第二章导数与微分 第一节导数的概念 一、问题的提出 二、导数的定义 三、由定义求导数 四、导数的几何意义与物理意义 五、可导与连续的关系 六、小结 反回
第一节 导数的概念 第二章 导数与微分 一、问题的提出 二、导数的定义 三、由定义求导数 四、导数的几何意义与物理意义 五、可导与连续的关系 六、小结
一、问题的提出 中1自由落体运动的瞬时速度问题 如图,求t时刻的瞬时速度, 取一邻近于t的时刻t,运动时间△t, △t sS0=2(t+1 △ t 平均速度ⅴ== △tt-t 0 当t→t时,取极限得 王瞬时速度多sn+0=gn 2 反回
一 、问题的提出 1.自由落体运动的瞬时速度问题 0 t t , 求t 0时刻的瞬时速度 t 如图, , 0 取一邻近于t 的时刻 t 运动时间t, t s v 平均速度 0 0 t t s s ( ). 2 0 t t g , 当 t t0时 取极限得 2 (t t) v lim 0 0 g t t 瞬时速度 . 0 gt
王2切线问题割线的极限位置切线位置 1.251.51.75 2.252.52.75 3[播放 圆 反回
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放
如图,如果割线MN绕点 y=f(x) M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线 极限位置即 0 x MN→0,∠MMT→0.设M(x0,y0),N(x,y) 士 割线MN的斜率为tn-ynfx)-f(x) = -d 0 N一a线cyM,x→>x, 切线MT的斜率为k=tan=lim f(x)-f(x0) x→>x0 反回
T 0 o x x x y y f ( x) C N M 如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即 MN 0,NMT 0. ( , ), ( , ). 0 0 设 M x y N x y 割线MN的斜率为 0 0 tan x x y y , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x , , 0 N M x x 沿曲线C 切线MT的斜率为 . ( ) ( ) tan lim 0 0 0 x x f x f x k x x
生二、导数的定义 定义设函数y=f(x)在点x的某个邻域内 有定义,当自变量x在x处取得增量Δx(点 x0+△c仍在该邻域内时相应地函数y取 中得增量小y=f(x1+△)-(x);如果与 △x之比当Ax→0时的极限存在,则称函数 y=f(x)在点x处可导,并称这个极限为函 数y=f(x)在点x处的导数,记为yx 反回
二、导数的定义 ( ) , , ( ) , 0 , ( ) ( ); ) , , ( ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x x y f x x y y f x x x x y f x x f x y x x y x x x y f x x 数 在点 处的导数 记为 在点 处可导 并称这个极限为函 之比当 时的极限存在 则称函数 得增量 如果 与 仍在该邻域内 时 相应地函数 取 有定义 当自变量 在 处取得增量 点 定义 设函数 在点 的某个邻域内
dh X= 或 df(c) d x=x09 即yx==lim 今=limf(xn+△)-f(x) △x→0 △ △v→0 △v 其它形式f(x0)=im f(x0+h)-f(x0) h→>0 f(xo)=lim f(x)-f(x0) x→x0x=x0 反回
. ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h 其它形式 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x x f x x f x x y y x x x x ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 , ( ) 0 0 x x x x dx df x dx dy 或 即
c关于导数的说明: ★点导数是因变量在点x处的变化率它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度 士 ★如果函数y=f(x)在开区间I内的每点 处都可导,航称函数f(x)在开区间I内可导 反回
. , 0 慢程度 反映了因变量随自变量的变化 而变化的快 点导数是因变量在点 x 处的变化率 它 , ( ) . ( ) 处都可导 就称函数 在开区间 内可导 如果函数 在开区间 内的每点 f x I y f x I ★ ★ 关于导数的说明：
★对于任一x∈I,都对应着f(x)的一个确定的 王导数值这个函数叫做原来函数f(x)的导函数 王记作(或 即 y'=lim f(+ Ax)-f() △x→0 △v 或∫(x)=if(x+h)-f(x) h→>0 王注意:1f(x)=(x) 反回
. ( ) , ( ), . ( ) . , ( ) dx df x dx dy y f x f x x I f x 记作 或 导数值 这个函数叫做原来函数 的导函数 对于任一 都对应着 的一个确定的 x f x x f x y x ( ) ( ) lim 0 即 . ( ) ( ) ( ) lim 0 h f x h f x f x h 或 注意: 1. ( ) ( ) . 0 0 x x f x f x ★
2导函数(瞬时变化率是函数平均变化率的逼近 函数 100 工工 25 -100 反回
播放 2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数
★单侧导数 1左导数 ∫(x)=Iim f(x)-f(x0) im ∫(x0+△x)-f(x0) x→x0-0x-x0 Ar→ △v 2.右导数: ∫(x0)=im 1(x)(x)=mf(xn+A)-(x) 士 x→X0+0x-x0 △→+0 △v ★函数f(x)在点x处可导台左导数f(x0)和右 导数f(x0)都存在且相等 反回
★ 2.右导数: 单侧导数 1.左导数: ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x 函数 f (x)在点 0 x 处可导左导数 ( ) 0 f x 和右 导数 ( ) 0 f x 都存在且相等. ★
