§1.2 Legendre多项式的性质 +4 一、母函数关系式 注:若v(x2)=∑F(x) 则称(x,)为Fn(x)的母函数 2=3( v1-2xt
§1.2Legendre多项式的性质 一、母函数关系式 q r l + 4pe 0 d M (r,q ,j) ( ) ( ) 0 1 , 1 2 1- 2 l l l P x t t xt t ¥ = = < å + * ( ) ( ) ( ) ( ) , , n n n n w x t F x t w x t F x 注：若 = å 则称 为 的母函数
物理背景:设在单位球北极有电量为 4s的正电荷则在r<1内任一点电位x满足 △=0(A)r<1 令(r,0)=R(r)⊙() 则△u=0→ r2R"+2rR-l(+1)R=0 -x)y2xy+1(+)y=0[x=cos0,y(x)=(0)
物理背景：设在单位球北极有电量为 4 1 0 pe 的正 荷电 则, 在r < Du = < 0 1 ( A r) 令u (r,q q ) = Q R r( ) ( ) 则Du = ®0 ( ) 2 r R¢¢ ¢ + 2rR - l l R + = 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1- x y ¢¢ ¢ - 2xy + l l +1 y = 0,é ù ë û x = cos , q q y x = Q 内 任 一 位 点 电 满u 足
R, (=cr+d, rt+) y(r)=P(r) ∴P<上:L (,0)=∑crP(x)( 米 =0 (这一结果后面例子要用) 又如图所示:d arcose+r 1 ∵X=cosO ∑crP(x)B) 2rx t l=0
( ) l - 1 (l ) Rl l l r c r d r + = + ( ) ( ) l y x = P x ( ) ( ) ( ) 0 1: , l l l l r u r q c r P x ¥ = \ < = å * * (这一结果后面例子要用) 又如图所示: 2 1 1 1- 2 cos u d r r q = = + ( ) ( ) ( ) 2 0 1 cos 1- 2 l l l l x c r P x B rx r q ¥ = = \ = å + Q
取x=1, 1 =∑cr 2rtr 21=0 即,=∑ 1-r1=0 亦即∑r=∑cr,c=1=0 =0 =0 于是 ∑P(x)r,(r<1) 2rx+r 更一般 √-2x+12 ∑P(x)t,1<1
2 0 1 1, 1- 2 l l l x c r r r ¥ = = = å + 取 ( ) 0 1 1 1- l l l c r r r ¥ = 即 = < å Q ( ) ( ) 2 0 1 , 1 1- 2 l l l P x r r rx r ¥ = = < å + 于是 0 0 , 1, 0,1,... l l l l l l r c r c l ¥ ¥ = = 亦即å å = º = ( ) 2 0 1 : , 1 1- 2 l l l P x t t xt t ¥ = = < å + 更一般
此式的成立与的选取无关,即将换成k或m仍成立。只要 k,m=0,1,2, 问:能否用其他方法证明此式? 从数学上看此式右边是左边 的泰勒展开,其中/(是展系数故 ()求出左边以为中心的解析圆M<士y2 (2)在此园内将 进行T展 art ()求其展开系数,与P(x)已知的形式 对照若一致即证明
(此式的成立与l的选取无关，即将l换成k或m仍成立。只要 k,m=0,1,2,…) 问：能否用其他方法证明此式? P ( ) x T l 答： 上看此式右 是左 的泰勒展 ，其中 是 展系 故 从数学 边 边 开 数 ( ) 2 1 .求出左边以0为 圆 中心的解析 t < ± x x -1 ( ) 2 1 2 1 - 2 T rt t + .在此 行 圆内将 进 展 (3 .) P x( ) l 求其展 系 ，与 已知的形式 照若一致即 明 开 数 对 证
用途:可用它研究和导出P(x)的其他 性质。称为母函数法 二、递推公式 (1+(x2+(x)+(30() (2)(2+)9(x)=P1(x)-P(x)(2) 证明思路: ①.可用 Legendre表达式证,比较繁琐
用途：可用它研究和导出 的其他 性质。称为母函数法。 P x l( ) 二、递推公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 -1 . l +1 Pl+ x - 2l +1 xPl l x + = lP x 0 1 (2).(2l + = 1) Pl ( x) Pl l ¢ ¢ +1 ( x) - 2 P x -1 ( ) ( ) 证明思路： ①.可用Legendre表达式证，比较繁琐
②.可用母函数法,比较简便 证明:(1)4(*) x-t ∑P(x) 2xt+1 两边都乘上(-2x+),并再用() (x-)∑2(x)=(2x+2)∑B(x)
②.可用母函数法，比较简便 证明：(1) ( ) ( ) -1 3 2 0 2 - 1- 2 l l l x t P x lt xt t ¥ = = å + ( ) 2 两边都乘上 1- 2xt t + ，并再用(*) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 -1 0 0 - 1- 2 l l l l l l x t P x t xt t lP x t ¥ ¥ = = å å = + d dt (*)
即:x∑P(x)1-∑P(x)14= ∑P(x)-2x∑(x)t+∑P(x) =0 1:xP(x)-B(x)=(+1)1-2xB+(1-1)P 即(7+1)P1-(21+1)xP(x)+P1(x)=0 问:如何证(2)?答: d(*) 2xt+t )32
( ) ( ) 1 0 0 - l l l l l l x P x t P x t ¥ ¥ + = = 即: å å = ( ) ( ) ( ) -1 1 0 0 0 - 2 l l l l l l l l l lP x t x lP x t lP x t ¥ ¥ ¥ + = = = å å å+ ( ) ( ) ( ) ( ) -1 1 -1 : - 1 - 2 -1 l l l l l l t xP x P x = l + + P+ xlP l P 即(l +1) Pl+1 - (2l +1 0 ) xPl l ( x) + = lP x -1 ( ) 问：如何证(2)？答： ( ) ( ) 3 2 0 2 1 - 2 l l l t P x t xt t ¥ = = å ¢ + d dt (*)
1()=(-2x+)P(x) :P(x)=21(x2xP(x)+Pm(x)(3) dx ():(+1)m(x)(1+1)(x)-(21+)xP( 17(x)=0 (4) 由(4)xP(x)=P() 2l+112/+1 代入(3)即证(2)
( ) ( ) ( ) 2 0 0 1- 2 l l l l l t P x t xt t P x t l ¥ ¥ = = å å = + ¢ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 -1 : - 2 3 l l l l l t P x P x xP x P x + + = + ¢ ¢ ¢ (l +1) Pl ¢ ¢ +1 ( x) - (2l + + 1) Pl l ( x) - (2 1 l ) xP x( ) ( ) ( ) -1 0 4 l + = lP x ¢ 由(4) ( ) ( ) 1 -1 1 - - - 2 1 2 1 l l l l l l xP x P x P P l l + + ¢ = ¢ ¢ + + 代入(3)即证(2) ( ) 1 : d dx
用途:①可用低阶P(x)求高阶P(x) 如:已计算P(x)=1,P(x)=x 则取(1)中=1: 2乃2(x)-3xP(x)+P(x)=0 →B(x)=2[3(x)3(x)=(3x-2) ②可用(2)计算含P1(x)的积分 如(=m()
用途:①可用低阶 Pl l ( x)求高阶P x( ) ( ) ( ) 0 1 如：已计算P x = = 1, P x x 则取(1)中l=1有： ( ) ( ) ( ) 2 1 0 2P x - 3 0 xP x + = P x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 1 1 3 - 3 -1 2 2 ® P x = = é ù xP x P x x ë û ②可用(2)计算含 ( ) l p x 的积分 ( ) ( ) ( ) 1 -1 1 - 2 1 b b l l l a a P x dx P x P x dx l + = é ù ¢ ¢ ò ò ë û + 如：