在以下各题中,除题目中已有说明的外,可测函数的积分都是关于给定的测度空间 (X,,4)的 1设F(x=1,x21.是由F导出的LS测度计算fJd其中 f(x)=aleo. )+bl+Cl 2.设A1,…,A,是[0,1中的n个 Lebesgue可测集.若每个x∈[O,1至少于这n 个集中的q个,则必存在某个A,使得m(4)≥ 3.设f是[0,2]上的L可测函数并且 ∫(x)(+1(x)t0,则 fau>0 6.证明:()设为可测函数,若对每个可测集A,均有fax≥0,则 f≥0ae. (i).设f和g是可积函数并且对任意可测集A,成立 f1=|.gd.则f=ga 7.设()为可积函数列∫为可测函数若imJn-d=0.则∫可积 8.设f,f(m≥1)为可测函数、若Im∫Gn-fd=0.则Jn→f 9.设∫为有限测度空间上的可测函数.则∫可积的充要条件是对任给的E>0,存 在k>0,使得 wkk, Idu<s
125 习 题 四 在以下各题中, 除题目中已有说明的外, 可测函数的积分都是关于给定的测度空间 (X, F ,µ) 的. 1. 设 ≥ 0, 则 0. A ∫ fdµ > 6. 证 明 : (i). 设 f为可测函数 . 若对每个可测集 A, 均 有 0, A ∫ f dx ≥ 则 f ≥ 0 a.e. (ii). 设 f 和 g 是可积函数并且对任意可测集 A , 成 立 . A A fd gd µ = µ ∫ ∫ 则 f = g a.e.. 7. 设( ) n f 为可积函数列, f 为可测函数. 若 lim − = 0. ∫ →∞ f n f dµ n 则 f 可积. 8. 设 f , f (n ≥ 1) n 为可测函数 . 若 lim − = 0, ∫ →∞ f n f dµ n 则 f f . n →µ 9. 设 f 为有限测度空间上的可测函数. 则 f 可积的充要条件是对任给的ε > 0, 存 在k > 0, 使得 { } . f k f dµ ε ≥ ∫ <
提示:利用积分的绝对连续性 10.设∫为可测函数证明∫可积的必有条件是 ∑n({n≤(0和a>1,使得 H(2)≤m,A>0 证明∫可积 15.设f,n(n≥1)为可积函数.若对每个可测集A均有 fdu≤J.Jm+d,n≥1 并且 lim.fnd=fd,则f=>f 16设,(n21为可测函数f→.若spnf.若存在可积函数g,使得 sgae(n≥1),则limJ-fd=0 18设}是可测函数列并且∑f.证明 ∫ fds lim f,4 20设级数∑a绝对收敛证明∑a可以表示成(N,m(N)A)上一个可积函数的
126 提示: 利用积分的绝对连续性. 10. 设 f 为可测函数. 证明 f 可积的必有条件是 ({ 1}) . 1 ∑ ≤ 0和α > 1, 使得 ({ ≥ }) ≤ , λ > 0. λ µ λ α M f 证明 f 可积. 15. 设 f , f (n ≥ 1) n 为可积函数 . 若对每个可测集 A 均 有 1 , 1, n n A A ∫ ∫ fd f d n µ µ ≤ ≥ + 并且 lim , n n A A f d fd µ µ →+∞ ∫ ∫ = 则 . a.e. f f n → 16. 设 f , f (n ≥ 1) n 为可测函数. . a.e. f f n → 若 ∫ < +∞ ≥ sup , 1 f n dµ n 则 f 可积. 17. 设 f , f (n ≥ 1) n 为可测函数 , . a.e. f f n → 若存在可积函数 g , 使 得 f ≤ g a.e.(n ≥ 1), n 则 lim − = 0. ∫ →+∞ f n f dµ n 18. 设{ }n f 是可测函数列, 并且∑∫ ∞ = < +∞ 1 . n f n dµ 则∑ ∞ n=1 n f 可积, 并且 . 1 1 µ ∑ µ ∫∑ ∫ ∞ = ∞ = = n n n f n d f d 19. 设 f , f (n ≥1) n 为非负可测函数列, f f . n →µ 证明 ∫ ∫ →∞ f dµ ≤ lim f dµ. n n 20. 设级数 ∑ ∞ n=1 an 绝对收敛. 证明 ∑ ∞ n=1 an 可以表示成(N,P (N),µ) 上一个可积函数的
积分 21.设∫,fn(n≥1)为非负可积函数 Nr ∫, m∫d=jfdu,证明:对任意可测集Ecx,成立 limf,d, fd 提示注意0≤-fm|+f-fn≤2f(≥1) 22.举例说明在 Fatou引理中,不等号可能成立 23.设{An}是一列可测集并且∑(A)0 26.设∫是[0,+∞)上的L可积函数,并且∫在[0,+∞)上一致连续.证明 f(x)→>0(x→+∞) 27.设∫是[0,1上的L可积函数若对任意c(0≤c≤1),总有 ∫。fx=0,则f=0a 28.设∫在[a,b上 Riemann可积,g是R上的连续函数证明g(f(x)在{a,b] 上 Riemann可积 29.证明f(x)=e在[0,+∞)上L可积,并且求其L积分 30.证明 Riemann函数 若 m 互质 f(x) 0若x是无理数 在[0,1上是 Riemann可积的
127 积分. 21. 设 f , f (n ≥ 1) n 为非负可积函数 , 满 足 , a.e. f f n → ∫ ∫ = →+∞ lim f dµ f dµ, n n . 证明: 对任意可测集 E ⊂ X , 成立 lim . n n E E f d fd µ µ →+∞ ∫ = ∫ 提示: 注意0 ≤ f − f + f − f ≤ 2 f (n ≥ 1). n n 22. 举例说明在 Fatou 引理中, 不等号可能成立. 23. 设{ } An 是一列可测集并且 ( ) . 1 ∑ < +∞ ∞ n= µ An 证明对几乎所有 x ∈ X , x 只属于 有限个 . An 24. 设 f 是有限测度空间 X 上的可测函数, c ≤ f (x) ≤ d, x ∈ X. 对任意 n ≥ 1, 设c = y0 < y1 < " < yn = d 将[c,d] 分成n 个长度相等的小区间. 证明 lim ({ }). 1 ∫ ∑ 1 1 = − − →∞ = ≤ < n i i i i n fdµ y µ y f y (试将上式与 Riemann 积分的定义比较). 25. 设{ }n f 是有限测度空间(X , F ,µ) 上的可测函数列, 证明 ∫ → + 0 1 dµ f f n n 当且仅当 →0. µ n f 26. 设 f 是 [0, + ∞) 上的 L 可积函数, 并且 f 在 [0, + ∞) 上一致连续. 证明 f (x) → 0 (x → +∞). 27. 设 f 是 [0, 1] 上 的 L 可积函数 . 若对任意 c(0 ≤ c ≤ 1) , 总 有 [0, ] 0, c ∫ f dx = 则 f = 0 a.e. 28. 设 f 在[a,b]上 Riemann 可积, g 是 1 R 上的连续函数. 证明 g( f (x)) 在[a,b] 上 Riemann 可积. 29. 证明 x f x e − ( ) = 在[0, + ∞) 上 L 可积, 并且求其 L 积分. 30. 证明 Riemann 函数 = = . , 0 , , 1 ( ) 若 是无理数 若 互质 x m n n m x n f x 在[0, 1]上是 Riemann 可积的
31.当a>0为何值时,函数f(x)=-在,+∞)上是L可积 32.设K为[0,1中的 Cantor集.当x∈K时定义f(x)=x2,当x属于[0,1-K 中长为的开区间时定义f(x)=n计算|f(x)d 33.设∫和g在[a,b]上 Riemann可积,并且在[a,b]的一个稠密子集上相等.证 明∫和g在[a,b上积分相等 34.设∫是R上的L可积函数,f(0)=0,∫(0)存在并且有限证明在 R上是L可积的 35.计算厂f(x)tx,其中 x3若x为有理数 f(x) 若x为无理数 36.设∫是[O,1]上的单调增加函数,E是[0,1中的L可测集并且m(E)=t.证 明f(x)xs|f(x)tx 37.用 Lebesgue积分的性质证明 ∫,吗=∑-y (2n-1) 38.设f(x)=(-1)n x≤-,n=1,2,…,∫(0)=0.证明∫在[O,1 上是广义 Riemann可积的,但不是 Lebesgue可积的 39.设a<c<b,F(x)=le+x(x)又设∫是la,b]上的有界实值函数证明在 a,b]上关于FLS可积当且仅当∫在x=c连续.并且当∫在x=c连续时 f(xdF(x)=f(c) 40.设∫在[a-h,b+h是 Lebesgue可积的.证明 lim If(x+)f(xdx=0 提示:利用定理452 41.设∫是R上的L可积函数,g是R上的有界L可测函数证明函数 10)=m(x+)g(xk,t∈R 是R上的连续函数
128 31. 当α > 0 为何值时, 函数 α x x f x sin ( ) = 在[1, + ∞) 上是 L 可积的. 32. 设 K 为[0, 1]中的 Cantor 集. 当 x ∈ K 时定义 ( ) , 2 f x = x 当 x 属于[0, 1] − K 中长为 n 3 1 的开区间时定义 . 2 1 ( ) n f x = 计算 1 0 f () . x dx ∫ 33. 设 f 和 g 在[a,b]上 Riemann 可积, 并且在[a,b]的一个稠密子集上相等. 证 明 f 和 g 在[a,b]上积分相等. 34. 设 f 是 1 R 上的 L 可积函数, f (0) = 0, f ′(0)存在并且有限. 证明 x f (x) 在 1 R 上是 L 可积的. 35. 计算 1 0 f () , x dx ∫ 其中 = . , 1 ( ) 3 若 为无理数 若 为有理数 x x x x f x 36. 设 f 是[0, 1]上的单调增加函数, E 是[0, 1]中的 L 可测集并且 m(E) = t. 证 明 0 () () . t E ∫ ∫ f x dx f x dx ≤ 37. 用 Lebesgue 积分的性质证明 1 2 0 1 arctg 1 ( 1) . (2 1) n n x dx x n ∞ = = − ∑ − ∫ 38. 设 ( ) ( 1) , 1 f x n n+ = − , 1, 2, , 1 1 1 < ≤ = " + n n x n f (0) = 0. 证明 f 在[0, 1] 上是广义 Riemann 可积的, 但不是 Lebesgue 可积的. 39. 设a < c < b, ( ) ( ). [ , ) F x I x = c +∞ 又设 f 是[a,b]上的有界实值函数. 证明在 [a,b] 上关于 F L-S 可积当且仅当 f 在 x = c 连 续 . 并且当 f 在 x = c 连续时 , ( ) ( ) ( ). b a ∫ f x dF x f c = 40. 设 f 在[a − h, b + h] 是 Lebesgue 可积的. 证明 0 lim ( ) ( ) 0. b t a f x t f x dx → ∫ +− = 提示:利用定理 4.5.2. 41. 设 f 是 1 R 上的 L 可积函数, g 是 1 R 上的有界 L 可测函数. 证明函数 1 () ( ) ( ) , R I t f x t g x dx = + ∫ t ∈ . 1 R 是 1 R 上的连续函数
42.设∫是R上的可积函数,并且对任意具有紧支集的连续函数g,有 f(x)g(x)dx=0.证明∫=0ae 43.设E,F,En∈XxY,n≥1,x∈X.证明 (1)(UEn)2=U(En) (2)(E-F)2=E2-F2 44.设(X,)和(Y,)是两个可测空间,f(x)和g(y)分别是(X,A)和 (,)上的可测函数.证明h(x,y)=f(x)g(y)是(XxY,×)上的可测函数 45.设(X,,A)是一完备的a-有限的测度空间,(R,M(R),m)是一维 L测度空间,f(x,1)是(XxR,0m,Xm)上的可测函数.若对几乎所有t∈R f(,1)是-ae.有限的,则对几乎所有x∈X,f(x,)是m-ae.有限的 提示令A={(x,1):(x,1=+∞},则{t:(t,x)=+}=A1,考虑(mxA) 46.设(X,4)和(H,B)是两个可测空间,4是(XxY,4×)上的测度令 1(A)=(A×Y),A∈A 证明:(1)山1是(X,上的测度(2)若f(x)是(x,4)上的可积函数,则 f(x)d f(x)d 提示:(2)先考虑特征函数 f(x)和g(y)分别是σ-有限测度空间(X,A,4)和 (,,p)上的可积函数证明h(x,y)=f(x)g(y)是(X×Y,A×B,4xv)上的可积函数, 并且 fdAH1·gdk2 48.用Fbi定理证明当am20或者∑∑{am<+时成立 mel rel 49.证明 0+∞)×(0+∞)(1+y)(1+x2y)2 50.计算I= an'-e-) dx(0<a<b) 51.设f(xy)=2 (x,y)≠(0,0),f(0,0)=0.证明
129 42. 设 f 是 1 R 上的可积函数 , 并且对任意具有紧支集的连续函数 g , 有 1 ( ) ( ) 0. R ∫ f x g x dx = 证明 f = 0 a.e.. 43. 设 E, F, E X Y, n 1, x X. n ∈ × ≥ ∈ 证明 (2) ( ) . (1) ( ) ( ) . 1 1 x x x n x n x n n E F E F E E − = − = ∞ = ∞ = ∪ ∪ 44. 设 (X, A) 和 (Y, B) 是两个可测空间 , f (x) 和 g( y) 分别是 (X, A) 和 (Y, B) 上的可测函数. 证明h(x, y) = f (x)g( y) 是(X ×Y, A ×B) 上的可测函数. 45. 设 (X , F ,µ) 是一完备的 σ − 有限的测度空间, ( , ( ), ) 1 1 R M R m 是一维 L 测度空间, f (x,t) 是 , , ) 1 ( X × R M µ×m µ × m 上的可测函数. 若对几乎所有 t ∈ 1 R , f (⋅,t) 是 µ − a.e.有 限的, 则对几乎所有 x ∈ X , f (x,⋅) 是m − a.e. 有限的. 提示: 令 A = {(x,t) : f (x,t) = +∞}, 则{ : ( , ) } . Ax t f t x = +∞ = 考虑(m× µ)(A). 46. 设(X, A) 和(Y, B) 是两个可测空间, µ 是(X ×Y, A ×B) 上的测度.令 ( ) ( ), . µ1 A = µ A×Y A∈ A 证明: (1) µ1是(X , A) 上的测度. (2) 若 f (x) 是(X , A) 上的可积函数, 则 1 () () . X XY f xd f xd µ µ × ∫ ∫ = 提示: (2)先考虑特征函数. 47. 设 f (x) 和 g( y) 分别是 σ − 有限测度空间 (X, A,µ) 和 (Y, B,µ) 上的可积函数.证明 h(x, y) = f (x)g( y) 是 (X ×Y, A ×B,µ ×ν ) 上的可积函数, 并且 12 1 2 . ( ) XY X Y hd f d gd µ µ µµ × ×= ⋅ ∫ ∫∫ . 48. 用 Fubini 定理证明当 amn ≥ 0 或者∑∑ ∞ = ∞ = < +∞ n m 1 1 amn 时,成立 . 1 1 1 1 ∑∑ ∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = = m n mn n m amn a 49. 证明 2 2 [0, ) [0, ) . (1 )(1 ) 2 dxdy +∞ × +∞ y xy = + + ∫ π 50. 计算 2 2 0 1 ( ) (0 ). ax bx I e e dx a b x +∞ − − = − << ∫ 51. 设 f (x, y) = , ( ) 2 2 2 2 2 x y x y + − (x, y) ≠ (0,0), f (0,0) = 0. 证明
f(x, y)dx dy f(x, y)dy dx 52.计算积分I 厂,∫。ye-dody,并且由此证明 √z dh 53.设f(x,y)在[0,1×[0,1上L可积.证明 ∫厂f(xy地=厂∫(xyk 54.设∫在[0,a]上L可积,g(x)= d.证明|ax=|ahx 提示g()=/(O 55.设E是R"上的L可测集,∫是E上有界的L可测函数,并且存在M>0和 04})0 证明∫在E上L可积 56.设∫是R上的L可积函数,a>0.证明→f(mx)→>0ae 提示先证明f六1 57.设(X,)和(,③)是两个可测空间,∫是X到Y的映射.使得对任意 B∈B,都有∫-(B)∈A(称∫是(X,A)到(Y,)的可测映射)又设若是(X,4)上 的测度.证明 (1).(逆像测度)集函数 1(B)=A(f-(B),B∈B 是(Y,)上的测度(称之为关于∫的逆像测度) (i).(积分的变量代换公式)若g是(Y,)上的可测函数,则成立 g()du=gd 上式表示当等式一边的积分存在时,等式另一边的积分也存在,并且两边相等 提示:先对g=lB是特征函数证明 58.设{n}是可测函数列称{n}是一致可积的,若 lim up Ild=o
130 11 11 00 00 f (, ) (, ) . x y dx dy f x y dy dx ≠ ∫∫ ∫∫ 52. 计算积分 2 2 (1 ) 0 0 x y I ye dxdy +∞ +∞ − + = ∫ ∫ , 并且由此证明 2 0 . 2 x e dx +∞ − π ∫ = 53. 设 f (x, y) 在[0,1]×[0,1]上 L 可积. 证明 1 11 00 0 (, ) (, ) . x y ∫∫ ∫∫ dx f x y dy dy f x y dx = 54. 设 f 在 [0, a] 上 L 可 积 , ( ) () . a x f t g x dt t = ∫ 证 明 0 0 . a a ∫ gdx fdx = ∫ . 提示: [, ] 0 ( ) ( ) () . a x a f t g x I t dt t = ∫ 55. 设 E 是 n R 上的 L 可测集, f 是 E 上有界的 L 可测函数, 并且存在 M > 0和 0 0. 证明 f 在 E 上 L 可积. 56. 设 f 是 1 R 上的 L 可积函数, α > 0. 证明 ( ) 0 a.e.. 1 f nx → nα 提示: 先证明 1 1 1 () . R n f nx dx nα ∞ = ∫ ∑ ∫ =
证明:{fn}是一致可积的当且仅当{n}满足 (i).{fn}是一致积分绝对连续的,即对任意E>0,存在6>0,使得当A∈, (4)1使得s4<+、则}是一致可积的 60.设(X)<+∞,{n}是可积函数列,∫为可测函数.证明: ()若{n}是一致可积的并且f一→f,则∫是可积的并且imn-/(d=0 )若f可积并且mn-d=0,则n}是一致可积的并且f一→f (in).利用这个结果,给出当八(X)<+∞时控制收敛定理的另一个证明 提示:利用定理3.25, Fatou引理和等式 ∫-fdu≤J-ld+∫Md+JMda 61.叙述并且证明关于复值可测函数积分的控制收敛定理
131 证明: { }n f 是一致可积的当且仅当{ }n f 满足 (i). { }n f 是一致积分绝对连续的, 即对任意 ε > 0, 存在 δ > 0, 使得当 A∈F , µ(A) 1使得 ∫ < +∞ ≥ sup . 1 f dµ p n n 则{ }n f 是一致可积的. 60. 设 µ(X ) < +∞, { }n f 是可积函数列, f 为可测函数. 证明: (i).若{ }n f 是一致可积的并且 f f , n →µ 则 f 是可积的并且 ∫ − = →∞ lim f f dµ 0. n n (ii).若 f 可积并且 ∫ − = →∞ lim f f dµ 0, n n 则{ }n f 是一致可积的并且 f f . n →µ (iii).利用这个结果, 给出当 µ(X ) < +∞时控制收敛定理的另一个证明. 提示: 利用定理 3.2.5, Fatou 引理和等式 . nn n C C A AA f −≤−+ + fd f fd f d fd µ µ µµ ∫ ∫ ∫∫ 61. 叙述并且证明关于复值可测函数积分的控制收敛定理
