§7.4幂级数 在函数项级数中,有一类十分特殊的级数,它的每一 项都是x的幂函数,即un=a,x"(n∈N).我们称这种函数 项级数为幂级数 幂级数的概念 定义4形如∑anx”=a+a1x+…+an 与∑a1(x-x)=a+a1(x-x)+…+a1(x-xn)”+…(2) 的级数,分别称为x幂级数与(x-x)的幂级数其中 an,a1,…,an,…称为幂级数的系数
1 在函数项级数中, 有一类十分特殊的级数, 它的每一 项都是 x 的幂函数, 即 ( ) . n u a x n N n n = 一.幂级数的概念 0 1 0 (1) n n n n n a x a a x a x = 形如 = + + + + 0 0 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) (2) n n n n n a x x a a x x a x x = 与 − = + − + + − + §7.4 幂级数 定义4 的级数, 分别称为 0 1 , , , , n a a a 称为幂级数的系数. 项级数为幂级数. 我们称这种函数 x的幂级数与(x - x0 )的幂级数. 其中
注1因经变换后,幂级数(1与(2)可相互转化,故下面 主要讨论形式(1)的幂级数 同常数项级数相类似,有如下定义: 称函数Sn=∑a1x为幂级数∑nx“的部分和 H=0 并称函数R=∑ax为幂级数∑anx"的余项 k=n+1 注2对于任何幂级数∑anx",在(-,+∞任取一点x, 均可得一个常数项级数 ∑ n anto =ao tarot.tanto t
2 注1 因经变换后, 幂级数(1)与(2)可相互转化, 故下面 主要讨论形式(1)的幂级数. 同常数项级数相类似, 有如下定义: 0 n n n a x = 的部分和; 0 n k n k k S a x = 称函数 = 为幂级数 0 n n n a x = 的余项. 1 k n k k n R a x = + 并称函数 = 为幂级数 0 0 , ( , ) , n n n a x x = 注2 对于任何幂级数 在 内任取一点 − + 均可得一个常数项级数 0 0 1 0 0 0 n n n n n a x a a x a x = = + + + +
定义4若幂级数∑anx"收敛,则称x0为幂级数(1)的 n=0 收敛点若幂级数∑ax发散,则称x为幂级数(1) 的发散点在幂级数∑anx中,称全部收敛点构成的集 合为幂级数(1)的收敛区域称全部发散点构成的集合为 幂级数发散区域 注3对于任何幂级数在其收敛域内任取一点均可得一 个收敛的数项级数从而有一个确定的和.故在幂级数的 收敛域上,幂级数的和是一个关于x的函数,这个函数称 为幂级数的和函数,并记为S(x) 甲S(x)=∑
3 定义4 若幂级数 0 0 n n n a x = 收敛, 则称 x0 为幂级数(1)的 若幂级数 0 0 n n n a x = 发散, 则称 x0 为幂级数(1) 在幂级数 0 中, 称全部收敛点构成的集 0 n n n a x = 合为幂级数(1)的收敛区域. 幂级数发散区域. 为幂级数的和函数.并记为 S x( ). 收敛点. 的发散点. 称全部发散点构成的集合为 注3 对于任何幂级数在其收敛域内任取一点,均可得一 个收敛的数项级数,从而有一个确定的和. 故在幂级数的 收敛域上,幂级数的和是一个 关于x 的函数, 这个函数称 0 ( ) . n n n S x a x = 即 =
注4若幂级数∑ax"的收敛域为D则对收敛域中任意 的x,恒有ImSn(x)=S(x) n→0 注5怎样确定幂级数∑q的收敛域呢? 若幂级数满足ma 且li l/) n→0 n→ 则由比值判别法有 (1)若x1即x>(≠0,∑ax发散
4 的收敛域为D,则对收敛域中任意 0 n n n a x = lim ( ) ( ). n n S x S x → = 注5 怎样确定幂级数 的收敛域呢? 0 n n n a x = 1 lim n n n a l a + → 若幂级数 满足 = 0 n n n a x = 1 1 1 ( ) lim lim , ( ) n n n n n n n n u x a x l x u x a x + + + → → 且 = = 则由比值判别法有 0 1 (1) 1 ( 0), n n n l x x l a x l = 若 即 则绝对收敛; 0 1 (2) 1 ( 0), n n n l x x l a x l = 若 即 发散; 注4 若幂级数 的x, 恒有
3若=即x=(≠0,∑ax”敛散性待定 则幂级数∑q的收敛区域为x</即 n=0 即是一个以原点为中心,以长为半径且有可能 包含端点±的区域 发散敛散待定 绝对收做散待定发微
5 0 1 (3) 1 ( 0), n n n l x x l a x l = 若 即= = 敛散性待定. 1 1 1 x ( , ) l l l − 即 1 l 则幂级数 的收敛区域为 0 n n n a x = 长为半径且有可能 1 l 0 ο ο 1 l − 1 l 绝对收敛 发散 敛散待定 敛散待定 发散 x 即是一个以原点为中心, 以 包含端点 的区域
定义5称区间( 为幂级数∑anx"的收敛区间, 称数为幂级数∑ax的收敛半径,记为R.则有 R lim n→0 n+1 注6求幂级数∑的收敛域的步骤是: H=0 ()求出收敛半径R==lm“n, n→∞ 得收敛区间为(-R,R
6 定义5 称区间 1 l 0 n n n a x = 1 1 ( , ) l l − 0 n n n a x = 1 1 lim n n n a R l a → + = = 为幂级数 的收敛区间, 称数 为幂级数 的收敛半径，记为R . 则有 1 1 lim , n n n a R l a → + = = 注6 求幂级数 的收敛域的步骤是: 0 n n n a x = (1)求出收敛半径 得收敛区间为(-R,R)
(2)判断x=R时幂级数∑aR和∑(-R)的敛散性 (3)写出幂级数∑的收敛区域 注7(当R=0时幂级数∑X"只在x=0收敛 nE (2)当R=+时幂级数∑ax"对于一切均收敛, 此时收敛区间为(-on+∞) (3)幂级数∑。收敛半径满足0≤R<+ n=0
7 (2)判断x =±R时,幂级数 和 0 n n n a R = 0 ( )n n n a R = − (3)写出幂级数 的收敛区域. 0 n n n a x = 注7 (1)当R=0时,幂级数 0 n n n a x = (2)当R= +∞时,幂级数 0 n n n a x = (3)幂级数 的收敛半径满足 0 n n n a x = 的敛散性; 只在x = 0收敛. 此时收敛区间为(-∞,+∞). 对于一切x均收敛, 0≤R<+∞
例17求下列幂级数的收敛半径及收敛域 (1)∑C(-1 1y+m3 解(1)因l=lim li n→>∞a n→ (n+1)3 lir 1→R n→、(n+ 下面考察x=±1时幂级数(1)的敛散性 当x=1时,幂级数(1)变为 是绝对收敛的 当x=-1时,幂级数(1)变为 是收敛的; 故原级数收敛域为[-1,1]
8 例17 求下列幂级数的收敛半径及收敛域: 3 1 (1) ( 1) n n n x n = − 1 (1) lim n n n a l a + → 解 因 = = 1 R 1 l = = 下面考察x=±1时幂级数(1)的敛散性: 3 1 ( 1)n n n = − 当x=1时,幂级数(1)变为 3 1 1 n n = 当x=-1时,幂级数(1)变为 故原级数收敛域为[﹣1,1]. 1 3 3 ( 1) lim ( 1) ( 1) n n n n n + → − + − 3 3 lim 1 ( 1) n n n → = = + 是绝对收敛的; 是收敛的;
(2 (3) (n+1) H+1 解(2)因R=im lim =1im(n+1X1+4y=+ n∞a n→0 n→ n n+1 故原级数收敛域为(-∞,+∞) 第(3题请同学们课后做.R=2收敛域[-2,2) 注8我们所说的“求幂级数的收敛半径及收敛区域”都 标准幂级数∑ax"=an+a1x+…+anx+…而言的但形 H=0 如∑an(x-xn)",∑anx2",∑anx2非标准幂级数,却不能 直接用上述方法求收敛半径和收敛区间而只能是采用如 下步骤求收敛半径和收敛区城
9 1 (2) lim n n n a R → a + 解 因 = = 故原级数收敛域为(﹣∞,﹢∞). 注8 我们所说的“求幂级数的收敛半径及收敛区域”都 是 0 1 0 n n n n n a x a a x a x = = + + + + 2 2 1 0 0 0 0 ( ) , , nnn n n n n n n a x x a x a x + = = = 如 − 1 1 1 (2) (3) ( ) 2 n n n n n x x n n = = 1 lim( 1)(1 )n n n → n + + = + 1 ( 1) lim n n n n n + → + = 对标准幂级数 而言的;但形 非标准幂级数, 下步骤求收敛半径和收敛区域: 直接用上述方法求收敛半径和收敛区间, 却不能 而只能是采用如 第(3)题请同学们课后做. R=2,收敛域[-2,2)
第一步:用变量代換把它们化为标准幂级数∑ax; 如令变量代换t=x-x,或t=x2 第二步:求变换后的新的标准幂级数的收敛半径及 收敛区间 第三步:将新的标准幂级数的收敛半径和收敛端点 回代到变量代换中去,求出原级数的收敛区域 或正项级数的判断方法去判断∑u1(x)
10 第一步:用变量代换把它们化为标准幂级数 0 ; n n n a x = 如令变量代换 2 0 t x x t x = − = , . 或 第二步:求变换后的新的标准幂级数的收敛半径及 收敛区间; 第三步:将新的标准幂级数的收敛半径和收敛端点 回代到变量代换中去, 求出原级数的收敛区域. 或正项级数的判断方法去判断 0 ( ) n n u x =