第九节周期为2L的周期函数 的傅里叶级数 周期为ΣL的周期函数的傅里叶级数 巴二、典型例题 小结思考题
生一、以L为周期的傅氏级数 2π兀 ∵T=21,∴0=m= 代入傅氏级数中 T l La cos nox tb signor 2 +∑( n 庄定理设周期为的周期函数∫(满足收敛 定理的条件则它的傅里叶级数展开式为 (x)=0+(an+:nt nTr nTtr 2 n-=1 上页
一、以2L为周期的傅氏级数 T = 2l, . 2 T l = = 定理 定理的条件 则它的傅里叶级数展开式 为 设周期为 的周期函数 满足收敛 , 2l f (x) ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n + = + = ( cos sin ) 2 1 0 a n x b n x a n n n = + + 代入傅氏级数中
其中系数an,b为 a nTr in-i/()cos i dx, (n=0,1,2,) Gf(r)sin 而dx,(n=1,2,…) (1)如果f(x)为奇函数,则有 f(x)=∑bsin nTtC n-=1 其中系数b为bn=f(x)sin,(n=1,2,…) 0
其中系数an , bn为 ( )cos , ( 0,1,2, ) 1 = = − dx n l n x f x l a l l n ( )sin , ( 1,2, ) 1 = = − dx n l n x f x l b l l n (1)如果f (x)为奇函数, 则有 ( ) sin , 1 = = n n l n x f x b ( )sin , 2 0 dx l n x f x l b b l n n 其中系数 为 = (n = 1,2, )
(2)如果f(x)为偶函数,则有 f(x)=+∑a,c0s nTur H-=1 其中系数a为an=2(x)cos nt dx 0 (n=0,1,2,…) ntr 上证明令1~1≤x≤1→-π≤z≤, 设(x2=r(k,=F(,F(o以m为周期 F(z)=+2(a, cos nz+b, sin nz ) 2 上页
(2)如果f (x)为偶函数, 则有 cos , 2 ( ) 1 0 = = + n n l n x a a f x dx l n x f x l a a l n n = 0 ( )cos 2 其中系数 为 (n = 0,1,2, ) 证明 , l x z 令 = − l x l − z , ( ) ( ) F(z), lz f x f = 设 = F(z)以2为周期. ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 a nz b nz a F z n n = + n + =
其中 F(z)cos nzdz, T兀 T F(sin nzdz TC :z=,F(z)=f(x) 庄f(=+(0wx+bs 2 n=1 工工 其中an= ngC f(r)cos xdx, n70 f(x)sin xdx 上页
( cos sin ) 2 ( ) 1 0 x l n x b l n a a f x n n n + = + = ( )sin . 1 ( )cos , 1 − − = = b F z nzdz a F z nzdz n 其中 n ( )sin . 1 ( )cos , 1 − − = = l l n l l n xdx l n f x l b xdx l n f x l 其中 a F(z) f (x) l x z = =
生三、典型例题 例1设∫(x)是周期为4的周期函数,它在—2,2) 上的表达式为f(4J0-2≤x<0 将其展 k0≤x<2 成傅氏级数 解∵l=2,满足狄氏充分条件 工工 2 Odx +kdx=k 0 2J-2 2J0 上页
二、典型例题 k − 2 x y − 4 0 2 4 例 1 设 f (x)是周期为 4 的周期函数,它在[−2,2) 上的表达式为 − = 0 2 0 2 0 ( ) k x x f x , 将其展 成傅氏级数. 解 l = 2, 满足狄氏充分条件. = + − 2 0 0 2 0 2 1 0 2 1 a dx kdx = k
n k cos"xdx =0.(n=1, 2, . 0 2 ngC k. sin-xdx =-(1-cos nT) 2 n元 2k 当n=1,3,5 =nπ 0当n=2,4,6,… f(x)=4+(sin +a sin ytr 1: 57x k 2k 十—SIn 十 2 252 (-00<x<+0o;x≠0,±2,±4,…) 圆回 上页
2 0 2 cos 2 1 xdx n k = 0, = 2 0 2 sin 2 1 xdx n bn k (1− cos ) = n n k , 0 2,4,6, 1,3,5, 2 = = = n n n k 当 当 ) 2 5 sin 5 1 2 3 sin 3 1 2 (sin 2 2 ( ) + + + = + k k x x x f x (− x +; x 0,2,4, ) an = (n = 1,2, )
例2将函数f(x)=10-x(5<x<10)展开成 傅氏级数 解作变量代换z=x-10, 5<x<10→-5<z<5, f(x)=∫(z+10)=-z=F(z), 工工工 补充函数F(z)=-z(-5<z<5)的定义, 令F(-5)=5,然后将F(z)作周期延拓(T=10) 这拓广的周期函数满足收敛定理的条件 且展开式在(-5,5内收敛于F(z) 上页
例 2 将函数 f (x) = 10 − x (5 x 10)展开成 傅氏级数. 解 作变量代换 z = x −10, 5 x 10 −5 z 5, f (x) = f (z + 10) = −z = F(z), 补充函数 F(z) = −z (−5 z 5)的定义, 令 F(−5) = 5, 然后将F(z)作周期延拓(T = 10) 这拓广的周期函数满足收敛定理的条件, 且展开式在(−5, 5)内收敛于F(z)
b,==L(])sin an=0,(n=0,1,2, F(z) dz 2 5051 15 =(-1) 10 ,(n=1,2,…) n F(x)=10y(-1 n nTk SIn (-5<z<5) 工工工 T H-=1 n 5 10-xs10=(-1)".,m sin[(x-10) n=1 n 5 10(-1)"n兀 n (5<x<15) T n=1 n 5 王页下
x y F(z) − 5 0 5 10 15 a = 0, (n = 0,1,2, ) n = − 5 0 2 ( )sin 5 2 dz n z b z n , 10 ( 1) = − n n (n = 1,2, ) , 5 sin 10 ( 1) ( ) 1 = − = n n n z n F z (−5 z 5) = − − − = 1 ( 10)] 5 sin[ 10 ( 1) 10 n n x n n x . 5 sin 10 ( 1) 1 = − = n n x n n (5 x 15)
另解5为(10-x)cosa 尽=154ms(m=12-) nTtr 5 0~5 5(0-x)dx=0, n 5(10-r)sin 15 工工工 4=(切 nitr ,(=1,2, 10 故∫(x)=10-x=∑ nTt sInx -=1 n 5 (5<x<15) 圆回 上页
另解 = − 15 5 5 (10 )cos 5 1 dx n x an x = − 15 5 5 (10 )sin 5 1 dx n x b x n − = 15 5 15 5 5 cos 5 1 5 2 cos dx n x dx x n x = 0, = − 15 0 5 (10 ) 5 1 a x dx = 0, , 10 ( 1) n n = − (n = 1,2, ) = − = − = 1 5 sin 10 ( 1) ( ) 10 n n x n n 故 f x x (5 x 15) (n = 1,2, )