§5.2 Poisson方程的边值问题 PsOm方程的边值问题均可表示为 A=-(M),M∈(1 c—+b g(M)
§5.2 Poisson方程的边值问题 Piosson方程的边值问题均可表示为 ï î ï í ì = ú û ù ê ë é + ¶ ¶ D = - Î ( ) (2) ( ) , (1) u g M n u u h M M s a b t
其中当a=0,为狄氏函数β=0为 Newmen问题 a≠,β≠0为混合问题为用格林函数法求解这 类问题需要先导出它们的积分公式,为导出 它们的积分公式需先引入导出积分的工具 格林公式 格林公式 1、为何引入格林公式 (1)积分公式所谓积分公式即解的积分表达式
格林公式 它们的积分公式需先引入导出积分的工具 类问题需要先导出它们的积分公式，为导出 为混合问题 为用格林函数法求解这 其中当 为狄氏函数 为 问题 - - ¹ ¹ = = , 0 , 0, ; 0 ; a b a b Neumen 一、格林公式 1、为何引入格林公式 (1)积分公式:所谓积分公式即解的积分表达式
若:=f(x)→y=f(xtx du= dx+dy=f(x, y) 则n(xy)=(x)t 挂上积分号将未知函数从微分号下解脱出来, 若不能直接积分,分部积分可使问题向前推 进一步
f x y f x dx dx du ò 若: = ( ) ® = ( ) òò = = ¶ ¶ + ¶ ¶ = u x y f x y dxdy dy f x y y u dx x u du ( , ) ( , ) ( , ) 则 进一步 若不能直接积分，分部积分可使问题向前推 挂上积分号将未知函数从微分号下解脱出来
如 dy e cos x d x 则 y(x)=e cos xdx= cos xde' coSxe+e sin xdx coSxe +sin xe -e cosxdx e cosxdx=-cosxe+sine
e x dx dy x 如： = cos ò ò ò = + = = xe e xdx y x e xdx xde x x x x cos sin ( ) cos cos 则 ò = xe + xe - e xdx x x x cos sin cos [ ] x x x e xdx cosxe sine 2 1 \ cos = + ò
(2)我们要求解的三类数理方程中均含有 格林公式是将未知函数从微分算符△下 解脱出来的工具 即△wxy,2) 对于△v=h(M,如何得v(M? 于是自然想到由 L△Nvdr导出格林公式
. , 解脱出来的工具 格林公式是将未知函数 从微分算符 下 我们要求解的三类数理 方程中均含有 D D 2 2 2 2 2 2 ( , , ) y z v x v v x y z ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ 即 D = 对于 Dv = -h (M), 如何得 v (M)? (2) 导出格林公式 于是自然想到由 ò D t u vdt
2.格林第一公式 设(x,y,:和v(x,y,)在中具有连续的二阶 导数在τ上具有连续一阶导数 则:[△r=V.nNr-[VaV uVv.do-Vu VIdt
导数在 上具有连续一阶导数 设 和 在 中具有连续的二阶 - t u(x, y,z) v(x, y,z) t ò ò ò D = Ñ × Ñ - Ñ ×Ñ t t 则: u vdt (u v)dt u vdt ò ò = Ñ × - Ñ ×Ñ s t u v ds u vdt r 2. 格林第一公式
uAvdt+ Vu VIdt lVv·dG o on 同样:|Mndt+|w:Whtr=/,a —0 (4 o On
ò ò ò = Ñ × \ D + Ñ ×Ñ s t t s t t r u v d u vd u vd (3) ò ¶ ¶ = s ds n v u : (4) ò ò ò ¶ ¶ D + Ñ ×Ñ = t t s t t ds n u 同样 v ud u vd v
3、格林第二公式 l△d-w△t=(x-x=)(5) on an 意义:1:将1"2△n2△n的点与17 的边 an on 值联系起来这意味着若知,,Ou0的边值 就有可能求得△=-或△v=-h的值
( ) (5) ò ò ò ¶ ¶ - ¶ ¶ D - D = t t s t t ds n u v n v u vd v ud u 3、格林第二公式 就有可能求得 或 的值 值联系起来这意味着若 知 的边值 意义 将 的点与 的边 u h v h n v n u u v n u n v u v u v u v D = - D = - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ D D , , , :(1) , , , , ,
2)u,对称 3利用上式显然不足以解△=-h(M),因为方程中 含有两个未知函数、v。若、已知一个, 如已知v,△v=0,则由上述格林公式, 就有可能求得△v=-h(M)的解。 为此我们引入点源函数G(M,M0因为 若G易求(后面我们专门会讲G的求法)则 对(x,y,z)和G(c,y,z)使用 Green第二公式 就有可能导出求 poisson方程的边值问题 的解
(2)u, v对称 的解 就有可能导出求 方程的边值问题 对 和 使用 第二公式 若 易求 后面我们专门会讲 的求法 则 为此我们引入点源函数 因为 Poisson u x y z G G M M ( , , ) G(c, y, z) Green G ( ) ( , ) 0 就有可能求得 的解。 如已知 则由上述格林公式， 含有两个未知函数 、 。若 、 中已知一个 利用上式显然不足以解 因为方程中 ( ) , 0, , (3) ( ), u h M v v u v u v u h M D = - D = D = -
二、积分公式-格林函数法 1泊松方程的基本积分公式 在中引入G(M,M0)使它满足 △G=-6(M-M0),M∈τ(6) 即点源产生的场 M0∈,则由(53~534)有G 4 (x-x0)2(y-y0)2(z-z0)
即点源产生的场 在 中引入 使它满足 ( ) , (6) ( , ) 0 0 d t t DG = - M - M M Î G M M 2 0 2 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) 4 1 , (5.3 ~ 5.3.4) r x x y y z z r M G = - - - Î = p t 则由 有 二、积分公式---格林函数法 1. 泊松方程的基本积分公式