§1.4R中的点集 教学目的欧氏空间Rn上的测度与积分是本课程的主要研究对象本节讨 论欧氏空间上的若干拓扑概念通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集 闭集和 borel集 Cantor集等常见的集,为后面的学习打下基础 本节要点由R"上的距离给出邻域,内点聚点的定义,从而给出开集,闭 集的定义由开集生成一个O-代数引入 Borel集 Cantor集是一个重要的集,它 有一些很特别的性质.应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应 用充分利用几何图形的直观可以帮助理解本节的内容 本书在一般测度空间的框架下展开测度与积分的理论.但R”上的 Lebesgue测度与 Lebesgue积分仍是最重要的情形.这不仅是因为R"上的 Lebesgue积分具有广泛的应用,而 且因为R"上的情形能给我们直观的图形和丰富的实例.本节将讨论n维欧式空间中的一些 常见的点集 用R”表示n维欧式空间,即 R”={x=(x1,…,xn) RT 对任意x=(x1…,xn)∈R",令 -=(x2+…x)j 称|为x的范数.注意若x∈R,则|就是x的绝对值.设x=(x,…xn)和 y=(y1…yn)是R"中的任意两点定义这两点之间的距离为d(xy)=|x-y即 d(xy)=(∑(x-y1)2)2 设{x}是R”中的一个点列,x∈R".若limd(xk,x)=0,则称{xk}收敛于x 为 lim x=x,或x→>x,(k→∞) 邻域,内点与开集 定义1设xn∈R",ACR (1)设E>0.称R"的子集U(x0,E)={x:d(x,x)<E}为点x0的E-邻域 (2).若x0∈A并且存在x0的一个邻域U(x0,E)A,则称x0为A的一个内点(图
24 § 1.4 n R 中的点集 教学目的 欧氏空间 n R 上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨 论欧氏空间上的若干拓扑概念.通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集, 闭集和 Borel 集,Cantor 集等常见的集,为后面的学习打下基础. 本节要点 由 n R 上的距离给出邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集, 闭 集的定义.由开集生成一个ο -代数引入 Borel 集.Cantor 集是一个重要的集, 它 有一些很特别的性质. 应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应 用.充分利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容. 本书在一般测度空间的框架下展开测度与积分的理论. 但 n R 上的 Lebesgue 测度与 Lebesgue 积分仍是最重要的情形. 这不仅是因为 n R 上的 Lebesgue 积分具有广泛的应用, 而 且因为 n R 上的情形能给我们直观的图形和丰富的实例. 本节将讨论 n 维欧式空间中的一些 常见的点集. 用 n R 表示 n 维欧式空间, 即 n R ={ ( , , ) : , , }. 1 x = x1 " xn x1 " xn ∈ R 对任意 x = (x1 ,", xn ) ∈ , n R 令 ( ) . 2 1 2 2 1 n x = x +"x 称 x 为 x 的 范 数 . 注意若 x ∈ , 1 R 则 x 就 是 x 的绝对值 . 设 ( , ) 1 n x = x "x 和 ( , ) 1 n y = y "y 是 n R 中的任意两点. 定义这两点之间的距离为 d(x, y) = x − y . 即 ( , ) ( ( ) ) . 2 1 1 2 ∑= = − n i i i d x y x y 设{ }k x 是 n R 中的一个点列, x ∈ . n R 若 lim ( , ) = 0, →∞ d x x k k 则称{ }k x 收敛于 x, 记 为 lim x x, k k = →∞ 或 x → x, (k → ∞). k 邻域, 内点与开集 定义 1 设 x0 ∈ , n R . n A ⊂ R (1).设ε > 0.称 n R 的子集U(x0 ,ε ) = { : ( , ) } 0 x d x x < ε 为点 0 x 的ε -邻域 (2). 若 x0 ∈ A并且存在 0 x 的一个邻域 ( , ) 0 U x ε ⊂ A, 则称 0 x 为 A 的一个内点(图
(3).若A中的每个点都是A的内点,则称A为R”中的开集.规定空集⑧为开集 (4)由A的内点全体所成的集称为A的内部,记为A° A 图4—1 例如,每个有界或无界开区间(a,b),(-∞,a)(a,+∞)都是直线R上的开集若xo∈R ∞0,则容易证明x0的r-邻域U(x0,r)是R"中的开集因此U(x0,r)又称为以x0为中 心,以r为半径的开球 定理2(开集的基本性质)开集具有如下的性质 (i)空集②和全空间R”是开集 (i).任意个开集的并集是开集 (i).有限个开集的交集是开集 证明()是显然的.往证(i).设{A,t∈T}是X中的任意一族开集.任取 x∈∪xA,则存在b∈7,使得x∈A因为A是开集,故存在x的一个 邻域U(x,),使得U(x,)A4.于是更加有U(x,)c∪xA.这表明x是 U.A的内点.这就证明了∪a4中的每个点都是其内点因此∪。4,是开集现在 证明(i)设A1…,A是开集任取x∈∩4.则对每个=1…,n,有x∈A.因为A 是开集,故存在E1>0,使得U(x1,1)cA令E=min{1…En}则E>0并且
25 4—1). (3). 若 A 中的每个点都是 A 的内点, 则称 A 为 n R 中的开集. 规定空集∅为开集. (4). 由 A 的内点全体所成的集称为 A 的内部, 记为 . D A 图 4—1 例如, 每个有界或无界开区间 (a, b),(−∞, a),(a, + ∞) 都是直线 1 R 上的开集. 若 x0 ∈ n R , r>0, 则容易证明 0 x 的 r − 邻域 ( , ) 0 U x r 是 n R 中的开集. 因此 ( , ) 0 U x r 又称为以 0 x 为中 心, 以 r 为半径的开球. 定理 2 (开集的基本性质)开集具有如下的性质: (i).空集∅ 和全空间 n R 是开集. (ii).任意个开集的并集是开集. (iii).有限个开集的交集是开集. 证 明 (i) 是显然的 . 往 证 (ii). 设 {A ,t T} t ∈ 是 X 中的任意一族开集 . 任 取 ∪t T At x ∈ ∈ . 则存在 , t0 ∈T 使 得 . 0 At x ∈ 因 为 0 At 是开集 , 故存在 x 的一个 邻域 ( , ), 0 U x ε 使得 ( , ) . 0 0 At U x ε ⊂ 于是更加有 ( , ) . 0 ∪t T At U x ∈ ε ⊂ 这表明 x 是 ∪t T∈ At 的内点. 这就证明了∪t T∈ At 中的每个点都是其内点. 因此∪t T∈ At 是开集. 现在 证明 (iii). 设 A An , , 1 " 是开集. 任取 x ∈ . 1 ∩ n i Ai = 则对每个 1, , , . Ai i = " n 有x ∈ 因为 Ai 是开集 , 故存在 > 0, i ε 使 得 ( , ) . i i Ai U x ε ⊂ 令 min{ , }. 1 n ε = ε "ε 则 ε > 0 并 且 0 x 1 x ε A ε
U(x.)c∩A1.因此x是∩4的内点这就证明了∩4是开集■ 注意,任意个开集的交集不一定是开集例如,设An=(n’)n≥1.则每个A都 是R中的开集但∩4=0}不是开集 聚点与闭集 定义3设A是R的子集 (1).设x。∈R".若对任意E>0,U(x0,E)中包含有A中的无限多个点,则称x0为 的一个聚点(图41中的x1 (2)由A的聚点的的全体所成的集称为A的导集,记为A (3)若A'∈A,则称A为闭集 (4).集A∪A'称为A的闭包,记为A 例如,每个有界或无穷闭区间[a,b],(-∞,a],[a,+∞)都是直线R上的闭集.若 x0∈R",p>0,则容易证明集 S(o, r)=x:d(x,xo)sr) 是R中的闭集,称之为以x0为中心,以r为半径的闭球又显然有理数Q的导集Q′=R, Q的闭包Q=R 定理4设AcRn.则A为闭集当且仅当AC为开集 证明必要性.设A为闭集则对任意x0∈A,x不是A的聚点.因此存在x0的一个 邻域U(x0,E1),使得U(x0,E1)中至多只包含A中有限个点,设这些点为x1,…xk,因为 xEA,故x1≠x0,i=1,…k.令E=min{d(x,x)i=1,…k},则E>0.由E的取法 知道U(x0,E)∩A=,即U(x02E)cA.因此x是A的内点.所以A是开集 充分性.设A为开集.则对任意x0∈A,存在x0的一个邻域U(x0,E),使得 U(x0,E)cA.即U(x0,E)中没有A中的点,因此x0不是A的聚点这表明A的聚点全部 在A中,即A"cA.因此A为闭集■ 由定理2和定理4并利用 De morgan公式,立即可以得到闭集的基本性质如下 定理5闭集具有如下性质 (i)空集必和全空间R”是闭集
26 ( , ) . 1 ∩ n i Ai U x = ε ⊂ 因此 x 是∩ n i Ai =1 的内点. 这就证明了∩ n i Ai =1 是开集.■ 注意, 任意个开集的交集不一定是开集. 例如, 设 ), 1. 1, 1 = (− n ≥ n n An 则每个 An 都 是 1 R 中的开集. 但 {0} 1 = ∞ = ∩ n An 不是开集. 聚点与闭集 定义 3 设 A 是 n R 的子集. (1). 设 x0 ∈ n R . 若对任意ε > 0, ( , ) 0 U x ε 中包含有 A 中的无限多个点, 则称 0 x 为 A 的一个聚点(图 4—1 中的 1 x ). (2). 由 A 的聚点的的全体所成的集称为 A 的导集, 记为 A′. (3). 若 A′ ⊂ A, 则称 A 为闭集. (4). 集 A∪ A′称为 A 的闭包, 记为 A. 例如, 每个有界或无穷闭区间 [a, b], (−∞, a],[a, + ∞) 都是直线 1 R 上的闭集. 若 x0 ∈ n R , r>0, 则容易证明集 ( , ) 0 S x r ={ : ( , ) } 0 x d x x ≤ r 是 n R 中的闭集, 称之为以 0 x 为中心, 以 r 为半径的闭球. 又显然有理数Q 的导集Q′ = 1 R , Q 的闭包Q = 1 R . 定理 4 设 A⊂ n R . 则 A 为闭集当且仅当 c A 为开集. 证明 必要性. 设 A 为闭集. 则对任意 , 0 c x ∈ A 0 x 不是 A 的聚点. 因此存在 0 x 的一个 邻域 ( , ) 0 1 U x ε , 使得 ( , ) 0 1 U x ε 中至多只包含 A 中有限个点. 设这些点为 , . 1 k x "x 因为 , x0 ∉ A 故 , 1, , . 0 x x i k i ≠ = " 令 min{ ( , ), 1, }, 0 d x x i k ε = i = " 则ε > 0. 由ε 的取法 知道U(x0 ,ε ) ∩ A = ∅ , 即 ( , ) 0 U x ε c ⊂ A . 因此 0 x 是 c A 的内点. 所以 c A 是开集. 充分性. 设 c A 为开集. 则对任意 , 0 c x ∈ A 存在 0 x 的一个邻域 ( , ), 0 U x ε 使得 c U(x0 ,ε ) ⊂ A . 即 ( , ) 0 U x ε 中没有 A 中的点, 因此 0 x 不是 A 的聚点. 这表明 A 的聚点全部 在 A 中, 即 A′ ⊂ A. 因此 A 为闭集.■ 由定理.2 和定理 4 并利用 De Morgan 公式, 立即可以得到闭集的基本性质如下. 定理 5 闭集具有如下性质: (i).空集∅和全空间 n R 是闭集
(i)任意个闭集的交集是闭集 (i)有限个闭集的并集是闭集 下面的两个定理用序列的语言,给出了A和A中的点的特征以及集A为闭集的等价 条件 定理6设ACR”.则有 ().x∈A当且仅当存在A中的点列{xk},使得xk≠x,xk→x (i).x∈A当且仅当存在A中的点列{x},使得xk→>x 证明()设x∈A.则由聚点的定义,对任意k≥1,U(x0,1/k)中包含有A中的无限 多个点.于是集U(x,1/k)-{x})∩A不空在其中任取一点记为x,则{xk}是A中的 点列,并且x≠x,x→>x 反过来,设存在A中的点列{xk},使得xk≠x,xk→>x.则对任意E>0,存在 N>0,使得当k≥N时,xk∈U(x,E).若{xk,k≥N}中只有有限项彼此不相等,则存 在一个自然数k和{xk}的一个子列{x,},使得x,=x(n21)但x≠x,这与 xk→>x矛盾!因此{xk,k≥N}中必有无穷多项是彼此不同的点.这表明U(x,E)中包含有 A中的无限多个点.因此x∈A (i)设x∈A.则x∈A或者x∈A'.若x∈A,令xk=x,k≥1,即知结论成立.若 x∈A,则由(1)知道存在A中的点列{x},使得xk→x.反过来,设存在A中的点列 {x},使得x→x.若xk≠x,k≥1,则由(i)知道x∈A.否则x∈A.在两种情况下, 均有x∈A.■ 定理7设ACR".则A是闭集当且仅当A中的任意收敛点列的极限必属于A 证明必要性设A是闭集若{x}是A中的点列,x4→x,则由定理6知道x∈A 由于A是闭集,故A=A.因此x∈A 充分性.设x∈A.由定理6,存在A中的点列{x},使得x→x.由假定条件,此 时必有x∈A.这表明A'cA.因此A是闭集■ 定义8设A和B是R”的子集.若AB,则称A在B中稠密.特别地,若 A=R",则称A是R的稠密子集.若(A)°=⑧,则称A为疏集或无处稠密集. 例如,由于Q=R,因此有理数集是R的稠密子集由于z°=必,因此整数集Z是 疏集
27 (ii).任意个闭集的交集是闭集. (iii).有限个闭集的并集是闭集. 下面的两个定理用序列的语言, 给出了 A′ 和 A 中的点的特征以及集 A 为闭集的等价 条件. 定理 6 设 A⊂ n R . 则有 (i). x ∈ A′当且仅当存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x , k ≠ x x. k → (ii). x ∈ A 当且仅当存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x. k → 证明 (i).设 x ∈ A′. 则由聚点的定义, 对任意 k ≥ 1, ( , 1 ) 0 U x k 中包含有 A 中的无限 多个点. 于是集 (U(x, 1 k) −{x}) ∩ A 不空. 在其中任取一点记为 , k x 则{ }k x 是 A 中的 点列, 并且 x x , k ≠ x x. k → 反过来, 设存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x , k ≠ x x. k → 则对任意 ε > 0, 存在 N > 0, 使得当 k ≥ N 时, x U(x,ε ). k ∈ 若{x , k N} k ≥ 中只有有限项彼此不相等, 则存 在一个自然数 0 k 和 { }k x 的一个子列 { }, n k x 使得 ( 1). 0 xk = xk n ≥ n 但 , 0 x x k ≠ 这与 x x k → 矛盾! 因此{x , k N} k ≥ 中必有无穷多项是彼此不同的点. 这表明U(x,ε ) 中包含有 A 中的无限多个点. 因此 x ∈ A′. (ii).设 x ∈ A. 则 x ∈ A 或者 x ∈ A′. 若 x ∈ A, 令 x = x, k ≥ 1, k 即知结论成立. 若 x ∈ A′, 则由 (i) 知道存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x. k → 反过来, 设存在 A 中的点列 { }, k x 使得 x x. k → 若 x x, k ≠ k ≥ 1, 则由 (i) 知道 x ∈ A′. 否则 x ∈ A. 在两种情况下, 均有 x ∈ A.■ 定理 7 设 A⊂ n R . 则 A 是闭集当且仅当 A 中的任意收敛点列的极限必属于 A. 证明 必要性. 设 A 是闭集. 若{ }k x 是 A 中的点列, x x, k → 则由定理 6 知道 x ∈ A. 由于 A 是闭集, 故 A = A. 因此 x ∈ A. 充分性. 设 x ∈ A′. 由定理 6, 存在 A 中的点列{ }, k x 使得 x x. k → 由假定条件, 此 时必有 x ∈ A. 这表明 A′ ⊂ A. 因此 A 是闭集.■ 定义 8 设 A 和 B 是 n R 的子集. 若 A ⊃ B, 则称 A 在 B 中稠密. 特别地, 若 A = , n R 则称 A 是 n R 的稠密子集. 若( ) = ∅, D A 则称 A 为疏集或无处稠密集. 例如, 由于Q = 1 R , 因此有理数集是 1 R 的稠密子集. 由于 = ∅, D Z 因此整数集 Z 是 疏集
定理9设A是R”的子集.则以下几项等价 (i).A是R"的稠密子集 (i).对任意x∈R”和E>0,A∩U(x,E)≠ (i.对任意x∈R",存在A中的点列{xk}使得x→>x 定理9的证明留作习题 设A∈R".若存一个闭球S(0,r,使得AcS(0,r),则称A是有界的.设{xk}是 R"中的一个点列若存一个闭球S(0,r),使得xCS(0,r),k≥1,则称{x}是有界点列 定理10R”中的每个有界点列存在收敛子列 证明设{xk}是R”中的有界点列设x4={x),…,x);,k≥1.则{x1)}是有界数 列由数学分析中熟知的 Weierstrass 3致密性定理,存在{x}的一个子列{x}使得 x1"→x,同理,存在{k,}的一个子列{k2}使得x2)→x2,这样一直下去,最后 存在休k}的子列{kn}使得x”→xn,记k,=km则对每个j=1…,n,有 x)→x,(k→∞).令x=(x1…x)我们有 因此若x.→x,(k1→∞).■ 思考题1开区间(0,1)在R中是不是开集? 2若将R"两个点x=(x1,…xn)和y=(y12…yn)距离的定义改为 d(x,y)=max(, -* -) 按照本节类似的方法定义邻域,内点,聚点,开集和闭集等所得结果与本节原来的定义有 和异同? 有界闭集上的连续函数在数学分析课程中,我们已经熟悉直线上的区间上或R”中的 区域上的连续函数.类似可以定义在R"的任意子集E上的连续函数 定义11设EcR",f(x)是定义在E上的实值函数.又设x∈E.若对任意E>0, 存在相应的6>0,使得当x∈E并且d(x,x)x并且
28 定理 9 设 A 是 n R 的子集. 则以下几项等价: (i). A 是 n R 的稠密子集. (ii). 对任意 x ∈ n R 和ε > 0, A∩U(x,ε ) ≠ ∅. (iii).对任意 x ∈ , n R 存在 A 中的点列{ }k x 使得 x x. k → 定理 9 的证明留作习题. 设 A ⊂ . n R 若存一个闭球 S(0,r), 使得 A ⊂ S(0,r), 则称 A 是有界的. 设{ }k x 是 n R 中的一个点列. 若存一个闭球 S(0,r), 使得 x ⊂ S(0,r), k ≥ 1, k 则称{ }k x 是有界点列. 定理 10 n R 中的每个有界点列存在收敛子列. 证明 设{ }k x 是 n R 中的有界点列. 设 { , , }, 1. ( ) ( ) x = x1 x k ≥ k n k k " 则{ } ( ) 1 k x 是有界数 列. 由数学分析中熟知的 Weierstrass 致密性定理, 存在{ } ( ) 1 k x 的一个子列{ } ( ) 1 1i k x 使得 . 1 ( ) 1 1 x x i k → 同理, 存在{ } 1i k 的一个子列{ } 2 i k 使得 . 2 ( ) 2 2 x x i k → 这样一直下去, 最后, 存 在 { } n 1,i k − 的子列 { } ni k 使 得 . ( ) n k n x x n i → 记 . i ni k = k 则对每个 j = 1,",n, 有 j k j x x ( i ) → ( → ∞). i k 令 ( , ). 1 n x = x "x 我们有 ( , ) ( ( ) ) 0, 2 1 1 = ∑ ( ) − 2 → = n j j k k j d x x x x i i ( → ∞). i k 因此若 x x, i k → ( → ∞). i k ■ 思考题 1.开区间(0, 1) 在 2 R 中是不是开集? 2.若将 n R 两个点 ( , ) 1 n x = x "x 和 ( , ) 1 n y = y "y 距离的定义改为 ( , ) max( , , ). 1 1 n n d x y = x − y " x − y 按照本节类似的方法定义邻域, 内点, 聚点, 开集和闭集等.所得结果与本节原来的定义有 和异同? 有界闭集上的连续函数 在数学分析课程中, 我们已经熟悉直线上的区间上或 n R 中的 区域上的连续函数. 类似可以定义在 n R 的任意子集 E 上的连续函数. 定义 11 设 E ⊂ n R , f (x) 是定义在 E 上的实值函数. 又设 x0 ∈ E . 若对任意ε > 0, 存在相应的δ > 0 , 使得当 x ∈ E 并且 d(x, x0 ) < δ 时, 有 ( ) ( ) , 0 f x − f x < ε 则称 f (x) 在 0 x 连续. 若 f 在 E 上的每一点都连续, 则称 f 在 E 上连续. E 上的连续函数的全体记为 C(E). 容易证明, f 在 E 上连续的充要条件是, 对 E 中的任意点列{ }, n x 若 x x n → 并且
x∈E,则limf(xn)=f(x) 利用定理10,仿照数学分析课程中关于闭区间上连续函数性质的证明,可以证明如下 事实 设K是R”中的有界闭集,∫(x)是K上的连续函数则 ().f(x)在K上是有界的 (i).f(x)在K上取得最大值和最小值 (in).f(x)在K上是一致连续的.即对任意E>0,存在>0,使得对任意 x,x”∈K,当d(xx)0,使得(a-E,a+E)A.这 与a的定义矛盾.所以aA.类似可证bg
29 x ∈ E, 则 lim f (x ) f (x). n n = →∞ 利用定理 10, 仿照数学分析课程中关于闭区间上连续函数性质的证明, 可以证明如下 事实: 设 K 是 n R 中的有界闭集, f (x) 是 K 上的连续函数. 则 ( ) i). f (x 在 K 上是有界的. ( ) ii). f (x 在 K 上取得最大值和最小值. ( ) iii). f (x 在 K 上是一致连续的. 即对任意 ε > 0, 存在 δ > 0, 使得对任意 x′, x′′∈ K, 当d(x′, x′′) 0 , 使得 (a − ε ,a + ε ) ⊂ A . 这 与 a 的定义矛盾. 所以a ∉ A. 类似可证b ∉ A . b c d 1 d 1 c A = (a, b) ∪ (c, d) a
(i).设(a1,b1)和(a2,b2)是A的两个不同的构成区间.若(a1b1)和(a2b2)相交, 则必有一个区间的端点包含在另一个区间中.例如a2∈(a1,b)但a2≠A,这与 (a1,b1)cA矛盾.所以(a1,b1)和(a2,b2)不相交.这表明不同的构成区间互不相交.在A 的每个构成区间中选取一个有理数,则A的构成区间的全体与有理数的一个子集一一对应 所以A的构成区间只有有限个或可数个.于是A的构成区间的全体可以编号为 (a1,b,),i=1,…,n或i=1,2 i)我们有A=Ua,b)事实上,由于每个(a,)∈A,因此∪(a,b)=A 另一方面,由(1),对每个x∈A,存在一个构成区间(a1,b),使得x∈(a1,b)因此 x∈U(a,),所以Ac∪(a,b)这就证明A=U(a,b)■ Bore集开集和闭集是R"中的常见的集.但R”中有一些常见的集,它们既不是开集, 也不是闭集.例如,可数个开集的交不一定是开集,可数个闭集的并不一定是闭集.下面我 们要考虑的 Borel集就包含了这类集,并且 Borel集类对一切有限或可数并、交、余和差运 算都封闭 定义13由R中开集的全体所生成的a-代数称为R中的 Borel o-代数(或 Borel 集类),记为(R”).(R")中的集称为 Borel集 设a )∈R",b=(b1,…,bn)∈R",a1<b,i=1,…,n.称R"的子集 (a1,b1)x…×(an,bn)={(x1…xn):a1<x1<b,i=1,…n 为R”中的开方体,记为(a,b).类似可定义R中的其它类型的方体.在直线R和平面R2 中方体分别就是区间和矩形 定理14R"中所有的开集,闭集,有限集或可数集,各种类型的方体都是 Borel集 证明由定义即知开集是 Borel集.由于 Borel集类对余运算封闭,而闭集是开集的余集 故闭集是 Borel集.因为单点集{a}是闭集,所以单点集是 Borel集.由于有限集或可数集可 以表示成单点集的有限并或可数并,而 Borel集类对有限并或可数并封闭,所以有限集或可 数集是 Borel集.由于开方体是开集,闭方体是闭集,因此开方体和闭方体是 Borel集.往证 半开半闭方体是 Borel集.为简单计,不妨只考虑直线上的情形.由于等式 (a,b]=∩(ab+-)和Bocl集类对可数交运算的封闭性,即知半开半闭区间(ab]是 Borel集.类似可证明其它类型的半开半闭区间都是 Borel集■
30 (ii). 设 ( , ) 1 1 a b 和 ( , ) 2 2 a b 是 A 的两个不同的构成区间. 若 ( , ) 1 1 a b 和 ( , ) 2 2 a b 相交, 则必有一个区间的端点包含在另一个区间中. 例如 ( , ). 2 1 1 a ∈ a b 但 , a2 ∉ A 这与 (a1 ,b1 ) ⊂ A 矛盾. 所以( , ) 1 1 a b 和( , ) 2 2 a b 不相交. 这表明不同的构成区间互不相交. 在 A 的每个构成区间中选取一个有理数, 则 A 的构成区间的全体与有理数的一个子集一一对应. 所以 A 的构成区间只有有限个或可数个. 于是 A 的构成区间的全体可以编号为 ( , ), ai bi i = 1,",n 或i = 1, 2, ". (iii). 我们有 ∪ i A ai bi = ( , ). 事实上,由于每个 (a ,b ) A, i i ⊂ 因此 ∪ i (ai ,bi) ⊂ A. 另一方面, 由 (i), 对每个 x ∈ A , 存在一个构成区间 ( , ), ai bi 使得 x ∈ ( , ). ai bi 因此 x ∈ ∪ i ai bi ( , ), 所以 ∪ i A ai bi ⊂ ( , ). 这就证明 ∪ i A ai bi = ( , ).■ Borel 集 开集和闭集是 n R 中的常见的集. 但 n R 中有一些常见的集, 它们既不是开集, 也不是闭集. 例如, 可数个开集的交不一定是开集, 可数个闭集的并不一定是闭集. 下面我 们要考虑的 Borel 集就包含了这类集, 并且 Borel 集类对一切有限或可数并、交、余和差运 算都封闭. 定义 13 由 n R 中开集的全体所生成的σ − 代数称为 n R 中的 Borel σ -代数(或 Borel 集类), 记为 ( ). n B R ( ) n B R 中的集称为 Borel 集. 设 ( , , ) a = a1 " an ∈ n R , ( , , ) b = b1 " bn ∈ n R , a b ,i 1, ,n. i < i = " 称 n R 的子集 ( , ) ( , ) {( , ) : , 1, , } a1 b1 ×"× an bn = x1 "xn ai < xi < bi i = " n 为 n R 中的开方体, 记为(a,b). 类似可定义 n R 中的其它类型的方体. 在直线 1 R 和平面 2 R 中方体分别就是区间和矩形. 定理 14 n R 中所有的开集, 闭集, 有限集或可数集, 各种类型的方体都是 Borel 集. 证明 由定义即知开集是 Borel 集. 由于Borel 集类对余运算封闭, 而闭集是开集的余集, 故闭集是 Borel 集. 因为单点集{a}是闭集, 所以单点集是 Borel 集. 由于有限集或可数集可 以表示成单点集的有限并或可数并, 而 Borel 集类对有限并或可数并封闭, 所以有限集或可 数集是 Borel 集. 由于开方体是开集, 闭方体是闭集, 因此开方体和闭方体是 Borel 集. 往证 半开半闭方体是 Borel 集 . 为简单计 , 不妨只考虑直线上的情形 . 由于等式 ∩ ∞ = = + 1 ) 1 ( , ] ( , n n a b a b 和 Borel 集类对可数交运算的封闭性, 即知半开半闭区间 (a,b] 是 Borel 集. 类似可证明其它类型的半开半闭区间都是 Borel 集. ■
特别地,由于有理数集是可数集,而无理数集是有理数集的余集,由定理14知道,有 理数集和无理数集都是 Borel集 设AcR".若A可表示为一列开集的交,则称A为G。型集.若A可以表示为一列闭 集的并,则称A为F型集.显然G型集和F型集都是Borl集 Cantor集下面我们介绍在举例时常常用到的一个重要的集_ Cantor((三分)集 例1( Cantor0集)记Co=D01将C0三等分,去掉中间的一个开区间(2、将剩下的 部分记为C,即C1=0121它是两个互不相交的闭区间的并、将C的每个闭区 间都三等分再去掉每个闭区间中间的开区间(G)和(G9)将剩下的部分记为C2,即 949999 121 2 7 993 红色部分控掉 图43 它是22个两个互不相交的闭区间的并.这样一直做下去,得到一列集{Cn}.其中C是2 个互不相交的闭区间的并每个闭区间的长为3最后令K=∩n,称之为cmo三分 集,简称为 Cantor集(图4-3) Cantor集具有如下的性质 (1). Cantor集是闭的疏朗集.由于每个Cn都是闭集,而K为一列闭集的交,故K是闭 集由于K是闭集,为证K是疏朗集,只需证明K°=.设x∈K.对任意E>0,取n 足够大,使得<E.由于Cn是2"个互不相交的长度为一的闭区间的并,故x的 邻域(x-E,x+)内必含有不属于C两的点于是(x-E,x+E)更加含有不属于K的点
31 特别地, 由于有理数集是可数集, 而无理数集是有理数集的余集, 由定理 14 知道, 有 理数集和无理数集都是 Borel 集. 设 A ⊂ n R . 若 A 可表示为一列开集的交, 则称 A 为Gδ 型集. 若 A 可以表示为一列闭 集的并, 则称 A 为 Fσ 型集. 显然Gδ型集 和 Fσ型集都是 Borel 集. Cantor 集 下面我们介绍在举例时常常用到的一个重要的集—Cantor(三分)集. 例 1 (Cantor 集)记 [0,1]. C0 = 将C0 三等分, 去掉中间的一个开区间 ). 3 2 , 3 1 ( 将剩下的 部分记为 , C1 即 ,1]. 3 2 ] [ 3 1 [0, C1 = ∪ 它是两个互不相交的闭区间的并. 将 C1的每个闭区 间都三等分. 再去掉每个闭区间中间的开区间 ) 9 2 , 9 1 ( 和 ). 9 8 , 9 7 ( 将剩下的部分记为 , C2 即 , 1]. 9 8 ] [ 9 7 , 9 6 ] [ 9 3 , 9 2 ] [ 9 1 [0 , C2 = ∪ ∪ ∪ 图 4—3 它是 2 2 个两个互不相交的闭区间的并. 这样一直做下去, 得到一列集{ }. Cn 其中Cn 是 n 2 个互不相交的闭区间的并, 每个闭区间的长为 . 3 1 n 最后令 , 1 ∩ ∞ = = n K Cn 称之为 Cantor 三分 集, 简称为 Cantor 集(图 4—3). Cantor 集具有如下的性质: (1). Cantor 集是闭的疏朗集. 由于每个Cn 都是闭集, 而 K 为一列闭集的交, 故 K 是闭 集. 由于 K 是闭集, 为证 K 是疏朗集, 只需证明 = ∅. D K 设 x ∈ K . 对任意ε > 0, 取 n0 足够大, 使得 . 3 1 0 < ε n 由于 n0 C 是 0 2n 个互不相交的长度为 0 3 1 n 的闭区间的并, 故 x 的ε − 邻域 (x − ε, x + ε ) 内必含有不属于 n0 C 的点. 于是 (x − ε, x + ε ) 更加含有不属于 K 的点. 0 1 3 1 3 2 9 1 9 2 9 7 9 8
因此x不是K的内点这表明K°=.所以K是疏朗集 (2)在构造 Cantor集时从[0,中去掉的那些开区间的长度之和为1.事实上,在第n 次步骤得到Cn时,去掉了2个长度为的开区间.因此去掉的那些开区间的长度之和 (3) Cantor集具有连续基数c.由引理16和K的定义知道,对任意x∈K,x可以唯 的写成 3× 其中a1=0或2,i=1,2,…,并且有无限个a1=2.令 A={(a12a2…):a1=0或并且有无限个a1≠0}, 由§12定理11后面的注1,A具有连续基数c.再作映射 q:A→K, -(xHo(x=y2Xn 则是A到 Cantor集K的一一的到上的映射.由于A具有连续基数c,故K具有连续基数 小结本节由R"上自然的距离结构,导出了邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集, 闭集的定义由开集生成一个O-代数即 Borel o-代数,进而引入了 Borel集.本节讨论了这 些集的性质和相互关系给出了直线开集的构造定理. Cantor集是一个重要的集它具有一些 特别的性质,在举反例时常常是有用的.学习本节的内容应充分利用几何图形的直观,以帮 助理解本节的内容 习题习题一,第29题一第43题
32 因此 x 不是 K 的内点. 这表明 = ∅. D K 所以 K 是疏朗集. (2). 在构造 Cantor 集时从[0,1]中去掉的那些开区间的长度之和为 1. 事实上, 在第n 次步骤得到Cn 时, 去掉了 1 2n− 个长度为 n 3 1 的开区间. 因此去掉的那些开区间的长度之和 1. 3 2 3 1 3 2 1 1 1 1 = ∑ = ∑ ∞ = − ∞ = − n n n n n (3). Cantor 集具有连续基数c. 由引理 16 和 K 的定义知道, 对任意 x ∈ K, x 可以唯 一的写成 , 3 3 3 2 2 1 = 1 + +"+ n n +" a a a x 其中 ai = 0 或2 , i = 1, 2,", 并且有无限个 = 2. ai 令 {( , , ) : 0 1, 0}, A = a1 a2 " ai = 或 并且有无限个ai ≠ 由§1.2 定理.11 后面的注 1, A 具有连续基数c. 再作映射 . 3 2 ( ) ( ) : , 1 ∑ ∞ = = = → n n n n x x x x A K ϕ ϕ 6 则ϕ 是 A 到 Cantor 集 K 的一一的到上的映射. 由于 A 具有连续基数c, 故 K 具有连续基数 c. 小 结 本节由 n R 上自然的距离结构, 导出了邻域, 内点, 聚点的定义, 从而给出开集, 闭集的定义. 由开集生成一个ο -代数即 Borel ο -代数, 进而引入了 Borel 集. 本节讨论了这 些集的性质和相互关系,给出了直线开集的构造定理. Cantor 集是一个重要的集.它具有一些 特别的性质, 在举反例时常常是有用的. 学习本节的内容应充分利用几何图形的直观, 以帮 助理解本节的内容. 习 题 习题一, 第 29 题—第 43 题