§8.2多元函数概念 前几章讨论的函数y=f(x)是因变量与一个自变量 之间的关系,在此关系中,因变量的值只依赖于一个自 变量,称这类函数为一元函数但在许多实际问题中往 往需要研究因变量与几个自变量之间的关系,这时因 变量的值依赖于几个自变量. 例某种商品的市场需求量Q不仅与市场价格p有关, 而且与消费者平均收入以及需要这种商品的人数N有关, 而且还与这种商品的其他代用品的价格等因素有关;从 而决定该商品需求量的自变量不只一个而是多个 这就需要研究多元函数的概念
1 §8.2 多元函数概念 前几章讨论的函数y=ƒ(x), 是因变量与一个自变量 变量，称这类函数为一元函数. 之间的关系, 在此关系中, 因变量的值只依赖于一个自 往需要研究因变量与几个自变量之间的关系， 这时因 但在许多实际问题中往 变量的值依赖于几个自变量. 而且与消费者平均收入以及需要这种商品的人数N有关, 而决定该商品需求量的自变量不只一个而是多个. 例 某种商品的市场需求量Q不仅与市场价格p有关， 而且还与这种商品的其他代用品的价格等因素有关；从 这就需要研究多元函数的概念
定义3设D为一个非空的n元有序数组(x,x2,…,x)的集 合,对于每一个有序数组(x1,x2,…x)∈D,依某一法则f, 都有唯一确定的实数y与之对应,则称此法则∫为定义在 D上的n元函数记为 y=f(x12x2…xn)(x1,x2…xn)∈D 称变量(x1,x2…,x)为自变量,变量y为因变量 也称因变量y为自变量(x1,x2,…x)的函数; 集合D为该函数的定义域 定义域是自变量的取值范围,常记为D(f) 特别地:当n=1时为一元函数y=f(x),x∈D; 当n=2时为二元函数z=f(x,y),(xy)∈D
2 1 2 ( , , , ) , n x x x D 1 2 ( , , , ) n y f x x x = 1 2 ( , , , ) n x x x 1 2 ( , , , ) n x x x 都有唯一确定的实数y与之对应, 则称此法则ƒ为定义在 定义域是自变量的取值范围, 常记为D(ƒ). 1 2 ( , , , ) n 定义3 设D为一个非空的n元有序数组 x x x 的集 合,对于每一个有序数组 依某一法则ƒ, D上的n元函数,记为 1 2 ( , , , ) n x x x D 称变量 为自变量, 变量y为因变量. 也称因变量y为自变量 的函数; 集合D为该函数的定义域. 特别地: 当n=1时为一元函数y=ƒ(x) , x∈D; 当n=2时为二元函数z=ƒ(x,y) , (x,y)∈D
二元及二元以上的函数统称为多元函数 本章主要讨论二元函数 二元函数 1.二元函数的定义域 决定一个二元函数的要素 个是对应法则,一个是定义域,而与两个自变量和因变 量采用什么字母无关 元函数z=f(xy)定义域是指使表达式f(xy)有意义的 所有有序数组(xy)构成的集合 特别地,对于区域D上的二元函数z=f(xy),若对于实数 r∈R,有(tx,)∈D且f(,y)=tmf(x2y)m为常数),则称 f(xy)为m次齐次函数.当m=0时,则称f(xy)为0次齐次 函数,简称齐次函数
3 本章主要讨论二元函数. 一.二元函数 一个是对应法则, 一个是定义域, 而与两个自变量和因变 量采用什么字母无关. 二元函数z=ƒ(x,y)的定义域是指使表达式ƒ(x,y)有意义的 所有有序数组(x,y) 构成的集合. 1.二元函数的定义域 二元及二元以上的函数统称为多元函数. 决定一个二元函数的要素: t∈R,有(tx,ty)∈D且 ( , ) ( , ) m f tx ty t f x y = 特别地, 对于区域D上的二元函数z=ƒ(x,y), 若对于实数 (m为常数), 则称 ƒ(x,y) 为m次齐次函数. 当m=0时, 则称ƒ(x,y) 为0次齐次 函数, 简称齐次函数
例f(x,y)=x2+y2为二次齐次函数,f(x,y) x + y 为0次齐次函数 例5求下列函数的定义域: R (3)z=In(r 解(1)要使函数有意义, 则x2须满足:x20, 即定义域为坐标平面上第I 第Ⅲ象限(包括坐标轴)的区域 用集合表示为D={(xy)x20}(如图)
4 为 次齐次函数 0 . 例5 求下列函数的定义域： 2 2 2 2 2 2 (1) ; (2) ; (3) ln( ). z xy z R x y z R x y = = − − = − − 2 2 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) x y f x y x y f x y x y + = + = − 例 为二次齐次函数 则x,y须满足：xy≥0, x y O 即定义域为坐标平面上第Ⅰ、 第Ⅲ象限(包括坐标轴)的区域. 解 (1) 要使函数有意义, 用集合表示为 D={(x,y)∣xy≥0}.(如图)
(2) 要使函数有意义,则x须满足:R2-x2-y2≥0 即定义域为x面上由圆x2+y2=R2所围成的平面区域, 包括圆周在内(如图) 用集合表示为D={(,y)x2+y2≤R2
5 即定义域为xy面上由圆 2 2 2 R x y − − 0 2 2 2 x y R + = 2 2 2 D x y x y R = + {( , ) } x y o -R R -R R 2 2 2 (2) ; z R x y = − − 要使函数有意义, 则x,y须满足: 包括圆周在内. (如图) 用集合表示为 所围成的平面区域
(3)z=ln(R2-x2-y2) 要使函数有意义,则x须满足:R2-x2-y2>0 即定义域为面上由圆x2+y2=R2所围成的平面区 区域但不包括圆周在内.(如图) 用集合表示为:D=(x,y)x2+y2<R
6 要使函数有意义, 则x,y须满足: 2 2 2 R x y − − 0 2 2 2 x y R + = 2 2 2 D x y x y R = + {( , ) }. x y o -R R -R R 2 2 2 (3) ln( ). z R x y = − − 即定义域为xy面上由圆 区域,但不包括圆周在内. (如图) 所围成的平面区 用集合表示为:
例6设Z表示居民人均消费收入,y表示国民收入总额, N表示总人口数,则有Z=S 其中S1是消费率 N (国民收入总额中用于消费所占的比例)S2是居民消 费率(消费总额中用于居民消费所占的比例)在这个关 系式中,对每一有序数组(YM(Y>0,N>0),总有唯一确定 的Z与之对应因而Z=f(Y,N)=SS2Y/N是以Y、N 为自变量,Z为因变量的二元函数其定义域为 D(={(yN)|Y0,N>0 该函数关系反映了一个国家中居民人均消费收入依赖 于国民收入总额和总人口数
7 例6 设Z表示居民人均消费收入,Y 表示国民收入总额, N 表示总人口数, 则有 1 2 . Y Z S S N = 1 S 2 S 1 2 Z f Y N S S Y N = = ( , ) (国民收入总额中用于消费所占的比例), 其中 是消费率 费率(消费总额中用于居民消费所占的比例); 在这个关 是居民消 系式中, 对每一有序数组(Y,N)(Y>0,N>0),总有唯一确定 的Z与之对应.因而 为自变量, Z为因变量的二元函数,其定义域为 D(ƒ)={(Y,N)∣Y>0,N>0} 是以Y、N 该函数关系反映了一个国家中居民人均消费收入依赖 于国民收入总额和总人口数
2.二元函数的几何意义 二元函数x=∫(x)的定义域是 M0(xNy,=0) ··· x平面上的一个区域D, 对于D内任意一点(x,y 必有唯一确定的值 D 二0=f(x0,y) 与之对应从而确定了空间的一个点M(x0,y2a 当自变量x,y遍取D内所有点(x2y)时,M(xy,)在空间的 轨迹就是一张曲面,此曲面就是二元函数=f(xy)的图 形.(如图) 如§8.1的例4(第15-23章幻灯片)
8 二元函数z=ƒ(x,y)的定义域是 0 0 ( , ), x y 0 0 0 z f x y = ( , ) z y O x 0 0 0 0 M x y z ( , , ) 0 0 ( , ) x y D 0 x 0 y 0 z 如§8.1的例4 (第15-23章幻灯片). 2. 二元函数的几何意义 当自变量x,y遍取D内所有点(x,y)时, M(x,y,z) 在空间的 xy平面上的一个区域D, 对于D内任意一点 必有唯一确定的值 与之对应,从而确定了空间的一个点 0 0 0 0 M x y z ( , , ). 轨迹就是一张曲面, 此曲面就是二元函数z=ƒ(x,y)的图 形. (如图)
.二元函数的极限 直观描述 定义4设函数=(xy在P(xn2y)的附近有定义(在点 B处函数可无定义) 如果动点P(x,y沿任意 路径趋于定点B(xy)时, 即当P与P的距离p=√(x-x)2+(y-y)2→0时 f(xy)总是趋于一个常数A,则称A为函数f(x,y)在点 B(xyb)处的极限,或称当(x3y)趙于(xy)时,f(x,y) 以A为极限,记为limf(x,y)=A或limf(x,y)=A y->yo
9 1.直观描述 定义4 设函数z=ƒ(x,y)在 P x y 0 0 0 ( , ) 的附近有定义(在点 P0 0 0 0 P x y ( , ) P0 2 2 0 0 = − + − → ( ) ( ) 0 , x x y y 时 0 0 0 P x y ( , ) 0 0 ( , ) x y 二. 二元函数的极限 如果动点P(x,y)沿任意 处函数可无定义) ， 时， ƒ(x,y)总是趋于一个常数A,则称A为函数ƒ(x,y)在点 或称当(x,y)趋于 时， x y O . 0 0 ( , ) x y 路径趋于定点 即当P与 的距离 以A为极限，记为 ƒ(x,y) 0 0 lim ( ) x x y y f x, y A → → = 0 0 ( , ) ( , ) lim ( ) x y x y f x, y A → 或 = 处的极限
或limf(x,y)=A或lmf(P)=A 注2若动点P以某一特殊方式(沿某特殊直线或曲线)趋于 定点P时,f(P)无限接近A,还不能肯定mf(P)存在; 但当动点P以不同方式或不同路径趋于时,f(P)趋于 不同值,则一定有limf(P)不存在 P→>B0 例8已知f(x,y) x2+y2≠0 +3 讨论limf(x,y)是否存在? y)>(0,0)
10 0 lim ( ) f x, y A → 或 = 0 lim ( ) . P P f P A → 或 = 注2 若动点P以某一特殊方式(沿某特殊直线或曲线)趋于 P0 0 lim ( ) P P f P → P0 0 lim ( ) P P f P → 不存在. 定点 时，ƒ(P)无限接近A， 但当动点P以不同方式或不同路径趋于 时，ƒ(P)趋于 不同值，则一定有 ( , ) (0 0) lim ( ) x y f x, y → ， 讨论 是否存在？ 2 2 2 4 2 2 2 0 8 ( ) , 3 0 0 x y x y f x, y x y x y + = + + = 例 已知 还不能肯定 存在；