§1.3定解条件 引入定解条件的必要性: 1.从物理的角度看:物理方程仅能表示 一般性,要个性化物体的运动需要附 加条件 2.从数学的角度看:微分方程的解的任 意性也需附加条件来确定这些附加的 件,就是初始条件和边界条件,统称 为定解条件
§1.3 定解条件 一、 引入定解条件的必要性： 1.从物理的角度看：物理方程仅能表示 一般性，要个性化物体的运动需要附 加条件。 2.从数学的角度看：微分方程的解的任 意性也需附加条件来确定这些附加的 件，就是初始条件和边界条件，统称 为定解条件
二、初始条件: 1、定义: 我们在求解含有时间变量t的数理方程 时,往往必须追溯到某个所谓“初始”时刻的 状况,我们称物理过程初始状况的数学表 达式为初始条件 如弦振动 l1=0(x) u1l=0=V(x)
二、初始条件： 我们在求解含有时间变量t的数理方程 时，往往必须追溯到某个所谓“初始”时刻的 状况，我们称物理过程初始状况的数学表 达式为初始条件 如弦振动 î í ì = = = = | ( ) | ( ) 0 0 u x u x t t t y j 1、定义：
2、注意: (1)整个系统初始状况 如图所示 则初始条件为 121 2h/1)x0≤xs1/2 t=0 (2h/)-x)1/2≤x≤l 0
2、注意： (1) 整个系统初始状况； 如图所示， 则初始条件为 ï î ï í ì = î í ì - £ £ £ £ = = = | 0 (2 / )( ) / 2 (2 / ) 0 / 2 | 0 0 t t t u h l l x l x l h l x x l u
(2)时间t的n阶方程需要n个条件: 如 l|=0=(x) ln=alx+f→ 1|==V(x) l=D△+f→ll=0=0(x) 边界条件: 1、定义 我们在求解方程时要考虑边界状况,我们称物理 过程边界状况的数学表达式为边界条件 例如: l(x,t)<-l(x±8,t)<l(x±26,1) 延伸 l(±a,t
(2) 时间t的 n阶方程需要n个条件： 如： î í ì = = = + ® = = | ( ) | ( ) 0 2 0 u x u x u a u f t t t tt xx y j | ( ) 0 u D u f u x t = D + ® t= = j 三、边界条件： 1、定义： 我们在求解方程时要考虑边界状况，我们称物理 过程边界状况的数学表达式为边界条件 例如： ( , ) ( , ) ( , ) ( 2 , ) u a t u x t u x t u x t ¬¾ ¾¾ ± ¬ ± ¬ ± 延伸 e e
2、三类边界条件: (1)第一类边界条件: 又称为狄利克莱( Dirich|et)条件 l边=(M,1)<已知 导热:l=e 如:杆振:u-0=0,l1=0
2、三类边界条件： (1) 第一类边界条件： 又称为狄利克莱（Dirichlet）条件 u |边 = f (M ,t) ¬已知 如： t x l u T e - = = 0 导热： | | 0, | 0 杆振：u x=0= u x=l =
2)第二类边界条件: 又称为诺依曼( Neuman)条件 ln边=f(M,)←已知 如图所示 F)一段单位面积受力 △ p(-△x,1)·s+F.s= DApu Ax→>0:P(,)=F,E|==F F/E,F=0自由
(2) 第二类边界条件： 又称为诺依曼（Neuman）条件 un |边 = f (M ,t) ¬已知 如图所示： Dx tt - r(l - Dx,t)×s + F ×s = ADxru F x u x P l t F E x l = ¶ ¶ D ® = = 0 : ( , ) , | ux | x=l = F / E, F = 0自由 F(t)一段单位面积受力
又如杆的导热问题: ax=端流出热流v即aw( bx=端流入热流V4Ou,V() cx=0端流入热流v即 au V/(t) (3)第三类边界条件: 又称为混合边界条件 (n+h2)边=f(M,1)<已知 如牛顿冷却问题:
又如杆的导热问题： a. x = l端流出热流y b. x = l端流入热流y c. x = 0端流入热流y k t x u x l ( ) | y = - ¶ ¶ 即 = k t x u x l ( ) | y = ¶ ¶ 即 = k t x u x ( ) | 0 y = - ¶ ¶ 即 = (3) 第三类边界条件： 又称为混合边界条件 (u + hun ) |边 = f (M ,t) ¬已知 如牛顿冷却问题：
kux le=(uks=uoh H x」x=l 杆的纵振动问题: 若一端固定,一端与弹簧相连 l1=0=0 P(-△x1)s+F=p△x+t P(,1)s=-kl (l2+hu)l==0
杆的纵振动问题： 若一端固定，一端与弹簧相连 | 0 u x=0 = - P(l - Dx t)×s + F = rsDxu + t 1 x l P l t s ku = - = ( , )× | \ ( + ) | = 0 x x=l u hu - kux | x=l = (u | x=l -u0 )H 0 [ u ] u H k \ u + x x=l =
3、注意: (1)区别边界条件和外源 例方程ln=a2l-[+门]?f=? 力F是外力、初始条件、还是边界条件?
3、注意： (1) 区别边界条件和外源 [ ] ? ? 2 方程 u tt = a u xx + f f = 力F 是外力、初始条件、还是边界条件？ 例:
解:a.不是初始条件 因为虽F开始时有,但并未说 以后就撒去 b.不是源 因为源应在系统内部,始终存在。 dr lsis E F ∴ E 是边界条件
解：a. 不是初始条件 b. 不是源 因为源应在系统内部，始终存在。 c. F x u E x l = ¶ ¶ = | E F \ux | x=l = 是边界条件 因为虽 F开始时有，但并未说 以后就撤去。 t0=F >t