第二节常数项级数的审敛法 巴一、正项级数及其审敛法 交错级数及其审敛法 四三、绝对收敛与条件收敛 巴四、小结思考题
王一、正项级数及其审敛法 1定义:如果级数∑u中各项均有n≥0 这种级数称为正项级数 2正项级数收敛的充要条件:S1≤S2≤…≤SnS 部分和数列{sn为单调增加数列 牛定理 正项级数收敛部分和所成的数列有界 上页
一、正项级数及其审敛法 1.定义: 如果级数 中各项均有 0， 1 = n n un u 这种级数称为正项级数. 2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn 定理 正项级数收敛 部分和所成的数列 有 界. n s 部分和数列 {sn } 为单调增加数列
庄3比较审敛法设∑4和∑均为正项级数, n=1 = 且n,≤vn(n=1,2,),若∑v收敛则un收敛; H-=1 n=1 oo 斗反之,若∑n发散,则Σ发散 证明()设 ∑vnun≤ n 2 H-=1 且sn=1+u2+…+矶n≤v1+v2+…+vn≤o, 即部分和数列有界 ∑un收敛 n 上页
且u v (n = 1,2,) n n ,若 n=1 n v 收敛,则 n=1 un 收敛； 反之，若 n=1 un 发散，则 n=1 n v 发散. 证明 n u u un 且s = 1 + 2 ++ = = 1 (1) n n 设 v , n n u v , 即部分和数列有界 . 1 收敛 = n un 设 和 均为正项级数， = =1 n 1 n n n 3.比较审敛法 u v n v + v ++ v 1 2
(2)设sn→>(n→∞)且un≤vn, 则an≥Sn>不是有界数列 ∑ν发散 定理证毕. n=1 推论:若∑u收敛(发散) nE 且n≤kan(n≥N(kan≤vn),则∑v收敛(发散) 比较审敛法的不便:须有参考级数 上页
n n 则 s (2) s → (n → ) 设 n , n n 且 u v → 不是有界数列 . 1 发散 = n n v 推论: 若 n=1 un 收敛(发散) 且 ( )( ) n n n n v ku n N ku v ,则 n=1 n v 收敛(发散). 定理证毕. 比较审敛法的不便: 须有参考级数
例1讨论P级数 111 2D3n+A+…+1+…的收敛性(P0) 1+ n 11 解设n,“n2n则P-级数发散 J n 工工工 设p>1,由图可知 1+ 十∴ 2n3 n P dx ≤1+ × I-X P 上页
例 1 讨论 P-级数 + p + p + p ++ p + n 1 4 1 3 1 2 1 1 的收敛性.( p 0) 解 设 p 1, , 1 1 n n p 则P −级数发散. 设 p 1, o y x ( 1) 1 = p x y p 1 2 3 4 由图可知 − n n p p x dx n 1 1 n p p p n s 1 3 1 2 1 = 1+ + ++ − + + + n n p p x dx x dx 1 2 1 1
=1+ 1+ (1-21)时,收敛 工工工 当p≤时,发散 重要参考级数:几何级数,P级数,调和级数 上页
= + n p x dx 1 1 ) 1 (1 1 1 1 −1 − − = + p p n 1 1 1 − + p 即 有界, n s 则P −级数收敛. − 当 时 发散 当 时 收敛 级数 1 , 1 , p p P 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数
例2证明级数∑ 是发散的 m√n(n+1) 证明 √n(n+1)n+1 而级数∑ 1 发散, n=11+1 级数∑1发散 n√n(n+1) 上页
例 2 证明级数 =1 ( + 1) 1 n n n 是发散的. 证明 , 1 1 ( 1) 1 + n n + n , 1 1 1 n= n + 而级数 发散 . ( 1) 1 1 = + n n n 级数 发散
4.比较审敛法的极限形式: 设∑un与∑v都是正项级数如果im=l, H=1 n=1 则(1)当0<l<+时,二级数有相同的敛散性; (2)当l=0时,若∑收敛则∑un收敛 =1 n-=1 牛(当l=+∞时若∑发散则∑发散; n=1 1- 1 上页
4.比较审敛法的极限形式: 设 n=1 un 与 n=1 n v 都是正项级数,如果 则(1) 当 时,二级数有相同的敛散性; (2) 当 时，若 收敛,则 收敛; (3) 当 时, 若 n=1 n v 发散,则 n=1 un 发散; lim l, v u n n n = → 0 l + l = 0 l = + n=1 n v n=1 un
证明(1)由lm“=l对于E= >0. n→>o1 2 彐N,当n>M时,-1nN) 2 由比较审敛法的推论,得证 上页
证明 l v u n n n = → (1)由lim 0, 2 = l 对于 N, 当n N时, 2 2 l l v l u l n n − + ( ) 2 3 2 v n N l v u l 即 n n n 由比较审敛法的推论, 得证
5极限审敛法 设∑u为正项级数 n=1 如果lmnn=l>0(或immn=∞), →0 n→)0 则级数∑un发散; n=1 牛如果有>1,使得mn存在 则级数∑un收敛 H=1 上页
设 n=1 un 为正项级数, 如果lim = 0 → nu l n n (或 = → n n lim nu ), 则级数 n=1 un 发散; 如果有p 1, 使得 n p n n u → lim 存在, 则级数 n=1 un 收敛. 5.极限审敛法：