§6.5广义积分 前面讨论的定积分不仅要求积分区间[a,b有限,而且 还要求被积函数f(x)在[a,b上有界.然而实际还经常遇到 无限区间或无界函数的积分问题.这两类积分统称为广义 积分.其中前者称为无穷积分,后者称为瑕积分 对于广义积分的计算是以极限为工具来解决的,即先 将广义积分转化为定积分,再对该定积分求极限 一无穷积分 形如∫f(x)(对和∫/(x)的积分统称为无穷积分
1 §6.5 广义积分 前面讨论的定积分不仅要求积分区间[a, b]有限, 而且 还要求被积函数ƒ(x)在[a , b]上有界. 然而实际还经常遇到 无限区间或无界函数的积分问题. 这两类积分统称为广义 积分. 其中前者称为无穷积分, 后者称为瑕积分. 对于广义积分的计算是以极限为工具来解决的, 即先 将广义积分转化为定积分, 再对该定积分求极限. 一.无穷积分 形如 ( ) , ( ) ( ) b a f x dx f x dx f x dx + + − − 和 的积分,统称为无穷积分
米定义2设x)在+∞)上连续,且当b>a时,若极限 m(xk存在,则称无穷积分f(x)hx收敛,否则 就称无穷积分∫(x)女发散此时记号J(x 不再表示数值了,无穷积分没有意义 注1若∫”/(x)收敛,则有”/()=m(存在 注2类似地可定义」f(x)dx= lim,f(x)de(a<b 而f(xk=」f(x)+f(x)d(vee(一+x) 则只有无穷积分f(x)和x)k同时收敛时,才有 ∫f(x)收敛
2 不再表示数值了, 无穷积分没有意义. lim ( ) b b a f x dx →+ ( ) a f x dx + ( ) a f x dx + ( ) a f x dx + 定义2 设ƒ(x)在[a, +∞)上连续, 且当 b>a 时, 若极限 收敛; 否则, 发散. 存在, 则称无穷积分 就称无穷积分 此时记号 注1 若 注2 类似地可定义 ( ) lim ( ) ( ). b b a a f x dx f x dx a b − →− = ( ) ( ) ( ) ( ( , )) c c f x dx f x dx f x dx c + + − − 而 = + − + 则只有无穷积分 ( ) ( ) c c f x dx f x dx + − 和 同时收敛时, 才有 收敛. f x dx ( ) + − ( ) ( ) lim ( ) . b a a a b f x dx f x dx f x dx + + →+ = 收敛, 则有 存在
dx 7计算广义积分(1) ∞1+x +0 dx dx dx 解 1+ 1+ 1+ 而 dx -o1 a→-Ja1+x lim arctan x lim arctan a= 同理/ar lim +x2b)+00Jo1+x lim [arctan x]= lim arctan b b→+00 →+00 故∫ dx丌 1+x222
3 例17 计算广义积分 2 (1) 1 dx x + − + 0 2 2 2 1 1 1 0 dx dx dx x x x + + − − = + + + + 解 0 0 2 2 lim 1 1 a a dx dx x x − →− = + + 而 2 2 0 0 lim 1 1 b b dx dx x x + →+ = + + 同理 0 lim [arctan ] a x →− a = lim arctan ( ) a 2 2 a →− = − = − − = lim[arctan ] lim arctan b b 0 2 b x b →+ →+ = = = 2 1 2 2 dx x + − = + = + 故
o te dt(p>O 解| te dt=li d t a 0 b→+0J0 lim tde p b→+∞J0 lim[-te p o+ dt lim -e- lim b→+0 lim e-bp-lim b→》+∞ b→)+∞ lim -e op+ b→>+∞ b -=lim b 而lim=e )=lil 0 b→>+obe b→+∞ bp 故∫"d
4 0 0 b lim b pt pt te dt te dt + − − →+ = 解 b 0 1 lim b pt tde p − →+ = − b 0 1 lim[ 0 b pt pt b te e dt p − − →+ = − + 2 b b 1 lim lim 0 bp pt b b e e p p − − →+ →+ = − − 2 2 b b 1 1 lim lim b bp pb e e p p p − − →+ →+ = − − + 2 b 1 lim b bp e p p − →+ = − + 2 b b b 1 lim lim (" ") lim 0 bp bp bp b b e p pe p e − →+ →+ →+ = = = 而 2 0 1 pt te dt p + − = 故 0 (2) ( 0) pt te dt p + −
oo dx 例18讨论无穷积分 (a>0)的敛散性 解 1时 ∞dxc+odx简记为 而当p≠1时, +∞,p<1 P 重要结论: dx P 收敛 当p≤1时 发散
5 例18 讨论无穷积分 ( 0) . p a dx a x + 的敛散性 解 当 p =1时, ln . x a + = = + 简记为 而当p ≠ 1时, 1 1 p p a dx x x p a − + + = − 当p > 1时, p a dx x + p a dx x + 重要结论: 收敛; 当p ≤ 1时, 发散. p a a dx dx x x + + = 1 , 1 , 1 1 p p a p p − + = −
瑕积分 若f(x)在[a,b上有无界点(即无穷间断点),则称积分 (xt为瑕积分,并称f(x)无界点为瑕点 定义2设fx)在(a,b上连续,且mf(x)=,若对于任给的 e>0,总有极限lmf(x)d存在,则称瑕积分∫f(x)b 收敛,否则,称瑕积分J(x)发散此时的瑕积分 f(x)d不再表示数值了,从而没有意义 注3若瑕点为n的积分/(x)收的则 If(r)dx=lim f(x)dx E→0Ja+E 存在
6 若ƒ(x)在[a, b]上有无界点(即无穷间断点), 则称积分 ( ) b a f x dx 二.瑕积分 为瑕积分, 并称ƒ(x)的无界点为瑕点. lim ( ) , x a f x → + = 0 lim ( ) , b a f x dx + → + 存在 ( ) b a f x dx ( ) . b a f x dx 发散 注3 若瑕点为a 的积分 ( ) b a f x dx 0 ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx + → + = ( ) b a f x dx 定义2 设ƒ(x)在(a, b]上连续, 且 则称瑕积分 不再表示数值了, 从而没有意义. ε>0, 总有极限 若对于任给的 存在. 收敛; 否则, 称瑕积分 此时的瑕积分 收敛, 则
注4类似地可定义瑕点在积分区间的右端点b和内点 c(a0+Ja E2→0Jc+E2 例19计算瑕积分 解因lim x→a dx dx m E→>0
7 注4 类似地可定义瑕点在积分区间的右端点b和内点 ( ) b a f x dx 0 ( ) lim ( ) . b b a a f x dx f x dx + − → = (1)若瑕点为b, 则定义 (2)若瑕点为c(a<c<b), 则定义 1 1 2 0 0 2 ( ) lim ( ) lim ( ) . b c b a a c f x dx f x dx f x dx + + − → → + = + c(a<c<b)时, 瑕积分 的敛散性, 即 例19 计算瑕积分 0 2 2 (1) ( 0) a dx a a x − 2 2 1 lim x a a x → − = + − 解 因 0 0 2 2 2 2 0 lim a a dx dx a x a x + − → = − − 则
im arcsin e m arcsin& arcsin l E→ 解因=而/ o dx,r 则 um E→0 则瑕积分 发散从而「发散 例20讨论瑕积分 的敛散性 x-a
8 2 0 1 lim , x→ x 解 因 = 0 2 2 1 1 0 lim dx dx x x + − − − → = 则 0 1 2 2 1 1 , . dx dx x x − − 则瑕积分 发散 从而 发散 1 0 1 2 2 2 1 1 0 dx dx dx x x x − − = + 而 0 1 lim( ) x 1 → + − = − = + − 例20 讨论瑕积分 ( ) b p a dx x a − 1 2 1 1 (2) dx x − 的敛散性 . 0 lim arcsin 0 x a a → + − = 0 lim arcsin arcsin1 . 2 a a → + − = = =
因x=a为瑕点,而当p=1时 X-a b Im (x-a)p Ja(x-a) lin m Inx-a 0 a+E 而当p≠1时 x-a b =lim (x-a E→0Ja+(x-a E→0 p a+a b-a)° (b-a) P E→0 P P P 重要结论 当p<1时, x-a 收敛;当p1时 ay2发散
9 而当p ≠ 1时, 0 ( ) lim ( ) ( ) b b p p a a dx d x a x a x a + → + − = − − 重要结论: ( ) b p a dx x a − ( ) b p a dx x a − 1 0 ( ) lim 1 p x a b p a + − → − = − + 1 1 0 ( ) lim[ ] 1 1 p p b a p p + − − → − = − − − 当 p≥1时, 发散. 当 p<1时, 收敛; 解 因x = a为瑕点, 而当 p = 1时, ( ) ( ) b b p a a dx dx x a x a = − − 0 ( ) lim ( ) b a d x a x a + → + − = − 0 lim ln ; b x a a → + = − = + + 1 ( ) , 1 1 , 1 p b a p p p − − = − +
两个重要的广义积分 下面介绍两个在数学、物理等许多领域中都有广泛应用的 特殊积分—函数和β函数,这两个函数也称为欧拉积分 1.T函数 定义4参变量的函数I(s)=「xe'tx(>0)称为r函数 注5当s>0时,定义4中的广义积分收敛(证明略) 注6I(s)=「xc不仅是个无穷积分,而且当<时 也是一个瑕点为x=0)瑕积分 注7在定义4中若令x=12,则有『函数的另一形式: o2s-1
10 下面介绍两个在数学、物理等许多领域中都有广泛应用的 特殊积分—Γ函数和β函数, 这两个函数也称为欧拉积分. 三.两个重要的广义积分 1. Γ函数 定义4 参变量s的函数 注6 s x 1 s x e dx + − − = 0 ( ) 注7 在定义4中,若令 2 x t = , 2 2 1 0 ( ) 2 s t s t e dt + − − = 1 0 ( ) ( 0) s x s x e dx s + − − = 注5 当s > 0时, 定义4中的广义积分收敛.(证明略) 也是一个(瑕点为x = 0)瑕积分. 称为Γ函数. 不仅是个无穷积分, 而且当s <1时 则有Γ函数的另一形式: