§2.4纯强迫振动 一、定解问题 u, =a'u+f(r, t) l|=0=0 =0=0
§ 2.4 纯强迫振动 一、定解问题 ï î ï í ì = = = + = = 3 2 1 | 0 | 0 ( , ) 0 0 2 t t t tt xx u u u a u f x t
二、求解 1、解题分析 若将方程中的非齐次项消掉,即可利用 达朗贝尔公式得到此定解问题的解。 故,我们引入冲量原理 注:迭加原理 2、冲量原理 根据迭加原理,式之中的持续力f(x,t)所引起 的振动视为一系列前后相继的瞬时力引起振动的迭 加,即:
若将方程中的非齐次项消掉，即可利用 达朗贝尔公式得到此定解问题的解。 故，我们引入冲量原理 注：迭加原理 二、求解 1、解题分析 2、 冲量原理 根据迭加原理，式之中的持续力f(x,t)所引起 的振动视为一系列前后相继的瞬时力引起振动的迭 加，即：
n(x,1)=lim∑w(x,r) Aτ→0r=0 则,瞬时力所引起的振动的定解问题为: Mn-a2=0
å D ® = = t u x t w x t 0 0 ( , ) ( , ; ) lim t t t 则，瞬时力所引起的振动的定解问题为： ï î ï í ì = D = - = ï î ï í ì = = - = = = 6 5 4 | ( , ) | 0 0 2 t t t v f x v v a v t t t tt xx
可以看出,求解定解问题即为求解定解问题 4>-,而: u(x, )=lim∑v(x:r) △τ→0r=0 lim∑v(x,4,x)△ Ar→>0r=0 即:(x,1)=[v(x,t;)dr--的方法,称为冲量原理
可以看出，求解定解问题---即为求解定解问题 --，而： å å D ® = D ® = = D = t t v x t u x t w x t 0 0 0 0 ( , ; ) ( , ) ( , ; ) lim lim t t t t t t t 即： ò = t u x t v x t d 0 ( , ) ( , ;t ) t 以上用瞬时冲量的迭加解决持续作用力来解决 定解问题--的方法，称为冲量原理
3、纯强迫振动的解 对于定解问题<4〉--<6〉,令 T=t a2y=0 则:{vb=0=0 1=0=f(,r)
３、纯强迫振动的解 对于定解问题--，令： T = t - t 则： ï î ï í ì = = - = = = | ( , ) | 0 0 0 0 2 v f t t v v a v T T T TT xx
故,又达朗贝尔公式 x+a (x, t t) f(a, t da 2a a t)ad 2a 由式〈7>,可得: f(a, t dadu 2a 此即是纯强迫振动的解
由式，可得： ò ò + - = t x aT x aT f d d a u x t 0 ( , ) 2 1 ( , ) a t a u 此即是纯强迫振动的解。 故，又达朗贝尔公式： ò + - = x aT x aT f d a v x t t (a,t ) a 2 1 ( , ; ) ò + - - - = ( ) ( ) ( , ) 2 1 t t a t a x a t x a t f d a
四、例题 u+x 求解初值间题:14(x,0)=0 l(x,0)=0 解:由式8>可得: I ct rx+(t-t) A{x+(-7)3-[x-(t-7)d 0
四、例题 求解初值问题： ï î ï í ì = = = + ( ,0) 0 ( ,0) 0 u x u x u u x t tt xx 解：由式可得： ò ò + - - - = t x t x t u x t d 0 ( ) 2 ( ) 1 ( , ) t t a a t t a ò = + - - - - t x t x t d 0 2 2 {[ ( )] [ ( )] } 4 1 2 2 1 = xt
五、小结 1、对于纯强迫振动 (1)应先将有源问题按冲量原理化解 (2)利用迭加原理求解。 2、对于一般强迫振动 =a'u+ f(x, t) 1=0=(x)
五、小结 1、对于纯强迫振动 (1) 应先将有源问题按冲量原理化解； (2) 利用迭加原理求解。 2、对于一般强迫振动 ï î ï í ì = = = + = = | ( ) | ( ) ( , ) 0 0 2 u x u x u a u f x t t t t tt xx y j
由于泛定方程和定解条件是线性的,故利用迭加 原理,令: u=u+u 并分别使: u,1-au=0 n1=v/()11>
由于泛定方程和定解条件是线性的，故利用迭加 原理，令： I II u = u + u 并分别使： ï ï î ïï í ì = = - = = = = 11 10 9 | ( ) | ( ) 0 0 0 2 u x u x u a u u t I t t I I xx I tt I y j
f(x,1) t=0 故求一般强迫振动定解问题,只需求解以上定解条 件<9〉-<14》即可 (1)用达朗贝尔公式给出定解问题〈9》-<1的解; (2)用纯强迫振动的解给出定解问题<12〉--<14》的解:
ï ï î ïï í ì = = - = = = = 14 13 12 | 0 | 0 ( , ) 0 0 2 t II t t II II xx II tt II u u u a u f x t u 故求一般强迫振动定解问题，只需求解以上定解条 件---即可 (1)用达朗贝尔公式给出定解问题---的解； (2)用纯强迫振动的解给出定解问题---的解：