定积分 习题课
定积分 习题课
典型例题 例1.计算a2-x2aa>0 解:设x= aint,则dx= acosta,且 当x=0时,t0;当ⅹ=a时,t=π/2 ∫na2-x2d=a2J2cos2t 2兀 2(1+cos 2t)dt 2J0 1+-sin 2t2 2 2
典型例题 例1. 计算 解: 设x=asint,则dx=acostdt,且 当x=0时，t=0；当x=a时，t=π/2. 2 2 2 2 2 2 0 0 a x dx a tdt cos − = 2 2 0 (1 cos 2 ) 2 a t dt = + 2 1 1 sin 2 2 2 2 0 a t = + 2 4 a =
例2.计算Jedx 解:设x=则x=t2,=2,且当x=0时,=0:当X=1时,1 由前面的换元公式得: dx=2 te dt 再用分部积分公式计算上式的右端的积分。 设u=tdv=etdt,则 dudt v=et.于是: te at te e at 0 0 e-e e-le 故e“ax=2
例2. 计算 1 0 x e dx 解: 设 ,且当x=0时，t=0；当x=1时，t=1. 由前面的换元公式得： 1 1 0 0 2 x t e dx te dt = 再用分部积分公式计算上式的右端的积分。 设u=t,dv=etdt,则du=dt,v=et. 于是： 1 1 0 0 1 0 t t t te dt te e dt = − 1 ( 1) 1 0 t = − = − − = e e e e 1 0 2 x e dx = 故
at 例3求lim cos. 解:这是一个型未定式。 edt可看成以=cox为中间变量的复合函数。 e at dt lim cosx lim x→0 x→0 2x tcos"r sIn·e lim x→0 2x 2e
例3 求 2 2 cos 1 1 cos 2 0 0 lim lim 2 x t t x x x d e dt e dt dx x x − − → → − = 1 2 cos 2 0 lim t x x e dt x − → 解: 2 cos 0 sin lim 2 t x x x e x − → = = 这是一个 0 0 型未定式。 可看成以u = cos x 为中间变量的复合函数。 1 2 cos t x e dt − 1 2e =
例4计算下列积分 1.[cos2x√4-sin2xdx2 x√1+lnx 解:1.原式= 4 (4-Sin 2x)2d(4-sin 2x) (4-Sin 2x) 4 2.此题用第二换元法(换元换限不换回) + Inx t则1+nx=t tdt 故原式 /3 2xtdt =[2n]13=2(3)1 xt
x xdx − 4 0 cos 2 4 sin 2 + 2 1 1 ln e x x dx 1 2 4 0 1 (4 sin 2 ) (4 sin 2 ) 2 x d x − − − 3 2 4 0 1 8 (4 sin 2 ) | 3 3 3 x = − − = − dx tdt x 2 1 = [2 ] 2( 3 1 3 2 1 3 = 1 = − t x t xtdt 例4 计算下列积分 . 解：1 原式= 2 此题用第二换元法(换元换限不换回)。 令 ，则1+ln x = t 2 , . 故 原式= ) 1 +ln x =t 1. 2
例5若f(x)在[0,1上连续,证明 〔 f (sin x)dx=2 f(cos x)dx 证明:设x=2-t,则dX=-dt,且 当x=0时,t 2:rs2 时,t=0.于是 f(sinx)hx=-「 f(sin(e-t)) t 2 f(cost)dt=2f(cos x)dx 0 0 注意:此处用到“定积分与积分变量无关”的结论
例5 若f (x) 在 [0 , 1] 上连续，证明 2 = 0 2 0 (sin ) (cos ) . f x dx f x dx 证明：设 x t 2 ,则dx = –dt, 且 = − 2 t = 2 当x = 0 时， ； x = 时，t = 0. 于是 0 2 0 2 (sin ) (sin( )) 2 f x dx f t dt = − − 2 2 0 0 f t dt f x dx (cos ) (cos ) . = = 注意：此处用到“定积分与积分变量无关”的结论