第八章多元函数的微分法及其应用 §8.1预备知识 §8.2多元函教的概念 §8.3偏导教 §84全微分及其应用 §85多元复合函数的傲分法 §8.6隐函数的微分油 §88二元函数的极值与最值
1 §8.1 预备知识 §8.2 多元函数的概念 §8.3 偏导数 §8.4 全微分及其应用 §8.5 多元复合函数的微分法 §8.6 隐函数的微分法 §8.8 二元函数的极值与最值 第八章 多元函数的微分法及其应用 z f x y = ( , )
第八章多元函数的微分法及其应用 下面在一元函数微分法的基础上,来研究多元函数 的微分法.因从一元函数到二元函数将会面临一些新问 题,而从二元函数到二元以上的多元函数,可完全类推; 故下面主要研究二元 函数的微分法及其应用 要研究多元函数, 需首先介绍一些空间 解析几何知识 现就必备知识作 简单介绍
2 z b x y O a c 第八章 多元函数的微分法及其应用 下面在一元函数微分法的基础上, 来研究多元函数 的微分法. 因从一元函数到二元函数将会面临一些新问 题, 而从二元函数到二元以上的多元函数, 可完全类推; 需首先介绍一些空间 故下面主要研究二元 要研究多元函数, 现就必备知识作 解析几何知识. 简单介绍. 函数的微分法及其应用
§8.1预备知识 空间解析几何简介 要求大家了解空间解析几何的初步知识下面仅简 要地介绍有关解空间解析几何的一些基本概念 1空间直角坐标系及空间中的点与坐标 过空间中的一个定点O,作三条相互垂直的直线0x、0y Oz.再规定一个长度单位和按照右手螺旋法则去确定 Ox、Oy、Oz的正方向,就构成 个空间直角坐标系,并记为 oxyz O123 其几何直观,如图
3 §8.1预备知识 要求大家了解空间解析几何的初步知识.下面仅简 要地介绍有关解空间解析几何的一些基本概念. 1.空间直角坐标系及空间中的点与坐标 一. 空间解析几何简介 其几何直观, 如图: ox oy oz 、 、 oz. oxyz 过空间中的一个定点O, 作三条相互垂直的直线 再规定一个长度单位和按照右手螺旋法则去确定 的正方向, 就构成 一个空间直角坐标系, 并记为 O 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x y z ox oy 、
在空间直角坐标系Oxz中,点O 称为坐标原点;Ox、oy及Oz 分别称为x轴(横轴)、y轴(纵轴)及 轴(竖轴),并统称为坐标轴 任意两条坐标轴构成的平面称为坐标面,分别简称为 xy平面、y平面及zx平坐标面;且它们将空间分割成 八个部分,称每一个部分为一个卦限
4 oxyz ox oy oz 、 及 O 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x y 在空间直角坐标系 中 z , 点O 称为坐标原点; 分别称为x轴(横轴) 、y轴(纵轴)及 z轴(竖轴), 并统称为坐标轴. 任意两条坐标轴构成的平面称为坐标面, 分别简称为 xy平面、yz平面及 zx平坐标面; 且它们将空间分割成 八个部分, 称每一个部分为一个卦限
把含三个坐标轴正方向的那个卦限为第一卦限如图 在x坐标平面的上部,依次称为第I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限. 在x坐标平面的下部与第一卦限相对应的称为第V卦限; 以后依次称为第Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限
5 x y z Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ 以后依次称为第Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限. 把含三个坐标轴正方向的那个卦限为第一卦限.如图: 在xy坐标平面的上部, 依次称为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限. 在xy坐标平面的下部与第一卦限相对应的称为第Ⅴ卦限;
在建立了空间直角坐标系后,就可以建立空间的点 与有序数组(x,yz)之间的对应关系 对于空间中的任意点M,过点M作三个平面分别垂直于 条坐标轴.且与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、 R(如图) P、Q、R三点在三个坐标轴上 的坐标依次为x、y、z; 这样空间的点M就唯一确 定了一个三元有序数组 (x,y, 2)
6 对于空间中的任意点M, 过点M作三个平面分别垂直于 的坐标依次为x、y、z; z O y x P Q R M x y z 在建立了空间直角坐标系后，就可以建立空间的点 与有序数组(x, y, z)之间的对应关系. 三条坐标轴. 且与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、 R.(如图) P、Q、R三点在三个坐标轴上 定了一个三元有序数组 这样空间的点M就唯一确 (x, y, z)
并把有序数组(x,yz)称为点M的空间直角坐标,并依次 把x、y、z称为点M的横坐标 纵坐标及竖坐标,记为M(x,y,z 反之,对于任给的三元有序 数组(x,y,),可依次在x轴、y 轴、z轴上分别找出坐标为x y、z的三点P、Q、R, 然后过此三点作是三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴, 这三个平面的交点M,就是以数组(x,yz)为坐标的点 这样空间任一点M和一个三元有序数组(x,yz建立了 对应关系
7 把x、y、z称为点M的横坐标 、 纵坐标及竖坐标, 记为M (x, y, z). 反之, 对于任给的三元有序 数组(x, y, z), 可依次在 x 轴、y 轴、z轴上分别找出坐标为 z y O x P Q R M x y z 这样空间任一点M和一个三元有序数组(x, y, z)建立了 并把有序数组(x, y, z) 称为点M的空间直角坐标,并依次 这三个平面的交点M， 就是以数组(x, y, z)为坐标的点. x、 y、z 的三点P、Q、R， 然后过此三点作是三个平面分别垂直于 x轴、y轴、z轴， 一一对应关系
由以上规定知道: 坐标原点O的坐标为(0,0,0) x轴上点的坐标为(x,0,0) y轴上点的坐标为(0,y,0) z轴上点的坐标为(0,0,z) x面上点的坐标为(x,y,0) y面上点的坐标为(0.y,z) x面上点的坐标为(x,0,z) 出战往出
8 x y z yz面上点的坐标为(0, y, z) x轴上点的坐标为(x , 0, 0) y轴上点的坐标为(0, y, 0) z轴上点的坐标为(0, 0, z) xy面上点的坐标为(x, y, 0) xz面上点的坐标为(x, 0, z) 由以上规定知道: 坐标原点O的坐标为(0, 0, 0)
二空间任意两点间的距离 给定空间两点M1(x,y12=1)与M2(x2y2=2),可证明 这两点间的距离d为 d=M2|=V(x2-x)2+(2-y)2+(=2-=)2 这与平面解几中两点间的距离公式是一样的 过M1M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面
9 二.空间任意两点间的距离 1 1 1 1 M x y z ( , , )与 2 2 2 2 M x y z ( , , )， 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 d M M x x y y z z = = − + − + − ( ) ( ) ( ) . 给定空间两点 这两点间的距离d为 可证明 这与平面解几中两点间的距离公式是一样的. 过 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面. 1 2 M M
六个平面围成一个以M1M2为对角线的长方体; (如图) 向x面投影,并设点M1M2 在xy面的垂足各为m,m2 ■■■■ JM, M2=M M3+M2M3=m,m I+M2M3
10 z y O x 1 x 2 x 1 y 2 y M1 M2 M3 d m1 m3 向 xy面投影,并设点 M M1 2 1 2 M M, 1 3 m m, . 2 2 = + m m M M 1 3 2 3 2 2 2 则 M M M M M M 1 2 1 3 2 3 = + 这六个平面围成一个以 为对角线的长方体; (如图) 在xy面的垂足各为