西南财经大学：《微积分》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章（5-4）有理函数及三角函数有理式的积分

§5.4有理函数及三角函数有理式的积分 有理函数的积分 定义3有理函数是指可以表示成两个多项式的商的形式 的函数.即 十a1x+…+a, f(x)= 其中m,n是非负整数,a(=12,…,m)与b(=12,…,m为常数 且a0≠0,bo≠0.Bn(x),Qm(x)互质 当n<m时,R(x)为真分式; 当n≥m时,f(x)为假分式,利用多项式的除法,总可 化为一个多项式与一个真分式之和

1 §5.4 有理函数及三角函数有理式的积分 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) n n n n m m m m P x a x a x a f x Q x b x b x b             ( 1, 2, , ) ( 1, 2, , ) i j a i   n 与b j   m 为常数 0 0 且a  0, b  0. ( ), ( ) Pn m x Q x 的函数. 即 一.有理函数的积分 定义3 有理函数是指可以表示成两个多项式的商的形式 其中m, n是非负整数, 互质. 当n  m时, ƒ(x)为假分式, 利用多项式的除法, 总可 化为一个多项式与一个真分式之和. 当n < m时, R(x)为真分式;

付20f(x) 多项式的积分问题已解决,故本节重点讨论真分式的 积分法为此需注意以下几个问题 1由代数学知,任何多项式Qn(x)在实数范围内总能分 解成一次因式和二次质因式的乘积,即 Qn(x)=b1(x-a)2…(x-b)(x2+px+q)2…(x2+rx+1)3 其中b,a,…b,P,q…,F,t为常数;k.,s,a2,B为正整 数,且k+…+s+2a+…+2B=m;p2-4q<0 4t<0

2 4 3 3 1 ( ) 1 1 1 x x x f x x x x         例20 多项式的积分问题已解决, 故本节重点讨论真分式的 积分法. 为此需注意以下几个问题: 1.由代数学知, 任何多项式 在实数范围内总能分 解成一次因式和二次质因式的乘积, 即 ( ) Qm x 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k s Qm x b x a x b x px q x rx t            其中 为常数; k…, s‚ α ,…, β为正整 数,且 0 b , a,,b, p, q,,r,t 2 2 k  s  2  2  m; p  4q  0,,r  4t  0

任何一个真分式(x) mn(x)均可唯一地分解为若干个部分 分式之和 例21求2x-1 2-5x+6 2x-1 解因x2-5x+6(x-3)x-2) 设 A,B通分A(x-2)+B(x-3) 5x+6x-3x-2 5x+6 比较等式两端x同次幂的系数,得 A+B=2 A=5 A+3B= B=-3

3 2.任何一个真分式 均可唯一地分解为若干个部分 分式之和. ( ) ( ) n m P x Q x 2 2 1 5 6 x dx x x   例 求  21 解 2 2 1 2 1 5 6 ( 3)( 2) x x x x x x        因 2 2 2 1 ( 2) ( 3) 5 6 3 2 5 6 x A B A x B x x x x x x x              通分 设 比较等式两端x同次幂的系数,得 2 5 2 3 1 3 A B A A B B              

2x-1 +5 =5nx-3-3x-2+C (x-3)3 n +O x-2 例22求 4x2-20x+31 解原式 d(2x-5) (2x-5)2+62J(2x-5)2+(√6 arctan

4 2 2 1 5 3 5 5 3 2 x dx dx dx x x x x        则     5ln x  3  3ln x  2 C 5 3 ( 3) ln 2) x C x     2 (2 5) 6 dx x    解 原式  2 4 20 31 dx x  x  求  2 2 1 (2 5) 2 (2 5) ( 6) d x x      1 2 5 arctan 2 6 6 x C    例22

x +x 例23求 atb +D 解设 2x3+x +x2)21+x 通分(x+B)(1+x2)+(Cx+D) (1+x 比较等式两端x同次幂的系数,得 AB A=2 0 B=0 A+C=1 B+D D=-1

5 3 2 2 2 2 2 2 1 (1 ) 1 (1 ) x x Ax B Cx D x x x          解 设 3 2 2 2 1 (1 ) x x dx x   例 求  23 比较等式两端x同次幂的系数,得 2 2 0 0 1 1 1 1 A A B B A C C B D D                         22 2 ( )(1 ) ( ) (1 ) Ax B x Cx D x       通分

x+1 (1+x 1+x2(1+ d(1+x d(1+x 2J(1+x d x In 1+x+ 2(1+x2)J(1+x2)2 x= tan t cOs、1 +cos 2t)dt (1+x t+-sin 2t+C=-arctan x +c 2(1+x2) 则 2x+x dx=In 1+x arctan]+C 2-1+x2

6 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 , [ ] (1 ) 1 (1 ) x x x x dx dx x x x         于是   2 2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 (1 ) 1 2 (1 ) (1 ) d x d x dx x x x            2 2 2 2 1 ln 1 2(1 ) (1 ) dx x x x        2 2 2 1 tan cos (1 cos 2 ) (1 ) 2 dx x t tdt t dt x     而   2 1 1 1 sin 2 arctan 2 4 2 2(1 ) x t t C x C x        3 2 2 2 2 2 1 1 1 ln 1 [ arctan ] (1 ) 2 1 x x x dx x x C x x           则 

角函数有理式的积分 当被积函数为三角函数有理式时,有时采用“万能代换” 更加有利于不定积分的计算。 特别地,当被积函数中的正、余弦函数的角变量为x Qu 或2x时,通常设u=tan-,则有sinx 1+ COS x tanx= 便可使计算得以简化。 1+ 或令u=tanx亦可。 例24求 sinx+ tan x

7 二.三角函数有理式的积分 当被积函数为三角函数有理式时，有时采用“万能代换” 更加有利于不定积分的计算。 特别地，当被积函数中的正、余弦函数的角变量为x 或2x时，通常 便可使计算得以简化。 tan 2 x 设 u  ，则有 2 2 sin , 1 u x u   2 2 1 cos , 1 u x u    或令 u  tan x 亦可。 2 2 tan , 1 u x u   例24 sin tan dx x  x 求 

解设1=tan,则有sinx tanx 1+ 2di 1+L dx 1+L sinx+ tan x 2 Qu Qu 1+121-a ∫-)=2ml-4 -In tan tan =+0

8 2 2 1 du dx u    sin tan dx x  x  tan 2 x 解 设 u  ，则有 2 2 sin , 1 u x u   2 2 tan , 1 u x u   2 2 2 2 1 2 2 1 1 du u u u u u     ＋ － 2 1 2 u du u   1 1 ( ) 2 u du u    2 1 ln 2 4 u  u   C 1 1 2 ln tan tan 2 2 4 2 x x   C