集类 教学目的本节继前面两节之后,从另一侧面继续介绍与一般集相关的基 础知识。本节给出几种在测度论中常见集类.介绍了本节集类的知识后将可 以有效简化测度论若干定理的证明 本节要点本节介绍了在测度论常见的几种集类如环代数和σ-代数等 本节介绍的集类较多,应注意理清各个集类之间的相互关系.与-代数相 关的概念及其应用是本节的重点 集类设X为一固定的非空集.以X的一些子集为元素的集称为X上的集类.集类一般 用花体字母如4,B,C等表示例如,由直线R上开区间的全体所成的集就是R上的 个集类.本节若无特别申明,均设所考虑的集类都是X上的集类 在测度论中经常要用到具有某些运算封闭性的集类.对集类要求不同的运算封闭性就 得到不同的集类.本节介绍常见的几种集类,主要包括半环,环,代数和σ-代数.这几种集 类对运算封闭性的要求一个比一个强 I半环与环 定义1设C是一集类,若C满足条件 (1)∈C (2)若A,B∈C,则A∩B∈C 3)若A,B∈C,则存在C中有限个互不相交的集C1,…Cn,使得 A-B=UC, 则C称为半环 例1设C={(an,b]:-∞<a≤b<+∞}是直线上左开右闭有界区间的全体则C是 个半环 定义2设是一个非空集类.若对并运算和差运算封闭,则称为环 定理3设是一个非空集类.则 (1)若对不相交并和差运算封闭,则咒是环 (2)若界是一个环.则⑧∈并且对交运算封闭 证明由于A∪B=A∪(A-B),故集的并可以通过差运算和不相交并运算得到.因
18 § 1.3 集 类 教学目的 本节继前面两节之后,从另一侧面继续介绍与一般集相关的基 础知识. 本节给出几种在测度论中常见集类. 介绍了本节集类的知识后,将可 以有效简化测度论若干定理的证明. 本节要点 本节介绍了在测度论常见的几种集类,如环,代数和σ -代数等. 本节介绍的集类较多, 应注意理清各个集类之间的相互关系. 与σ -代数相 关的概念及其应用是本节的重点. 集类 设 X 为一固定的非空集. 以 X 的一些子集为元素的集称为 X 上的集类. 集类一般 用花体字母如 A ,B ,C 等表示. 例如, 由直线 1 R 上开区间的全体所成的集就是 1 R 上的一 个集类. 本节若无特别申明, 均设所考虑的集类都是 X 上的集类. 在测度论中经常要用到具有某些运算封闭性的集类. 对集类要求不同的运算封闭性就 得到不同的集类. 本节介绍常见的几种集类, 主要包括半环, 环, 代数和σ -代数. 这几种集 类对运算封闭性的要求一个比一个强. I 半环与环 定义 1 设C 是一集类, 若C 满足条件 (1) ∅ ∈C (2) 若 A, B ∈C , 则A ∩ B ∈C. (3) 若 A, B ∈C , 则存在C 中有限个互不相交的集 , , , C1 " Cn 使得 . 1 ∪ n i A B Ci = − = 则C 称为半环. 例 1 设C = {(a,b]: −∞ < a ≤ b < +∞}是直线上左开右闭有界区间的全体. 则C 是一 个半环. 定义 2 设R 是一个非空集类. 若R 对并运算和差运算封闭, 则称R 为环. 定理 3 设R 是一个非空集类. 则 (1) 若R 对不相交并和差运算封闭, 则R 是环. (2) 若R 是一个环. 则∅ ∈ R 并且R 对交运算封闭 证明 由于 A∪ B = A∪(A− B), 故集的并可以通过差运算和不相交并运算得到. 因
此若对不相交并和差运算封闭,则对并运算也封闭,因而是一个环.设是一个 环.由于非空,故存在A∈.于是=A-A∈.由于 A∩B=(A∪B)-(A-B)∪(B-A) 即交运算可以通过并运算和差运算得到,因此对交运算封闭■ 例2设R={A:A是的有限子集},则是一个环 定理4设C是一个半环令 ={∪c:C1…C属于C并且互不相交k21} (1) 则是一个环.并且是包含C的最小的环 证明显然Cc.由定理3,为证是一个环,只需证明对不相交并和差运算封闭 即可显然界对不相交并算封闭往证对差运算封闭设A=Um4和B=UB 是中任意两个集.则 A∩B=(U4)(B)=U∪(4,∩B) 由于C对交运算,利用上述等式知道对交运算封闭.我们有 A-B=U4-UB=U∩(4-B) 由于C是半环,故A-B可以表示为C中的有限个集的不相交并,因此由的定义知道 A-B∈R.上面已证?对交运算封闭,因此∩(4-B)∈只。由于 {∩=(4-B)1=1…中的集互不相交并且对不相交并运算封闭,由(2)知道 A-B∈界.即对差运算封闭.所以是一个包含C的环.显然若是任意包含C的 环,则,即是包含C的最小的环(图3-1是当C是例1中的半环的情形)■ A2-B2 B A=A1∪A2 B=B1∪B2
19 此若R 对不相交并和差运算封闭, 则R 对并运算也封闭, 因而R 是一个环. 设R 是一个 环. 由于R 非空, 故存在 A∈ R. 于是∅ = A − A∈ R. 由于 A∩ B = (A∪ B) − ((A − B) ∪ (B − A)), 即交运算可以通过并运算和差运算得到, 因此R 对交运算封闭.■ 例 2 设R = {A : A是X的有限子集}, 则R 是一个环. 定理 4 设C 是一个半环. 令 R { : , , , 1}. 1 1 = ≥ = C C C k k k i ∪ i " 属于C 并且互不相交 (1) 则R 是一个环. 并且R 是包含C 的最小的环. 证明 显然C ⊂ R.由定理 3, 为证R 是一个环, 只需证明R 对不相交并和差运算封闭 即可. 显然R 对不相交并算封闭. 往证R 对差运算封闭. 设 1 n i i A A = = ∪ 和 1 n j j B B = = ∪ 是R 中任意两个集. 则 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 1 ∪ ∪ ∪∪ n i m j i j n i i n i A B Ai B A B = = = = ∩ = ∩ = ∩ 由于C 对交运算, 利用上述等式知道R 对交运算封闭. 我们有 ( ). 1 1 1 1 ∪ ∪ ∪∩ n i m j i j m j j n i A B Ai B A B = = = = − = − = − (2) 由于C 是半环, 故 Ai − Bj 可以表示为C 中的有限个集的不相交并, 因此由R 的定义知道 Ai − Bj ∈ R . 上面已证 R 对交运算封闭 , 因 此 1 ( ) m i j j A B = ∩ − ∈ R . 由 于 { } 1 ( ) : 1, , m i j j ABi n = ∩ − = " 中的集互不相交并且 R 对不相交并运算封闭, 由(2)知道 A − B ∈ R . 即R 对差运算封闭. 所以R 是一个包含C 的环. 显然,若R ′ 是任意包含C 的 环,则R ⊂ R ′. 即R 是包含C 的最小的环(图 3—1 是当C 是例 1 中的半环的情形). ■ A1 A2 B1 A1 − B1 B2 A2 − B2 A = A1 ∪ A2 B = B1 ∪ B2
我们称由(1)定义的环为由C生成的环,记为R(C),由定理4知道,R(C)是包含C 的最小的环 ={Ua,b1(,b1(a,b=(≠D,k≥21 由例1和定理4知道是一个环 Il代数与-代数 定义5设4是一个非空集类.若A对并运算和余运算封闭,则称为一个代数 容易知道,集类A是一个代数当且仅当A是一个包含全空间X的环.结合环的运算 封闭性知道,若A是一个代数,则②,X∈,并且A对有限并、有限交、差和余运算封闭 定义6若丌是一个非空集类,满足 (1)若A∈,则4∈ (2)若A∈,n=1,2,…则A,∈丌 则称丌为一个σ-代数(或σ-域) 例4设分={x,则},则是X上的σ-代数,这是X上的最小的σ-代数 例5设(X)是由X的全体子集所成的集类则(X)是一个σ-代数.这是X上的 最大的σ-代数 例6设X是一个无限集令={A:A.或者AC是有限集}.则A是X上的一个代 数.由于4对可数并运算不封闭,因此A不是一个-代数.若令={4:A或者AC 多是可数集}则是X上的一个σ-代数.以上结论的验证留作习题 定理7设是一个σ-代数.则 (1)⑧∈丌,X∈丌 (2)牙对有限或可数并、有限或可数交、余和差运算封闭 证明由于 An=A1U…UAn∪An 即有限并可以表示成可数并.由于丌对可数并运算封闭,因此丁对有限并运算封闭.因此 丌是代数,由代数的性质知道X,⑧∈牙并且对有限交运算和差运算封闭。由De
20 图 3—1 我们称由(1)定义的环R 为由C 生成的环, 记为R (C ).由定理 4 知道, R (C ) 是包含C 的最小的环. 例 3 设 { ( , ]: ( , ] ( , ] ( ), 1}. 1 = ∩ = ∅ ≠ ≥ = a b a b a b i j k i i j j k i R ∪ i i 由例 1 和定理 4 知道R 是一个环. II 代数与σ -代数 定义 5 设A 是一个非空集类. 若 A 对并运算和余运算封闭, 则称为一个代数. 容易知道, 集类 A 是一个代数当且仅当 A 是一个包含全空间 X 的环. 结合环的运算 封闭性知道, 若 A 是一个代数, 则∅, X ∈ A 并且 A 对有限并、有限交、差和余运算封闭. 定义 6 若F 是一个非空集类, 满足 (1) 若 ∈F , ∈F . c A 则A (2) 若 , 1, 2, , . 1 ∈F = ∈F ∞ = " ∪ n An n 则 An 则称F 为一个σ -代数(或σ -域).. 例 4 设F ={X ,∅},则F 是 X 上的σ -代数. 这是 X 上的最小的σ -代数. 例 5 设P (X ) 是由 X 的全体子集所成的集类. 则P (X ) 是一个σ -代数. 这是 X 上的 最大的σ -代数. 例 6 设 X 是一个无限集. 令 A = {A : A. 或者 C A 是有限集}. 则 A 是 X 上的一个代 数. 由于 A 对可数并运算不封闭, 因此 A 不是一个σ -代数. 若令F = {A: A 或者 C A 至 多是可数集} 则F 是 X 上的一个σ -代数. 以上结论的验证留作习题. 定理 7 设F 是一个σ -代数. 则 (1) ∅ ∈F , X ∈F . (2) F 对有限或可数并、有限或可数交、余和差运算封闭. 证明 由于 , A1 ∪"∪ An = A1 ∪"∪ An ∪ An " 即有限并可以表示成可数并. 由于F 对可数并运算封闭, 因此F 对有限并运算封闭. 因此 F 是代数，由代数的性质知道 X ,∅ ∈F 并且 F 对有限交运算和差运算封闭。 由 De
Morgan公式得到∩A=(∪A),由于对可数并和余运算的封闭性知道对可数交 运算封闭■ 以上定义的四种集类的关系是,每个σ-代数都是代数,每个代数都是环,每个环都是 半环 思考题:1分别举例说明半环不必是环,环不必是代数,代数不必是σ-代数 2.举例说明σ-代数对任意多个集的并运算不一定封闭 由集类生成的σ-代数在定理4中我们已经知道,给定一个非空集类C,存在一个包含 C的最小的环(C).关于-代数和代数有类似的结果 定理8设C是一个非空集类则必存在唯一的一个σ-代数,满足 (2)对任何包含C的σ-代数丌,必有T'→丌 证明由X的全体子集所成的集类P(X)是一个σ-代数.因此至少存在一个包含C 的σ-代数.令 5=-∩{:是包含C的一代数 则丌是一个包含C的σ-代数.事实上,显然非空并且丌三C.设 A,∈丌,n=12,…往证∪A∈丌设界’是任意一个包含C的a·代数。则 A,∈,n=12…,由于是a代数,因此UA,∈,这表明A∈.因此了 对可数并运算封闭类似可以证明对余运算封闭因此T是一个包含C的σ-代数由 的定义知道,对任何包含C的σ-代数丌′,必有丌′丌.因此存在性得证唯一性 是显然的■ 由定理8,对任意一个非空集类C,存在唯一的一个包含C的最小的σ一代数.这个 -代数称为由C生成的a-代数,记为G(C).类似可定义由C生成的代数,记为.A(C) 例7设C是由X的单点子集的全体所成的集类.则 σ(C)={A:A或A是有限集或可数集} 证明将(3)的右边所定义的集类记为丌.显然丌三C.不难验证是一个σ-代数 (具体验证过程留作习题)另一方面,设了是任意一个包含C的a-代数若A是至多可数 集,则A可以表示成单点集的有限并或可数并既然包含C并且对有限并和可数并运
21 Morgan公式得到 ( ) , 1 1 C n C n n ∩An ∪A ∞ = ∞ = = 由于F 对可数并和余运算的封闭性知道F 对可数交 运算封闭.■ 以上定义的四种集类的关系是, 每个σ -代数都是代数, 每个代数都是环, 每个环都是 半环. 思考题: 1.分别举例说明半环不必是环, 环不必是代数, 代数不必是σ -代数. 2. 举例说明σ -代数对任意多个集的并运算不一定封闭. 由集类生成的σ -代数 在定理 4 中我们已经知道, 给定一个非空集类C , 存在一个包含 C 的最小的环R (C ). 关于σ -代数和代数有类似的结果. 定理 8 设C 是一个非空集类.则必存在唯一的一个σ -代数F ,满足 (1) F ⊃ C . (2) 对任何包含C 的σ − 代数 F ′, 必有F ′ ⊃ F . 证明 由 X 的全体子集所成的集类P (X ) 是一个σ − 代数. 因此至少存在一个包含C 的σ -代数. 令 F =∩{F ′ :F ′是包含C 的σ − 代数}. 则 F 是一个包含 C 的 σ - 代 数 . 事实上 , 显 然 F 非空并且 F ⊃ C . 设 A ∈ , n = 1, 2,". n F 往 证 . 1 ∈F ∞ = ∪ n An 设 F ′ 是任意一个包含 C 的 σ - 代 数 . 则 An ∈ F ′, n = 1, 2,".由于F ′ 是σ -代数, 因此 . 1 ∈F ′ ∞ = ∪ n An 这表明 . 1 ∈F ∞ = ∪ n An 因此F 对可数并运算封闭. 类似可以证明F 对余运算封闭. 因此F 是一个包含C 的σ − 代数.由 F 的定义知道, 对任何包含C 的σ − 代数 F ′, 必有F ′ ⊃ F . 因此存在性得证.唯一性 是显然的.■ 由定理 8, 对任意一个非空集类C , 存在唯一的一个包含C 的最小的σ − 代数. 这个 σ -代数称为由C 生成的σ -代数, 记为σ (C ). 类似可定义由C 生成的代数, 记为 A(C ). 例 7 设C 是由 X 的单点子集的全体所成的集类. 则 σ (C ) = {A : A 或 c A 是有限集或可数集}. (3) 证明 将(3)的右边所定义的集类记为F . 显然F ⊃ C . 不难验证F 是一个σ -代数 (具体验证过程留作习题). 另一方面, 设F ′ 是任意一个包含C 的σ -代数. 若 A 是至多可数 集, 则 A 可以表示成单点集的有限并或可数并. 既然F ′ 包含C 并且对有限并和可数并运
算封闭,因此A∈丌′.若A是至多可数集,则A∈丌由于对余运算封闭,因此 A=(A)°∈丌’.这表明′→丌.综上所证,丌是包含C的最小的σ--代数.因此 (C)=■ 例8设C={A:A是x的有限子集},C1={A:A或A是X的有限子集}.则 (C)=a(C1) 证明由于 CcC co(c1),并且σ(C)是包含C的最小σ-代数,因此 (C)ca(c1).往证相反的包含关系.设A∈C.则A或者A是有限集.若A是有限集 则A∈Ccσ(C).若AC是有限集,则A∈Cca(C).由于G(C)对余运算封闭,因此 A=(A°)∈a(C).这表明Cca(C)因此σ(C)cσ(C)这就证明了σ(C)=σ(C)■ 设C是一个非空集类.若是一个σ-代数并且Cc,则必有a(C)c.这是因 为σ(C)是包含的C的最小的σ-代数.由此得到测度论中常用的一种证明方法如下:设我 们要证明由集类C生成的-代数G(C)中所有的集都具有某种性质P令 ={A:A具有性质P} 然后证明()Cc丌.(i).是一个σ-代数.于是由a(C)的最小性知道a(C)c.即 (C)中所有的集都具有性质P 在上述证明方法中,具有性质P的集可以通俗的称为“好集”,上述证明方法可以称为 好集原理 以下部分不作为课堂讲授内容,必要时仅介绍其主要结果,不讲证明 丌类与类 定义9设C是一个非空集类 (1)称C为丌类,若C对有限交运算封闭 (2)称C为类,若C满足 ().X∈C (i).若A,B∈C并且A=B,则A-B∈C(对包含差运算封闭) i)若{A,}c界并且A,个,则∪A∈C(对单调增加的集列的并运算封闭) 设C是一个非空集类.类似于σ-代数的情形,存在一个包含C的最小类,称之为 由C生成的λ类,记为A(C) 定理10集类丌是σ一代数当且仅当既是丌类又是A类 证明必要性是显然的.往证充分性.因为丌既是丌类又是A类,因此牙对余运算和 有限交运算封闭.于是由 De Morgan公式推出对有限并运算封闭.设{An}是中的
22 算封闭, 因此 A∈ F ′. 若 c A 是至多可数集, 则 ∈c A F ′. 由于F ′ 对余运算封闭, 因此 = ∈ c c A (A ) F ′. 这表明F ′ ⊃ F . 综上所证, F 是包含C 的最小的σ -σ -代数. 因此 σ (C ) = F . ■ 例 8 设 C = {A : A是X的有限子集}, C1 = {A : A或A 是X的有限子集}. c 则 σ (C ) = ( ). σ C1 证 明 由 于 C ⊂C1 ⊂ ( ) σ C1 , 并 且 σ (C ) 是包含 C 的最小 σ - 代 数 , 因 此 σ (C ) ⊂ ( ) σ C1 . 往证相反的包含关系. 设 A∈C1 . 则 A 或者 c A 是有限集. 若 A 是有限集, 则 A∈C ⊂ σ (C ). 若 c A 是有限集, 则 c A ∈C ⊂ σ (C ). 由于σ (C ) 对余运算封闭, 因此 A= ∈ c c (A ) σ (C ). 这表明C1 ⊂ σ (C ).因此 ( ) σ C1 ⊂ σ (C ). 这就证明了σ (C ) = ( ). σ C1 ■ 设C 是一个非空集类. 若F 是一个σ -代数并且C ⊂ F , 则必有σ (C ) ⊂ F . 这是因 为σ (C ) 是包含的C 的最小的σ -代数. 由此得到测度论中常用的一种证明方法如下: 设我 们要证明由集类C 生成的σ − 代数 σ (C ) 中所有的集都具有某种性质 P. 令 F ={A : A具有性质P}. 然后证明(i).C ⊂ F . (ii).F 是一个σ -代数. 于是由σ (C ) 的最小性知道σ (C ) ⊂ F . 即 σ (C ) 中所有的集都具有性质 P. 在上述证明方法中, 具有性质 P 的集可以通俗的称为“好集”, 上述证明方法可以称为 “好集原理”. 以下部分不作为课堂讲授内容, 必要时仅介绍其主要结果, 不讲证明. π 类与λ 类 定义 9 设C 是一个非空集类. (1) 称C 为π 类, 若C 对有限交运算封闭. (2) 称C 为λ 类, 若C 满足 (i). X ∈C . (ii) .若 A, B ∈C 并且 A ⊃ B, 则 A − B ∈C (对包含差运算封闭). (iii) .若{An } ⊂ F 并且 ↑, An 则 ∈C ∞ = ∪ n 1 An (对单调增加的集列的并运算封闭). 设C 是一个非空集类. 类似于σ − 代数的情形, 存在一个包含C 的最小 λ 类, 称之为 由C 生成的λ 类, 记为λ(C ). 定理 10 集类F 是σ − 代数当且仅当F 既是π 类又是λ 类. 证明 必要性是显然的. 往证充分性. 因为F 既是π 类又是 λ 类, 因此F 对余运算和 有限交运算封闭. 于是由 De Morgan 公式推出F 对有限并运算封闭. 设{ } An 是F 中的一
列集。令Bn=UA,n≥1.则{Bn}并且Bn↑,由于丌是类,因此 UA,=UB.∈9.故5对可数并运算封闭所以是一个一代数 定理11设C是一个x类则A(C)=G(C) 推论12若C是一个r类,分是一个类并且Cc分,则σ(C)c界 证明由定理11知道(C)=A(C).即(C)是包含C的最小A类.而是一个包含 C的A类,因此(C)c■ 由推论12我们得到在测度论中另一个常用的证明方法.设C是一个丌类,若我们要证 明σ(C)中所有的集都具有某种性质P.令 ={A:A具有性质P} 然后证明()Cc.(i)是一个类.于是由推论12知a(C)c.即G(C)中所有 的集都具有性质P 小结本节介绍的环,代数和-代数等是测度论中常见的几种集类.它们的运算封闭 性一个比一个强.G-代数是最重要的一种集类.任何一个非空集类C可以生成一个σ-代 数,即σ(C),它是包含C的最小a-代数.利用a(C)的性质,得到测度论中常用的一种证 明方法即所谓“好集原理”,常常可以简化一些定理的证明 习题习题一,第18题一第28题
23 列 集 . 令 , 1. 1 = ≥ = B A n n i n ∪ i 则 {Bn } ⊂ F 并 且 ↑ . Bn 由 于 F 是 λ 类 , 因 此 = ∈ ∞ = ∞ = ∪ ∪ 1 n 1 n n An B F . 故F 对可数并运算封闭. 所以F 是一个σ − 代数.■ 定理 11 设C 是一个π 类. 则λ(C ) = σ (C ). 推论 12 若C 是一个π 类, F 是一个λ 类并且C ⊂ F , 则σ (C ) ⊂ F . 证明 由定理 11 知道σ (C ) = λ(C ). 即σ (C ) 是包含C 的最小λ 类. 而F 是一个包含 C 的λ 类, 因此σ (C ) ⊂ F . ■ 由推论 12 我们得到在测度论中另一个常用的证明方法. 设C 是一个π 类, 若我们要证 明σ (C ) 中所有的集都具有某种性质 P. 令 F ={A : A 具有性质 P}. 然后证明(i) C ⊂ F . (ii) F 是一个λ 类. 于是由推论 12 知σ (C ) ⊂ F . 即σ (C ) 中所有 的集都具有性质 P. 小 结 本节介绍的环, 代数和σ -代数等是测度论中常见的几种集类. 它们的运算封闭 性一个比一个强. σ -代数是最重要的一种集类. 任何一个非空集类C 可以生成一个σ -代 数, 即σ (C ) , 它是包含C 的最小σ -代数. 利用σ (C ) 的性质, 得到测度论中常用的一种证 明方法即所谓“好集原理”, 常常可以简化一些定理的证明. 习 题 习题一, 第 18 题—第 28 题