太原理工大学：《高等数学》课程PPT教学课件（习题题解）第九章多重积分习题课

多重积分 习题课

多重积分 习题课

注意: 1、奇偶性 2、轮换性 ∫f(x,y)dxtd=』∫(0y,x)dtd ∫-si2(x+yb=』co(x+y)dp

注意: 1、奇偶性  =  D D f (x, y)dxdy f ( y, x)dxdy 2、轮换性 x y dxdy D  1− sin ( + ) 2 =  + D cos(x y)dxdy  

P147917(1)、(3) 0≤x≤1 解 l-x≤y≤√1-x2 x+y=1→r= cos0+sin e 0≤6 D c0s6+ Singr≤1 Ⅰ=|2d f∫(rcosθ,rsin)rdn cos e+sine

P147 9.17（1）、（3）    −   −   2 1 1 0 1 x y x x 解：       +   1 cos sin 1 2 0 r D     ： cos sin 1 1 + x + y =  r =   +   =    1 cos sin 1 2 0 I d f (r cos ,rsin )rdr

x2+(y-1)2=1→r=2sin6 (x-1)2+y2=1→r=2cos0 π/4P2sin rcos.rsinorar r/2 er2 cos e 兀/4J0 f(rose, rsinerdr

(1,1) ( 1) 1 2sin 2 2 x + y − =  r = ( 1) 1 2cos 2 2 x − + y =  r =     =    2sin 0 / 4 0 I d f (r cos ,rsin )rdr      +    2cos 0 / 2 / 4 d f (r cos ,rsin )rdr

例1P164972 af可fax, of ay af of cos+sin e ar Ox ar ay ar 0. 今”r ax a 2 af ∴左式 2兀 2兀 limdel-o 2兀g-00 2086→0JodB/g In e dr A im[2m lf(cose, sinO)-f(ecos, e sin 0)de E→>0 2丌 2r 6-0 Jo -f(ecos,Esin 0)de =lim f(acos,, esin 6)=f(0, 0) →0

例1 P164 9.72r y y f r x x f r f     +     =   cos sin y f x f   +   = r r f    y y f x x f   +   = dr r r f r d    →       −  = 2 0 1 2 2 0 lim 2 1 左式           lim [ f (cos ,sin ) f ( cos , sin )]d 2 1 2 0 0 − − =  →         lim f ( cos , sin )d 2 1 2 0 0 − − =  → lim ( cos , sin ) (0,0) 0 0 0 = f = f →      dr r f d    →     − = 2 1 0 0 lim 2 1

例2证明 rdx(x-y)y2f(y)小= (b-y) f(dy b 证a(x-y)2f(y)d dy(x-y)"2∫(y)d D b f∫(y)dv,(x-y n-11b n n-/(b-y)f(y)小

例 2 ( ) ( ) . 1 1 ( ) ( ) 2 1   − −  − = − b − a x n a b n a b y f y d y n d x x y f y d y 证明 证     − − = −− by n ba xa n ba dy x y f y dx dx x y f y dy ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2  − − − = ba by n x y n f y dy ( ) ] 1 1 ( ) [ 1 ( ) ( ) . 1 1 1  − − − = ba n b y f y dy n D y = x b b a a

L P150926(1) 证 u=x-y → v= y=v-u J=1 =(,2h+ha) A/2 av -A/2 (u+A)f(udu+(a-u)f(u)du Af(udu+S af(u)du+uf(udu+o -uf(udu

P150 9.26(1)    = = − v x u x y 证：    = − =  y v u x v v u J = 1     − + − − = + / 2 0 / 2 / 2 / 2 0 ( ) ( ) A u A u A A A A I f u du dv f u du dv =  + +  − − A A u A f u du A u f u du 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) =  +  + +  − − − A A A A Af u du Af u du uf u du uf u du 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )

P1509.26(1) x=(+u) 证 u=x-y 2 lv=x+y I=2f(u)dudu =4f()dg+hv+nf(a)d“b (u+a)(udu+o(a-u)f(udu

P150 9.26(1)  = + = − v x y u x y 证：  = − = +  ( ) 21 ( ) 21 y v u x v u 21 J = I f u dudv D = 1 21 2 ( ) =  + +  − − A A u A f u du A u f u du 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )     + − − = + u A A A u A f u du dv f u du dv 0 0 0 0 ( ) ( ) u v x y

例2计算三重积分∫y1-x:dcdd,其中由曲 面y=-√1-x2-z2,x2+z2=1,y=1所围成 解如图,根O齡刻0士国措 D":x+s、又I 平×小验量必D下二重验 道=[J—E ∫d∫ X+Z 2公 2 x-(xz十 =(+x2-2x) 28 3 45

例 2 计算三重积分 y x dxdydz   − 2 1 ，其中 由曲 面 2 2 y = − 1− x − z ， 1 2 2 x + z = ，y = 1所围成. 将投影到zox平面得 : Dxz 1 2 2 x + z  , 先对y积分，再求Dxz上二重积分, 解 如图,  − − − = − 1 1 2 2 2 1 x z D y x dxdz dy xz 原式 dz x z dx x x x 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 + = − −  − − − dx z x x z x x 2 2 1 1 3 2 1 1 2 )| 3 1 ( − − − − = − +  − = + − 1 1 2 4 (1 2 ) 3 1 x x dx . 45 28 =

例3证明 fo r(dtyduldv=J(x-1)2/()dt 证思路:从改变积分次序入手 fo dun f()dt= f(du=S(v-o,(dt, 「ng()one=o(m-/()t dtf(v-n),f(tdv=C(x-o)'f(O)dt 2J0 0

例3 ( ) ( ) . 2 1 [ ( ( ) ) ] 0 2 0 0 0  = − x v u x f t dt du dv x t f t dt 证明 证 思路：从改变积分次序入手．     = v v t v u du f t dt dt f t du 0 0 0  ( ) ( )  = − v v t f t dt 0 ( ) ( ) ,       = − x v u x v f t dt du dv dv v t f t dt 0 0 0 0 0 [ ( ( ) ) ] ( ) ( )   = − x x t dt v t f t dv 0 ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 1 0 2  = − x x t f t dt 0 v u t D v t D x