1997年线性代数考研题 1.(97-1-03设A=4t3,B为三阶非零矩阵,且AB=O,则 由于B为三阶非零矩阵,且AB=O,说明B的每个列向量均为Ax=0的解,且 Ax=0存在非零解,故秩r(A4<3,即有=0,由此易得t=-3 2.(971-03设1=a2a=b2,a 则三条直线 a2x+bay+c2=0 其中呵+号≠02=123)交于一点的充要条件是 (A)吗,喁2,《线性相关 (B)喁,a,《线性无关 (C秩r({a,a,a3)=r(a,a)①D)a,,&线性相关,a,a线性无关 三条直线a1x+by+c1=0,a2x+b2y+c2=0,及a3x+b2y+3=0相交于一点的充要 -ay+c1=0 有惟一解,即r(a,a,&)=r(a1,c1)=2 3.(971)(1)设B是秩为2的5×4矩阵,媽1=(123),a2=(-11,4.-1)2, ar2=(-1.-8,9)是齐次线性方程组Bx=0的解向量,求Bx=0的解空间的一个标准正交 (2)已知=1是矩阵A=5a3的一个特征向量 (I)试确定参数a,b及特征向量所对应的特征值 (Ⅱ)可A能否相似于对角阵?说明理由
解(1)要求解空司的一个标准正交基,必须先确定此解空间的维数以及相应个数的线性 无关的解向(作为基底),一般来说解空间基底不唯一,因此所求标准正交基也不唯 因为秩r(B)=2,故解空间的维数为4-2=2又a1,a线性无关,故1,G2是解空间的基 A=a1=(12,3),1 4210 (A,A) (123)2 A√39 ,即为所求的一个标准正交基 (2)已知特征向量反求参数,可以直接利用定义A5=1,得到一个关于,a,b的方程 组,由此可解出A,a和b,A能否相似于对角阵更直接的判定方法是A的每个特征值的重数 C≥2)是否与其对应线性无关特征向量的个数一致 (I)由A2=1,得 1,即{5+a-3=几 1b-2-1 解得A=-1,a=-3,b=0 (Ⅱ)A=5-33.由 2 5A+3 3=(+ 0元+2 知几=-1是A的三重特征值.但秩r(-E-A=2,从而A=-1对应的线性无关特征 向量只有一个,故A不能相似于对角阵 4.(97105)设A是阶可逆方阵,将A的第i行和第/行对换后得到的矩阵记为B (1)证明B可逆; 解本题的关键是用初等矩阵来表示A、B之间的关系,若记E表示单位矩阵交换第 i行与第J行所得到的初等矩阵,则A的第行和第/行对换后的矩阵B=EA.注意,因 为是行变换,所以E应在左乘A (1因为4≠0及|B=-4≠0,故B可逆 (2)由B=EA
AB-1=A(EA=AA E=E=E 5.(97203)已知向量组a=(12-11),=(20.t,0),=(0,-4,5,-2)的秩为 解应填 12-11 由于秩r(Ga1,a)=2,则矩阵20t0的任一个三阶子阵的行列式的值为 即 t|=0,解得t=3 6.(97-205已知A=0 且A2-AB=,其中/是三阶单位矩阵,求 阵B 先化简.因为A=0,由A2-AB=左乘A2,得A-B=A B=A-A 102 从而B=0 7.(972.03)A取何值时,方程组{一巧+x3=2无解,有惟一解或有无穷多解? 并在有无穷多解时写出方程组的通解 解考虑到方程的个数与未知量的个数一致,可用克莱姆法则求解,当系数矩阵行列式 A=0时有惟一解,而当4=0时,可确定参数,最后转化为不含参数的线性方程组求 法1原方程组的系数行列式 11|=5x-2-4=(-1(5+4 故当元≠1且λ≠--时,方程姐有惟一解
当元=1时,原方程组为 2x1+x2-x2=1 x1-x2+x3=2 对其增广矩阵施行行初等变换 因此,当λ=1时,原方程组有无穷多解,其通解为 1+k(k为任意实数 (x1,x2,x2)2=(1-10)+k(011(k为任意实数) 当几=-4时,原方程组的同解方程组为 4x1+5x2-5x32=-10 对其增广矩阵施行行初等变换 由此可知当是=-4时,原方程组无解 法2对原方程组的增广矩阵施行行初等变换 A-11:2→2+2A-10:3 +22-10:3 45-5}-1 6-5+501-6(5+4009 于是,当λ=—-时,原方程组无解当λ≠1且≠一时,原方程组有惟一解 当A=1时,原方程组有无穷多解,其通解为
2=-1+k(k为任意实数) 或(x,x2,x3)2=(1-102+k(011(k为任意实数) 8.(97-3-03)若二次型f(x1,)=2x2+x2+2+2不互+场是正定的,则的 取值范围是 解应填-√2<t<√2 是正定的充要条件是对应的矩阵的各阶顺序主子式大于零,因此 t 解得 9.(97-3-03)设A,B为同阶可逆矩阵,则 (A)AB= BA (B)存在可逆矩阵P,使PAP=B (C)存在可逆矩阵C,使CrAC=B ①D)存在可逆矩阵P和Q,使PAQ=B 解应选D) 由题设AB可逆,若取P=B,Q=A,则PAQ=BAA=B,可见(D减成立 矩阵乘法不满足交换律,故(A)不成立:任意两个同阶可逆矩阵,不一定是相似的或合同 因此(B),(C均不成立 10.(97-3-06)设A为阶非奇异矩阵,a为n维列向量,b为常数,记分块矩阵 0 Aa P 其中是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵 (1)计算并化简PQ 2)证明:矩阵Q可逆的充分必要条件是arA-1a≠b
解本题的关键是对于含A的计算或证明可题,首先应联想到关系式A=AA AE (1)因为AA'=AA=|4E E Pe=-aA AV a'A"A+Aa-aAa+bA (2)由(1)可得 = A(b-aA 而P=P,且P|==0,故 e=lAkb-a) 由此可知,|≠0的充分必要条件为aA3a≠b,即矩阵Q可逆的充分必要条件是 a 1.(97-3-10)设三阶实对称矩阵A的特征值是1.2,3:矩阵A的属于特征值12的特 征向量分别是a=(-1.-112,a=(1-2.-1)2, (1)求A的属于特征值3的特征向量; (2)求矩阵A 解因为A为实对称矩阵,所以不同特征值的特征向量必定正交,由此可求出属于特征 值λ=3的特征向量.至于已3 所有特征值、特征向量反求A,可由 A(a,a,a)=(Aa,Aa2,Aa)=(4,22,a)=(1,a,a)42 A=(a,a2,a)4a3a,a)-2 (1)设A的属于特征值3的特征向量为a=(x1,为),因为对于实对称矩阵,属于 不同的特征值的特征向量相互正交,所以 a3=0和ac=0 即x1,x2,丐是齐次线性方程组
的非零解.解上列方程组,得基础解系为(1,01)2.因此A的属于特征值3的特征向量为 吗=k(.0)(为任意非零常数 (2今矩阵P=-1-20,则有PAP=020,即 0 由于P-=1 2 2 A=PO 020 003 设n阶矩阵 01 则A 解应填(-12- 各列对应元素相加后相等,把第2,…,n列加到第一列,有 000-1
13.(97-4-03设向量组,吗,线性无关,则下列向量组中,线性无关的是口 (A+,《2+,嘱- (B)喁+《,+喁,《+24+ D)+喁+,241-3a+22a,3a1+5a2-5 断一组向量的线性相关性,基本方法是定义.对于此类选择题,往往可直接观察到某 沉几组向量的线性组合为零(系数不全为零),则这些向量组线性相关,若无法观察出,最 (A):(1+a)-(a+&)+(a3-a)=0 (B):(《+a)+(2+)-(a+2a+a)=0 可见(A)、(B)中向量组线性相关,(C)、(D)不便直接观察到,对于(C),令 k1(a+2a)+k2(2+34)+k2(3+a)=0 〔+k)+(2k+2k2)22+(3k2+3k3)2=0 由于a,,线性无关,故 +A E 3k2+3k3=0 因上述齐次线性方程组的系数行列式p20=12≠0,故方程组有惟一解,即 k=k2=k=0.故(C)中向量线性无关 阵△14.(07403)非齐线性方程组Ax=b中未知量个数为x,方程个数为m,系数矩 的秩为r,则 (A)P=m时,方程组Ax=b有解 (B)r=n时,方程组Ax=b有惟一解 (C)m=n时,方程组Ax=b有惟一解 D)r<n时,方程组Ax=b有无穷多解 应 Ax=b有解的充要条件为:r(4=r(A}b).题设A为m×n矩阵,若r(A=m,相
Ax=b有解的充要条件为:r(4=r(41b).题设A为mXx矩阵,若r(A=m,相 当于A的m个行向量线性无关,因此添加一个分量后得(Ab)的m个行向量仍线性无关 即有r(4=r(A}b),所以Ax=b有解,故(A成立.对于(B)、(C)、(D均不能保证 r(A)=(A:b),也即不能保证有解,更谈不上有惟一解或无穷多解 15.(7-409)设矩阵A与B相似,且 A=24-2|,B=020 (1)求a,b的值; (2)求可逆矩阵P,使P-AP=B 解若A~B,则-4=1-B时任意均成立,由此即可求出a、b (1)A的特征多项式为 -42|=(2-2x-(a+32+3a-1 由于A-B,故A与B有相同的特征多项式,即-4=-B,于是 2)[22-(a+3)2+3(a-1)]=(-2)2(A-b) 2)当A=2时,求解齐次线性方程组(2I-Ax=0,其基础解系为G1=(1.-1,0)2, a2=(101)2 当λ=6时,求解齐次线性方程组(6r-A)x=0,其基础解系为y=(1,-2,3) P=(a,a,c)=-10-2 有 PAP=
