第十节傅里叶级数的 复数形式 一、复数形式的标准形式 四二、小结
、复数形式的标准形式 以2L为周期的函数的傅里叶级数为 王f(x)=份+∑a n1a cos+bm, sin-) : 工工工 n74 an=l,f(x)cos dx(n=0,1,2,… nu b f(rsin dx(n=1,2,3,… 上页
以2L为周期的函数的傅里叶级数为 ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n = + + = ( )cos ( 0,1,2, ) 1 = − dx n = l n x f x l a l l n ( )sin ( 1,2,3, ) 1 = − dx n = l n x f x l b l l n 一、复数形式的标准形式
代入欧拉公式 e"te it it e cost= SInt= 2 2i =“o+an01 nzN ngc f(r) +b 2 n SIn n=1 nTA nIN e 十e e e 2 n 2 2 a an-ibun nUx nIEx = p+∑ 十 attone 2 2 2 = 上页
代入欧拉公式 , 2 cos it it e e t − + = , 2 sin i e e t it −it − = ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n = + + = = − − − − = + + 1 0 2 n 2 2 l n x i l n x i l n n x i l n x i n e e ib e e a a = − + + − = + 1 0 2 n 2 2 l n x i l n n n x i n n e a ib e a a ib
2 2 n1A 17N (n=1,2,3,) =C+∑n2e1+C-ne n= 于是有f(x)=∑Cne1,傅里叶级数的复数形式 n=-0 c=2c常(=012-) 傅里叶系数的复数形式 上页
(n = 1,2,3, ) = − − = + + 1 0 n l n x i n l n x i n C C e C e , 2 0 0 a 令C = , 2 n n n a ib C − = , 2 n n n a ib C + − = ( ) , l n x i n n f x C e =− 于是有 = ( ) ( 0, 1, 2, ) 2 1 = = − − f x e dx n l C l l l n x i n 傅里叶系数的复数形式 傅里叶级数的复数形式
例设∫(x)是周期为2的周期函数,它在[-1,1) 上的表达式为∫(x)=e,将其展成复数形式 庄的傅氏级数 解Cn=1门1cem=门;e -(1+inz)x dx 11-in兀r_1 2 e cos i元-coSM元 21+n2丌 (-11-nπsinh 2 1+n2兀 上页
例 设 f (x)是周期为 2 的周期函数,它在 [−1,1) 上的表达式为 x f x e − ( ) = ,将其展成复数形式 的傅氏级数. 解 − − − = 1 1 2 1 c e e dx x in x n − − + = 1 1 (1 ) 2 1 e dx in x [ cos cos ] 1 1 2 1 1 2 2 e n e n n in − + − = − − sinh1, 1 1 ( 1) 2 2 n n in + − = −
f(x)=∑(-1) I+n22 sinh k
sinh1 . 1 1 ( ) ( 1) 2 2 n in x n e n in f x + − = − + =− (x 2k + 1,k = 0,1,2, )
士 小结 nbA 傅里叶级数的复数形式∫(x)=∑Cne, 傅里叶系数的复数形式 n 21J-1 f(x)ex(n=0,±1,±2,) 王注意:傅里叶级数的两种形式,本质上是一样 的.复数形式较简洁且只用一个算式计算系数 上页
二、小结 傅里叶级数的复数形式 ( ) , l n x i n n f x C e =− = ( ) ( 0, 1, 2, ) 2 1 = − = − f x e dx n l C l l l n x i n 注意:傅里叶级数的两种形式，本质上是一样 的．复数形式较简洁且只用一个算式计算系数． 傅里叶系数的复数形式
练习题 设∫(x)是周期为2的周期函数,它在[-1,1)上的 表达式为f(x)=e.试将∫(x)展开成复数形式的傅 里叶级数. 上页
练 习 题 里叶级数． 表达式为 ．试将 展开成复数形式的傅 设 是周期为 的周期函数，它在 上 的 ( ) ( ) ( ) 2 [ 1,1) f x e f x f x − x = −
练习题答案 f(x)=∑(D0-lz)s single n℃ n=0 l+(n丌) (x≠2k+1,k=0,±1,+2,…) 上页
练习题答案 ( 2 1, 0, 1, 2, ) sinh1 . 1 ( ) ( 1) (1 ) ( ) 2 + = + − − = =− x k k e n in f x n i n x n