§4.3积分的极限定理 教学目的本节讨论关于积分号下取极限的性质,即取极限和求积分交 换顺序的定理.内容包括三个重要的定理以及一些推论 本节要点积分的极限定理有三个重要定理,即单调收敛定理, Fatou引 理和控制收敛定理,它们分别适用于不同的情况.学习本节的内容应注意分 清各个定理的条件和结论 本节所有讨论都是在一给定的测度空间(X,分,p)上进行的 定理I(Leⅵ单调收敛定理)设∫,fn(n≥1)是非负可测函数,满足f≤f2≤…,ae. 并且fn—→f.则 lim/du=fdu (1) 证明由于在一个零测度集上改变一个函数的函数值不改变该函数的积分值,因此不 妨设设fn≤fn(m≥1),fn→∫处处成立.由积分的单调性得到 fnd≤「 fn,dus fdu,n21. 因此 c limf,dp存在并且 下面证明相反的不等式对每个n≥1,由§3.1定理9,存在非负简单函数列{8nk}k21使得 gnk↑fn,(k→∞).令 8k=max{g1k,…8k},k≥1 则{(8k}是非负简单函数列并且gk个由于当k≥n时gnk≤fn≤f, gk≤fk,k≥ (3) 令k→∞得∫n≤ lim g≤∫.再令n→>∞得imgk=∫.由积分的定义和(3),我们有 「= im g,du s lim _4 结合(2)得到(1)■ 推论2设∫,J(n≥1)是可测函数,满足∫≤2≤…,ae.,并且存在可积函数g, 使得fn≥g,ae.(n≥1)若∫n->f,则
102 §4.3 积分的极限定理 教学目的 本节讨论关于积分号下取极限的性质,即取极限和求积分交 换顺序的定理. 内容包括三个重要的定理以及一些推论. 本节要点 积分的极限定理有三个重要定理,即单调收敛定理, Fatou 引 理和控制收敛定理, 它们分别适用于不同的情况. 学习本节的内容应注意分 清各个定理的条件和结论. 本节所有讨论都是在一给定的测度空间(X , F ,µ) 上进行的. 定理 1 (Levi 单调收敛定理)设 f , f (n ≥ 1) n 是非负可测函数, 满足 , a.e. f1 ≤ f 2 ≤ " , 并且 . a.e. f f n → 则 ∫ ∫ = →∞ lim f dµ fdµ. n n (1) 证明 由于在一个零测度集上改变一个函数的函数值不改变该函数的积分值, 因此不 妨设设 f f n f f n ≤ n+1 ( ≥ 1), n → 处处成立. 由积分的单调性得到 ∫ ∫ ∫ ≤ + ≤ , ≥ 1. f n dµ f n 1dµ fdµ n 因此 ∫ →∞ f n dµ n lim 存在并且 ∫ ∫ ≤ →∞ lim f dµ fdµ. n n (2) 下面证明相反的不等式. 对每个 n ≥ 1, 由§3.1 定理.9, 存在非负简单函数列 , 1 { } gn k k≥ 使得 , ( ). gn,k ↑ f n k → ∞ 令 max{ , }, gk = g1,k "gk ,k k ≥ 1. 则{ } gk 是非负简单函数列并且 . k ↑ g 由于当 k ≥ n 时 , n,k n k g ≤ f ≤ f 故 , . gn,k ≤ gk ≤ f k k ≥ n （3） 令 k → ∞ 得 f lim g f . k k n ≤ ≤ →∞ 再令n → ∞ 得 lim g f . k k = →∞ 由积分的定义和(3), 我们有 ∫ ∫ ∫ →∞ →∞ fdµ = lim g dµ ≤ lim f dµ. k k k k 结合(2)得到(1). ■ 推论 2 设 f , f (n ≥ 1) n 是可测函数, 满足 , a.e. f1 ≤ f 2 ≤ " , 并且存在可积函数 g, 使得 f ≥ g, a.e.(n ≥ 1). n 若 , a.e. f f n → 则
lim f du= fdu 证明由于存在可积函数g,使得fn≥g,ae.(n≥1),因此f≥gae.由§4定理7 知道J,和∫的积分存在.对非负可测函数列{n-f}应用定理1,我们有 imJ4-8d=lmn∫(n-gd=∫(-gM=j-Jsd 由此得m∫,4=丁m 推论3(Leⅵ单调收敛定理的级数形式)设{fn}是一列非负的可测函数.则 ∫∑/4=∑Jd 证明令gn=∑J,n2L8=∑f则0≤8n↑g.应用定理1得到 ∑fd=imJg,d=lmCd=∑Jd 例1(积分对积分域的可数可加性)设∫的积分存在,{An}是一列互不相交的可测集.则 fdu fdu 证明由推论3,我们有 fd U />/t4=∑/rL4=∑∫rd 类似地成立 fdu U 由于∫的积分存在,因此J1y 广d和J,厂d至少有一个是有限的将5)和6 的两端相加即得(4)■ 定理4( Fatou引理)设{fn}是一列非负可测函数.则 lim d≤ lim f,d 证明对每个n≥1,令gn= inf f,.则{gn}是单调增加的并且 0≤gn≤fn, lim g= lim f,由单调收敛定理得到 Jim f, du=lim g, du= lim g, du s lim /du
103 ∫ ∫ = →∞ lim f dµ fdµ. n n 证明 由于存在可积函数 g, 使得 f ≥ g, a.e. (n ≥ 1), n 因此 f ≥ g a.e. 由§4.1.定理 7 知道 n f 和 f 的积分存在. 对非负可测函数列{ f f } n − 应用定理 1, 我们有 lim lim ( ) ( ) . ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − = − = − = − →∞ →∞ f dµ gdµ f n g dµ f g dµ fdµ gdµ n n n 由此得 ∫ ∫ = →∞ lim f dµ fdµ. n n ■ 推论 3 (Levi 单调收敛定理的级数形式)设{ }n f 是一列非负的可测函数. 则 . 1 1 ∫∑ ∑∫ ∞ = ∞ = = n n n f n dµ f dµ 证明 令 , 1, . 1 1 ∑ ∑ ∞ = = = ≥ = i i n i n i g f n g f 则0 g g. n ↑ ≤ 应用定理 1 得到 ∫∑ ∫ ∑ ∑ ∫ ∫ = ∞ = →∞ ←∞ ∞ = = = = n i i i i n n n i fid g d f d f d 1 1 1 µ lim µ lim µ µ. ■ 例 1 (积分对积分域的可数可加性)设 f 的积分存在, { } An 是一列互不相交的可测集. 则 1 1 . n n n A A n ∞ f d fd µ µ = ∞ = ∫ ∫ ∪ =∑ (4) 证明 由推论 3, 我们有 1 11 1 .. n n n n n A A A A nn n ∞ f d fId fId fd µ µ µµ = ∞∞ ∞ ++ + + == = ∫∫ ∫ ∫ ∪ === ∑∑ ∑ (5) 类似地成立 1 1 . n n n A A n ∞ f d fd µ µ = ∞ − − = ∫ ∫ ∪ =∑ (6) 由于 f 的积分存在, 因此 1 n n A ∞ f dµ = + ∫∪ 和 1 n n A ∞ f dµ = − ∫∪ 至少有一个是有限的. 将(5)和(6) 的两端相加即得(4).■ 定理 4 (Fatou 引理)设{ }n f 是一列非负可测函数. 则 lim f dµ lim f dµ. n n n n ∫ ∫ →∞ →∞ ≤ 证 明 对每个 n ≥ 1, 令 inf . k k n n g f ≥ = 则 { } gn 是单调增加的并且 0 , n n ≤ g ≤ f lim lim . n n n n g f →∞ →∞ = 由单调收敛定理得到 lim lim lim lim . ∫ ∫ ∫ ∫ →∞ →∞ →∞ →∞ f dµ = g dµ = g dµ ≤ fndµ n n n n n n n ■
推论5设{n}是一列可测函数.则 ()若存在一可积函数g使得,2g,ae(m21)则 Jlimf,du slim∫d n→① )若存在一可积函数g使得≤gae(n21)则∫m4m∫fd 证明对函数列{fn-g}应用定理4即得(i).再对函数列{-fn}应用()的结果并注意 到lim(-n)=- lim f,即得(i).■ 定理6(控制收敛定理)设∫,fn(n≥1)是可测函数,并且存在可积函数g使得 Jfl≤gae(n21)若fn>∫或fn“→f,则∫可积并且 lim f ,du= faA 证明先证∫n→f的情形由于川≤gae(n21故≤gae由于g可积 由§41.定理6知道f和∫都可积.由 Fatou引理,我们有 ∫a=Jimf,d≤sim∫,dshm∫,d≤Jm 因此im∫4存在并且(成立再证f一→f的情形由32定理6对{n}的任 子列{m}都存在其子列{},使得f-f(→).由上面所证的结果有 im∫md= 这蕴涵 limf, dR存在并且7成立■ 推论7(有界收敛定理)设{}是有限测度空间上的可测函数列并且存在常数M使得 I. ae(n≥1).若fn)f厂或∫n→f,则∫可积并且 lim f,du= fdu 证明由于有限测度空间上的常数函数是可积的,取g=M,即知推论成立.■ 推论8设对每个固定的t∈[a,b],f(x,1)是X上的可测函数,又设f(x)是X上的可 测函数,使得 lim f(x,1)=∫(x)a.e.若存在X上的可积函数g使得 f(x,1)≤g(x)ae,t∈[ab 则∫可积并且 limo(x,)du(x)=/(x)du(x)
104 推论 5 设{ }n f 是一列可测函数. 则 (i).若存在一可积函数 g 使得 f ≥ g, a.e. (n ≥ 1). n 则 limf dµ lim f dµ. n n n n ∫ ∫ →∞ →∞ ≤ (ii).若存在一可积函数 g 使得 f ≤ g, a.e. (n ≥ 1). n 则 lim lim . ∫ ∫ →∞ →∞ f dµ ≥ f n dµ n n n 证明 对函数列{ f g} n − 应用定理 4 即得(i). 再对函数列{ }n − f 应用(i) 的结果并注意 到 n n n n f f →∞ →∞ lim(− ) = − lim 即得(ii). ■ 定理 6 (控制收敛定理) 设 f , f (n ≥ 1) n 是可测函数, 并且存在可积函数 g 使得 f ≤ g a.e.(n ≥ 1). n 若 f f n →a.e. 或 f f , n →µ 则 f 可积并且 ∫ ∫ = →∞ lim f dµ fdµ. n n (7) 证明 先证 f f n →a.e. 的情形. 由于 f ≤ g a.e.(n ≥ 1). n 故 f ≤ g a.e..由于 g 可积, 由§4.1.定理 6 知道 n f 和 f 都可积. 由 Fatou 引理, 我们有 lim lim lim . ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = ≤ ≤ ≤ →∞ →∞ →∞ fdµ f dµ f dµ f n dµ fdµ n n n n n 因此 ∫ →∞ f n dµ n lim 存在并且(7)成立. 再证 f f n →µ 的情形. 由§3.2 定理.6, 对{ }n f 的任一 子列{ } nk f 都存在其子列{ } nk f ′ , 使得 ( ). a.e. → ′ → ∞ ′ f f k nk 由上面所证的结果有 ∫ ∫ = ′ ′→∞ lim f dµ fdµ. k n k 这蕴涵 ∫ →∞ f n dµ n lim 存在并且(7)成立.■ 推论7 (有界收敛定理) 设{ }n f 是有限测度空间上的可测函数列,并且存在常数 M 使得 f ≤ M a.e.(n ≥ 1). n 若 f f n →a.e. 或 f f , n →µ 则 f 可积并且 ∫ ∫ = →∞ lim f dµ fdµ. n n 证明 由于有限测度空间上的常数函数是可积的, 取 g = M , 即知推论成立. ■ 推论 8 设对每个固定的t ∈[a,b], f (x,t) 是 X 上的可测函数, 又设 f (x) 是 X 上的可 测函数, 使得lim ( , ) ( ) a.e.. 0 f x t f x t t = → 若存在 X 上的可积函数 g 使得 f (x,t) ≤ g(x) a.e., t ∈[a,b]. (8) 则 f 可积并且 ∫ ∫ = → lim ( , ) ( ) ( ) ( ). 0 f x t d x f x d x t t µ µ (9)
(这里为强调是对x的函数积分,将[f(x,1)d记为「f(x,)d(x) 证明由(8)知道≤gae,因此∫可积设{tn}是(ab)中的数列使得tn→t由 于limf(x,1)=∫(x)ae,因此lim∫(x,tn)=f(x)ae.又 f(x,n)≤g(x)ae(n≥1 由定理6得到 m∫(xn)d(x)=J(x)(x) 这表明limf(x,1)d(x)存在并且(9成立■ 例2(积分号下求导)设∫(x,y)是定义在[a,b×[c,d]上的函数,使得对每个 yec,dl,f(x,y)是[a,b上的L可积函数对每个(x,y)∈a,b]xlc,d,f(x,y)存在, 并且存在[a,b]上的L可积函数g(x),使得 (xy)≤g(x),(xy)∈La×1c:d 则函数1(y)=「f(x,y)可导,并且成立 ∫(xy)=Jf( (11) 证明对任意(x,y)∈[a,b×[c,d,令 o(x)=/(xy+0)-/(xy 其中和1≠0并且团充分小,使得y+∈cd]则对任意x∈[ab有 limo(x,t)=f(x, y) 由微分中值定理和(0当x∈[a小并且充分小时,成p(x1)≤(x)因此由推论8 J(xy)d=lm厂(x)h ∫ f(x, ydx 因此函数(y)=f(x,y)x可导,并且(1)立■ 小结本节介绍了积分的极限定理主要是三个重要定理,即单调收敛定理, Fatou引 理和控制收敛定理,它们分别适用于不同的情况与关于 Riemann积分的相应结果比较,本 节所介绍的积分的极限定理的条件较少而且较容易验证,因此它们在理论推导和积分计算 方面有广泛的应用 习题习题四,第15题一第25题
105 (这里为强调是对 x 的函数积分, 将 ∫ f (x,t)dµ 记为 f (x,t)d (x) ∫ µ ). 证明 由(8)知道 f ≤ g a.e., 因此 f 可积. 设{ }nt 是 (a,b)中的数列使得 . 0 t t n → 由 于lim ( , ) ( ) a.e., 0 f x t f x t t = → 因此 lim f (x,t ) f (x) a.e.. n n = →∞ 又 f (x,t ) ≤ g(x) a.e.(n ≥ 1). n 由定理 6 得到 ∫ ∫ = →∞ lim f (x,t )d (x) f (x)d (x). n n µ µ 这表明lim ( , ) ( ) 0 f x t d x t t → ∫ µ 存在并且(9)成立.■ 例 2 (积分号下求导)设 f (x, y) 是定义在 [a,b]×[c,d] 上的函数, 使得对每个 y ∈[c,d], f (x⋅, y ) 是[a,b]上的L可积函数. 对每个(x, y) ∈ [a,b]×[c,d], f (x, y) y ′ 存在, 并且存在[a,b]上的 L 可积函数 g(x), 使得 f (x, y) g(x), y ′ ≤ (x, y) ∈ [a,b]×[c,d]. (10) 则函数 () (, ) b a I y f x y dx = ∫ 可导, 并且成立 (, ) (, ) . b b y a a d f x y dx f x y dx dy = ′ ∫ ∫ (11) 证明 对任意(x, y) ∈ [a,b]×[c,d], 令 . ( , ) ( , ) ( , ) t f x y t f x y x t + − ϕ = 其中和t ≠ 0并且 t 充分小, 使得 y + t ∈[c,d]. 则对任意 x ∈[a,b], 有 lim ( , ) ( , ). 0 x t f x y y t = ′ → ϕ 由微分中值定理和(10), 当 x ∈[a,b] 并且 t 充分小时, 成 ϕ(x,t) ≤ g(x). 因此由推论 8, 0 ( , ) lim ( , ) ( , ) . b bb y a aa t d f x y dx x t dx f x y dx dy ϕ → = = ′ ∫ ∫∫ 因此函数 () (, ) b a I y f x y dx = ∫ 可导, 并且(11)成立. ■. 小 结 本节介绍了积分的极限定理. 主要是三个重要定理, 即单调收敛定理, Fatou 引 理和控制收敛定理, 它们分别适用于不同的情况.与关于 Riemann 积分的相应结果比较, 本 节所介绍的积分的极限定理的条件较少而且较容易验证, 因此它们在理论推导和积分计算 方面有广泛的应用. 习 题 习题四, 第 15 题—第 25 题