线性规划模型 认为地将一些次要目标转为约束。而实际问题中，目标和 约束可以互相转化，处理时不一定严格区分； 3. 线性规划中各个约束条件都处于同等重要的地位， 但实际问题中，各目标的重要性是有差别的； 4. 线性规划寻求最优解，但很多实际问题中只需找 出满意解就可以了
问题的提出 最佳生产计划问题 某工厂计划生产甲、乙两种产品,这两种产品的有关 数据如下表所示。 第多 甲 数量 项目 原料〔千克〕 设备〔台时 利润〔元件 工厂在作决策时,要实现如下的目标: 目标1:根据市场信息,产品甲的销售量有下降的趋 势,故考虑产品甲的产量不大于产品乙;
最佳生产计划问题 某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品的有关 数据如下表所示。 工厂在作决策时，要实现如下的目标： 目标1 ：根据市场信息，产品甲的销售量有下降的趋 势，故考虑产品甲的产量不大于产品乙； 一、问题的提出
目标2:超过计划供应的原料时,需要高价采购,使 成本增加,因而只采购计划供应的原料; 目标3:应尽可能利用现有设备,但不希望加班; 目标4:应尽可能达到并超过计划利润指标(56元)。 这样,在考虑产品生产决策时,不再是单纯追求利润 最大,而是同时要考虑多个目标,这样的问题一般的线性 规划方法已无法解决,需引入一种新的数学模型—目 标视划
目标2 ：超过计划供应的原料时，需要高价采购，使 成本增加，因而只采购计划供应的原料； 目标3 ：应尽可能利用现有设备，但不希望加班； 目标4 ：应尽可能达到并超过计划利润指标(56元)。 这样，在考虑产品生产决策时，不再是单纯追求利润 最大，而是同时要考虑多个目标，这样的问题一般的线性 规划方法已无法解决，需引入一种新的数学模型——目 标规划
二、目标规划模型的建立 1.偏差变量 用来表示实际值与目标值之间的差异 d+—超出目标的差值,称为正偏差变星 d-未达到目标的差值,称为负偏差变星。 因实际决策值不可能既超过目标值又低于目标值,故 最终结果中恒有d+·d-=0(即两者至少有一个为0)。 目标规划中,一般有多个目标值,每个目标值都相应 有一对偏差变量
二、目标规划模型的建立 1. 偏差变量 用来表示实际值与目标值之间的差异。 d + —— 超出目标的差值，称为正偏差变量。 d - —— 未达到目标的差值，称为负偏差变量。 因实际决策值不可能既超过目标值又低于目标值，故 最终结果中恒有 d + · d - =0 (即两者至少有一个为0)。 目标规划中，一般有多个目标值，每个目标值都相应 有一对偏差变量
2.绝对约束和目标约東 绝约束是指必须严格满足的等式约束或不等式 约束;如线性规划问题的所有约束条件,不能满足这些条 件的解称为非可行解,所以绝对约束是硬约束 月标约荣是目标规划所特有的一种约束,它把要 追求的目标值作为右端常数项,在追求此目标值时允许发 生正偏差和负偏差。因此,目标约束是由决策变量,正、 负偏差变量和要追求的目标值组成的软约束。 月标的束不会不满足,但可能偏差过大
2. 绝对约束和目标约束 绝对约束是指必须严格满足的等式约束或不等式 约束；如线性规划问题的所有约束条件，不能满足这些条 件的解称为非可行解，所以绝对约束是硬约束。 目标约束是目标规划所特有的一种约束，它把要 追求的目标值作为右端常数项，在追求此目标值时允许发 生正偏差和负偏差。因此，目标约束是由决策变量，正、 负偏差变量和要追求的目标值组成的软约束。 目标约束不会不满足，但可能偏差过大
假设问题中甲、乙两产品的产量分别为x1和x2 绝对约束:问题中的目标2,在原料供应受严格限制 的基础上考虑,可写成绝对约束为 2x1+xn<11 x 目标约束:问题中的目标4可写成目标约束为 8x1+10x2=56-d1+d1 化为标准形式是:8x1+10x2+d1-ad1=56 线性目标约束的一般形式是:f(X)+a1-ad=b 其中: X=(x xn),f(X)=∑Cnx
绝对约束：问题中的目标 2，在原料供应受严格限制 的基础上考虑，可写成绝对约束为 2x1 + x2 11 假设问题中甲、乙两产品的产量分别为 x1 和 x2 。 目标约束：问题中的目标 4 可写成目标约束为 − + 8 1 +10 2 = 56− d1 + d1 x x 化为标准形式是： 8 1 +10 2 + 1 − 1 = 56 − + x x d d 线性目标约束的一般形式是： ( ) i X di di bi f + − = − + ( ) ( ) = = = n i i i j j T n X x x x f X C x 1 1 2 其中： , ,,
3.优先因子和权系数 目标规划中,当决策者要求实现多个目标时,这些目 标之间是有主次区别的。 凡要求第一位达到的目标,赋于优先因子p1,要求第 二位达到的目标,赋于优先因子p2…,并规定pA+1p,表 示pk比pk+1有绝对优先权。因此,不同的优先因子代表 着不同的优先等级。 在实现多个目标时,首先保证p1级目标的实现,这 时可不考虑其它级目标,而P2级目标是在保证p1级目标 值不变的前提下考虑的,以此类推 若要区别具有相同优先因子的多个目标,可分别赋予 它们不同的权系数ak。越重要的目标,其权系数的值越 大
3. 优先因子和权系数 目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这些目 标之间是有主次区别的。 凡要求第一位达到的目标，赋于优先因子 p1，要求第 二位达到的目标，赋于优先因子 p2 …并规定 pk+1∝pk，表 示 pk 比 pk+1 有绝对优先权。因此，不同的优先因子代表 着不同的优先等级。 若要区别具有相同优先因子的多个目标，可分别赋予 它们不同的权系数 k 。越重要的目标，其权系数的值越 大。 在实现多个目标时，首先保证 p1 级目标的实现，这 时可不考虑其它级目标，而 p2 级目标是在保证p1 级目标 值不变的前提下考虑的，以此类推
4.目标函数 目标规划的目标函数是由各目标约束的正、负偏差变 量及相应的优先因子、权系数构成的,其中不含决策变量 因为决策者的愿望总是尽可能缩小偏差,实现目标。故总 是将目标函数极小化,其基本形式有三种。 对于第个目标;:f(Xx)+d2-d=b (1)若要求决策值超过目标值,则相应的负偏差变量 要尽可能地小,而对正偏差变量不加限制,目标函数的形 式为:
4. 目标函数 目标规划的目标函数是由各目标约束的正、负偏差变 量及相应的优先因子、权系数构成的，其中不含决策变量。 因为决策者的愿望总是尽可能缩小偏差，实现目标。故总 是将目标函数极小化，其基本形式有三种。 对于第 i 个目标: ( ) i X di di bi f + − = − + (1) 若要求决策值超过目标值，则相应的负偏差变量 要尽可能地小，而对正偏差变量不加限制，目标函数的形 式为 ： − min di