中值定理与导数 的应用 习题课
习题课 中值定理与导数 的应用
、主要内容 洛必达法则 0,1°,∞0型 auchy 令y 中值定理「∞-o型 型 0 取对数 1g-1/ 0·∞型 F g X=x l/g·1/f 型 g g Lagrange (a=f(b) Rolle 中值定理 定理 n 0 Taylor 常用的 中值定理泰勒公式
洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 0 0 ,1 , 0 型 − 型 0 型 型 0 0 型 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 F(x) = x f (a) = f (b) n = 0 g f f g 1 = g f g f f g 1 1 1 1 − − = 取对数 令 g y = f 一、主要内容
二、典型例题 例1求极限lim x05(1+5x-(1+x) 解∵:分子关于x的次数为2 1+5x=(1+5x) =1+(5x)+ 2!55 1)·(5x)2+0(x2) 5 =1+x-2x2+0(x2) 原式=lim x→01+x-2x2+0(x2)-(1+x)2
例1 . 1 5 (1 ) lim 5 2 0 x x x x→ + − + 求极限 解 分子关于 x 的次数为 2. 5 1 5 1+ 5x = (1+ 5x) 1) (5 ) ( ) 5 1 ( 5 1 2! 1 (5 ) 5 1 1 2 2 = + x + − x + o x 1 2 ( ) 2 2 = + x − x + o x [1 2 ( )] (1 ) lim 2 2 2 0 x x o x x x x + − + − + = → 原式 . 2 1 = − 二、典型例题
1x+2x+ (2)lim arctan x)nx; 3)lim( x→+∞2 x→>0 n In(--arcta lim 解(2)原式=ex→+0 n d T arctan x)I+x lim x→+∞兀 2 lIm arctan =ex>+ 1/x =已 2 (1+x2) x→)+ 1+x 2 x-++∞(1+x2)
) . 1 2 arctan ) ; (3) lim( 2 (2) lim ( 1 0 ln 1 x x x x x x x n n x + + − →+ → x x x e ln arctan ) 2 ln( lim (2) − →+ 解 原式 = x x x x e 1 / 1 1 arctan ) 2 ( 1 lim 2 + − − →+ = arctan ) 2 ( 1 lim 2 x x x x e − + − →+ = 2 2 2 2 1 1 1 1 lim x x x x e + − + − − →+ = （ ） . 2 1 2 1 1 lim e e x x x = = + − →+ （ ）
1+2+…n (3)lim( x→0 n 解(3) …+n lim-In( 原式 =pro lim +...+n =ex)0(x) 11In1+2xIn2+…nlnn lim nn. =e>01 1+ =e n=nn
x x x x x n n 1 0 ) 1 2 (3) lim( + + → ) 1 ln( 1 lim 0 (3) n n x x x x e + + = → 原 式 解 [ln(1 ) ln( )] ( ) 1 lim 0 + + − → = n n x x x x e x x x x x x n n n e + + + → = 1 1 ln1 2 ln 2 ln 1 1 lim 0 n n n e n! ln ! = =
a+√x-a 1+ tanx X→ 2,a≥0;x01+sinx 2a lim(mx)x·x; x→+0 lim sinxInx; lim tan.(2-x). x→0十 x→)1 0;0;2/
2 2 lim x a x a x a x a − − + − → + , a 0 ； 3 1 0 ) 1 sin 1 tan lim ( x x x x + + → 2a 1 ； 2 1 e . ln(2 ). 2 lim sin l n ; lim tan lim (ln ) ; 0 1 x x x x x x x x x x − → + → − →+ 0；0；2/
例2讨论函数在点x=0处的连续性。 (1+x) 1/x 1/x x>0 f(x)= e x0+ 2x lim x→>0+2x(1+x)2 imf(x)=e1/2=limf(x)∴函数在点x=0连续。 0+
例2 讨论函数在点x=0处的连续性。 + = − , 0 . ] , 0 (1 ) [ ( ) 1/ 2 1/ 1/ e x x e x f x x x 2 ln(1 ) ln(1 ) 1] 1 [ 1 : 0 , ln ( ) x x x x x x x f x + − 解 时 = + − = 2 1 2 (1 ) lim 2 1/(1 ) 1 lim ln(1 ) lim 0 0 2 0 = − + − = + − = + − → + → + → + x x x x x x x x x x x lim ( ) lim ( ) 0 1/ 2 0 f x e f x x x→ − − → + = = ∴函数在点x=0连续
例3 1)设f(x)具有二阶连续导数且f(0)=0,求证 f(x)/x,x≠0 g(x)= 有一阶连续导数 f(0),x=0 2)设f(x)在a,b上具有二阶导数且f(a)=f(b)=0, f(a)·f(b)>0,求证∈(a,b)和η∈(a,b)使 ∫(2)=0及f"(m)=0
例3 . (0), 0 ( )/ , 0 ( ) 1) ( ) (0) 0, 有一阶连续导数 设 具有二阶连续导数且 求 证 = = = f x f x x x x f x f ( ) 0 ( ) 0. ( ) ( ) 0, ( , ) ( , ) 2) ( ) [ , ] , ( ) ( ) 0, = = = = f f f a f b a b a b f x a b f a f b 及 求 证 和 使 设 在 上具有二阶导数 且
f∫(x 证:(0)=lim p(x)-p(0) f(0) f(x)-xf(0) x→>0 x→>0 x-0 2 li f(x)-f'(0) lim f"(x) f" (0 x→>0 2x x→02 2 x(x)-∫(x) x≠0 ∴p(x)= x=0 xf"(x)+f'(x)-f( ∴limp(x)=lim xf(x)-f(x) x→>0 x→>0 2x lim f"(x)f"(0) x→02 2 p(0).→d(x)有一阶连续导数
x x x ( ) (0) (0) lim 0 − = → 证： 2 0 0 ( ) (0) lim (0) ( ) lim x f x xf x f x f x x x − = − = → → x f x f x 2 ( ) (0) lim 0 − = → 2 ( ) lim 0 f x x = → . 2 f (0) = = − = , 0 2 (0) , 0 ( ) ( ) ( ) 2 x f x x xf x f x x 2 0 0 ( ) ( ) lim ( ) lim x xf x f x x x x − = → → x xf x f x f x x 2 ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → (0). 2 (0) 2 ( ) lim 0 = = = → f x f x (x)有一阶连续导数
证明用反证法∈(a,b)使f(4)=0 则在(a,b)上f(x)>0或f(x)0 f(a=lim f(x)-∫(a) ≥0 x→a -a f(a)∫(b)≤0(矛盾) f(b)=lir f(x)-f(b) m 0 r-b x-b ∈(a,b)使f(4)=0则f(a)=f()=∫(b)=0 因此m1∈(a,2)使f(1)=03m2∈(,b使f(m2)=0 叉f(m)=f(m2)=0∴彐n∈(m,m2)c(a,b)使f"(m)=0
证明 用反证法 (a,b)使f ( ) = 0 则在(a,b)上f (x) 0或f (x) 0 设f(x)>0 0 ( ) ( ) ( ) lim − − = → + x a f x f a f a x a 0 ( ) ( ) ( ) lim − − = → − x b f x f b f b x b f (a) f (b) 0(矛盾） (a,b)使f ( ) = 0 则f (a) = f ( ) = f (b) = 0 因此1 (a, )使f (1 ) = 0 2 (，b)使f (2 ) = 0 又f (1 ) = f (2 ) = 0 ( , ) （1，2） a b 使f () = 0