2000年线性代数考研题 1.(001-03已知方程组23a+2x2|=3无解,则 应填-1 由题设必有 23a+2=(3-a)(a+1)=0 即a=3或a=-1.当a=3时 1)(1 A=235:3|→0-13:1→0-13:1 01-31-1)(000:0 显然此时r(A=r(A)=2,方程组有解,因此正确答案必为a=-1 2.(001-03)设维列向量组a,…《m<n)线性无关,则n维列向量组 月,…,风2线性无关的充分心要条件为 (A)向量组a1…可由向量组A1…R线性表示 (B)向量组月,…,2可由向量组a1…&2线性表示 (C)向量组a1,…c与向量组A,…,只等价 ①D)矩阵A=(1,…,&)与矩阵B=(月,…,)等价 解应选D) (A)、(B)、(C均不是月,…,R线性无关的必要条件例 A=(1),则A≠0续性天关但(A.、、()均不成立因此只 有①D为正确答案事实上,月,…,R线性无关,即 r(A,…)=m台r(月,…,月n)=m=(G1,…an)台r(A=r(B) 即A、B等价 3.(001-0)设矩阵A的伴随矩阵A 1010 且 ABA=BA1+3E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵B
解本题与A有关,立即联想公式AA=AA=4E 法1由A=AA=A4E推出f=4,即A=8,得|4=2 又给等式ABA1=BA1+3E右乘A得AB=B+3A,再左乘A得 A AB=AB+3AA 于是有 AB=A'B+3AE, Bp(2E-A)B=6E 又2E-A为可逆矩阵,于是B=6(2E-A")-1.由 000 1000 0100 0100 2E-A"= 有(2E-4)2=10 6000 0600 6060 030-1 法2由A=A=4E推出=4,即A=8,得4=2.又有 0100 0200 A=4kA)2=2(4 1010=2020 88 可见A-E为可逆矩阵,于是由(A-EBA1=3E有 B=3(A-E)-A 1000 0100 由A-E=-2010得(4-E)=2010,因此 0 010 4 6000 010010200 0.|-2020-6060 3
4.(00-1-08某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统 计,然后将熟练工支援其他生产部门],其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、 老非熟练工经过培训及实践至年终考核有二成为熟练工.设第n年一月份统计的 熟练工和熟练工所占百分比分别为x和y,记成向量x (1)求与的关系式并写成矩阵形式 )证{,第=(是A的两个续性无关的特征向量,并求出相应 的特征值 解(1)题设可列出与的关系式;(2已知特征向量求特征值 般用定义式A7=A7;(3)求A可通过对角化实现.具体求解过程如下 =死+5x+) 化简得 于是A (2今P=(,)=(11,则由P=5≠0知,线性无关,因为 A7=(1)=,故列为A的特征向量,且相应的特征值A=1 (/2,故刃为A的特征向量,且相应的特征值 又因为A72=1|= A 2
A10 A 22 02 1000 2300 5.(002-03)设A= 450 ,E为4阶单位矩阵,且 67 B=(E+A)-1(E-A,则(E+B)1=_ 1000 解应填 又 A2=aBaB=BaB=2A, A+=8A 代入原方程,得 164x=84x+16x+y,即8A-2B)x=y 令x=(x,x2,x3)2,代入上式,得到非齐次线性方程组 x2-2x3 对增广矩阵施行初等变换 2-10:0→01-211 于是所求方程的通解为 x=0+2(k为任意常数)
由B=(E+A)(E-4知(E+A)B=(E-A),展开得 A+B+AB=E,于是 AB+A+B+E=2E, EN-(A+E(B+E)=E (B+E)2+E)=0-230 6.(00.2.06)设a=2,B= y=o, A=aF, B=Ba, 其中B是B的转置,求解方程 2BAx=Ax+B x+y 注意本题中A为矩阵,B为数.由题设得 A=201.,0) 10B=(1,0)2|=2 7.(0020已知向量组A=1,兵=2,具=1与向量组 a=2,a2=0,c=6具有相同的秩,且可由a1a,线性 表示,求a,b的值 解由题设,可先求出a3,a2,&的秩为2,从而A,月,月线性相关,由此 可得A,B2,B川=0,导出a,b之间的一个关系式,再根据A可由a1,线 性表示即可导出a,b之间的另一关系式,从而求出a,b的值 法1《和α线性无关,&=3+2c,所向量组a,,《线性相 关,且秩为2,a,是它的一个极大无关组.由于向量组月,月,月与 a1a,具有相同的秩,故A,月,月线性相关,从而 由此解得a=3b
可由aa,线性表示,从而可由,线性表示,所以,鸟 线性相关,于是 201l=0 解之得2b-10=0.于是得4=15b=5 法2因为兵可由,叫,线性表示,故线性方程组 有解,对增广矩阵施行初等行变换: 39}b 39!b 206:1 6-1211-2b 012 →012 012 000;3-28-1 由非齐次线性方程组有解的条件知 =0,解得b=5 又1和2线性无关,c=3a+2a,所以向量组a1,a2,c2的秩为2.由 题设知向量组月,,的秩也是2,从而 解之得a=15 s.003030若四阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为1 行列式B2-E 应填24
因为A~B,所以B的特征值为 2345 于是B-1的特征值为2,34,5 从而B1-E的特征值为12,34.故B-E=1234=24 3-03)设A为阶实矩阵,A是A的转置矩阵,则对于线性方程 0和(Ⅱ):A1Ax=0,必有口 (A)(Ⅱ)的解是(I)的解,(I)的解也是(Ⅱ)的解 (B)(Ⅱ)的解是(I)的解,但(I)的解不是(Ⅱ)的解 (C)(I)的解不是()的解,(Ⅱ)的解也不是(I)的解 (D)(I)的解是(I)的解,但()的解不是(I)的解 显然(I)的解是(Ⅱ)的解.反过来,设x为(I)的解,即AA ATAx=(Ax)2(4x)=0,从而有Ax=0,即x也为(I)的解,也就是(Ⅱ) 的解是(I)的解.因此应选(A 10.(003-08设向量组a1=(a,2,10)2,a=(2,1,52 2=(-114)2,B=(1b,)2.试:当a,b,c满足什么条件日 (1)B可由a,,《线性表出,且表示惟一? (2)B不能由a,《,&线性表出? (3)月可由娲1,,G线性表出,但表示不惟一?并求出一般表示式 解β是否可由a,α,&銈性表示,相当于对应非齐次线性方程组是否有 解的可题,可转化为方程组的解的情形进行讨论 法1设有一组数k1,k,k,使得 k22+k 程组的系数行列式 (1)当a≠-4时,|A≠0,方程组有惟一解,月可由a,a,a线性表出,且表示 (2)当a=-4时,对增厂矩阵作行的初等变换,有 若3-c≠1,则秩(A)≠秩(,方程组无解,β不能由,,《线性表出
(3)当a=-4,且3-c=1时,秩(A=秩(④)=2<3,方程组有无穷多 解,β可由吲,,性表岀,但表示不惟一·解得 k1=t,k2=-2t-b-1k3=2b+1(t为任意常数) 因此,有 法2设有一组数k1,k,k3,使得 ha+k2a+ka=B 对方程组的增广矩阵A作初等行变换,有 A=211b→0-2 ak (1)当-2-≠0,即a≠-4时,r(A=r(A)=3,方程组有惟一解,B 可由,a2,&线性表出,且表示惟 (2)当-2-2=0,即a=-4时,对增广矩阵作初等行变换,有 10 b-1 0001-3b+c 当3-c≠1时,r(≠r(④),方程组无解,β不能由a,,《线性表出 (3)后方法1 11.(00-3-09)设有n元实二次型 f(x1,x2…,x)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x2)2+…+(x21+an1x)2+(x1+an可) 其中a2(=12,…,n)为实数.试可:当a1a2…a2满足何种条件时,二次型 f(x1,x2…,x)为正定二次型 解由题设条件知,对于任意的x,x2,…,x2,有 f( ≥0 其中等号成立当且仅当
x2-1+ax-12= 方程组(1)仅有零解的充分必要条件是其系数行列式 00 01 1+(-1)a12…an≠0 所以,当1+(-1)”a1a2…an2≠0时,对于任意的不全为零的x1,x,…,2,有 f(x.x, 即当a1a2…an≠(-D2时,二次型∫(x,x2,…,x)为正定二次型 12.(004-03)已知四阶矩阵A相似于B,A的特征值为2,345.E为四 阶单位矩阵,则-E= 解应填24. 111 因为A~B,所以B的特征值为2了45·于是B的特征值为2345, 从而B1-E的特征值为1234.故|B1-E=1234=24 13.(004-03)设,c,些是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向 且秩r(=3,a=(1234),a+&=(,23)2,c表示任意常数,则 徒性方程组Ax=b的通解x=[ (A2+ 0123 由题设a-(a+、2是Ax=0的基础解系,故Ax=b的通解为 (其中G=立为任
14.(004-09)设矩阵A=x4y,已知A有三个线性无关的特 征向量,A=2是A的二重特征值.试求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角形矩 阵. 解因为A有三个线性无关的特征向量,A=2是A的二重特征值,所以 对应于=2的线性无关的特征向量有两个,故秩(2E-4)=1 经过初等行变换 2E-A=-x-2-y→0x-2-x-y 00 于是,解得x=2,y=-2 矩阵A=x4y,其特征多项式 由此得特征值A=2=2,2=6 对于特征值为1=2=2,解线性方程组(2E-A)x=0,有 E-A=-2-22→000 000 对应的特征向量为 a=(1-10)2,a2=(1.0)2 对于特征值為3=6,解线性方程组(6E-A)x=0,有 E-A=-222 331 000 对应的特征向量为吗=(,-23),令
