§51留数定理 1留数定理 1)留数的定义 若b为f()孤立奇点,则称()=∑CA(=-b) 0<-b<R中的系数C1为(在孤立奇点 处的留数。 f(=)=,则ey()
§5.1留数定理 1.留数定理 (1).留数的定义 ( ) ( ) å ( ) ¥ = -¥ = - k k 若b为f z 的孤立奇点 ,则称 f z Ck z b 中 的系数 C 为f ( )z 在孤立奇点 z b z b R 1 1 0 - - < - < 处的留数。 ( ) ( ) ÷ ø ö ç è æ - = - - = - - = 1 1 1 1 res 1 1 1 1 . . z z f z e g f z 则 Q
问: res sin 0有无意义? sin 答:无,∵z=0不是sin,的孤立奇点 sIn (2)留数定理 /(Ak=2x∑esy() 证:在内作圆,k-b|=R
问 有无意义？ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ ,0 1 sin 1 : res sin z 答 无， 不是 的孤立奇点 z z 1 sin 1 : Q = 0 sin (2). 留数定理 ( ) å ( ) ò = = n k k l f z dz i f b 1 2p res : l , l : z - b = R (k = 1,2,...) 证 在 内作圆 k k k
则/(=∑( k=1 又()=∑C(=-b),0<-b<R R<R'<mnb-bk≠1 /(k=∑C(=by在 而(-b)=2k=-1 k≠-1 5/(=C127=2s/()
( ) å ( ) ò ò = = n k l l k f z dz f z dz 1 则 ( ) ( )1 1 1 f z C z b ,0 z b R k k k = å - < - < ¢ ¥ = -¥ 又 ( min , 1) R < R1 ¢ < bk - b1 k ¹ ( ) å ( ) ò ò ¥ = -¥ \ = - k l k k l f z dz C z b dz 1 1 1 ( ) î í ì ¹ - = - - = ò 0 1 2 1 1 1 k i k z b dz l k p 而 ( ) ( ) 1 1 2 2 res 1 f z dz C i i f b l \ = - × p = p ò
其中es(h)=C.2m2k 类似可证:5()=27C1=27eyb 其中c()=C1=20/(k f/k=∑(k=2m2e) 此即留数定理,它表明了具有孤立奇点的解析 函数的围道积分和奇点之间的关系
( ) ( ) ò = - = 2 1 1 res 1 1 l f z dz i f b C p 其中 ( ) ( ) k l f z dz iC i f b k 2 2 res = p -1 = p 类似可证： ò ( ) ( ) ò = - = k l k f z dz i f b C 2p 1 res 其中 1 ( ) å ( ) å ( ) ò ò = = = = n k k n k l l f z dz f z dz i f b k 1 1 2p res 此即留数定理，它表明了具有孤立奇点的解析 函数的围道积分和奇点之间的关系
由上面有限远点的留数的积分表示式,我们可 类似的给无限远点的留数下一定义。 2无穷远点的留数: (定义rs()=,,( 2 Ti 其中/为包围=R的围道,表示延的顺时针方向 (2)易证 res f(oo)=-C f(在R<<m中的展开式的负次 系数
由上面有限远点的留数的积分表示式，我们可 类似的给无限远点的留数下一定义。 2.无穷远点的留数： (1).定义: ( ) ( ) ò- ¥ = l f z dz i f 2p 1 res 其中 l为包围 z = R的围道 ,-表示延 l的顺时针方向 (2).易证: ( ) 1 res ¥ = -Cf ( ) ÷ ÷ ø ö ç ç è æ < < ¥ 系数 f z 在 R z 中的展开式的负一次
由上次课对∞点函数的性质的讨论和研究知 欲将2)在∞展开为级数,即要将以z=0为中心在 |>R或R<|<中展开。 ()=∑ R<|z(k∞ ∴reSf(o0 )=5,/(=k 2 C,pzkdz
∵由上次课对∞点函数的性质的讨论和研究知 欲将f(z)在∞展开为级数，即要将f(z)以z=0为中心在 z > R 或 R < z < ¥ 中展开。 ( ) å ( ) ¥ = -¥ = < < ¥ k k k f z C z R z ( ) ( ) ò- \ ¥ = l f z dz i f 2p 1 res å ò ¥ = -¥ = - k l k Ck z dz 2pi 1 = -C-1
1+z 求 res 1+ 餐:271-G=)e d z dz=0 2(1 (3)全平面留数之和为0 ∑resf(b)+resf(z)
, ? 1 . . res 2 = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¥ + z e z e g 求 ( ) ò - = + = 1 2 1 2 1 z z dz e z pi 解： 0 1 2 1 1 2 = + = - ò z = z dz e z pi (3).全平面留数之和为0 ( ) ( ) = å + ¥ = f b f n k k res res 1 Q
+ f(=)k k=1 丌l 丌l 2 i 乐/( 2 i 此结论很有用,如要计算有限远点的孤立奇点 之处的留数之和,若孤立奇点很多,算起来很麻烦。 但利用此结论只要算出了∞这一点的留数,其他所 有孤立奇点处留数之和就得到了 注意:①rs(b)=C,雨resf(o)
( ) ( ) å ò ò- = = + l n k l f z dz i f z dz p i k 2p 1 2 1 1 ( ) ( ) 0 2 1 2 1 = - = òl òl f z dz i f z dz pi p 此结论很有用，如要计算有限远点的孤立奇点 之处的留数之和，若孤立奇点很多，算起来很麻烦。 但利用此结论只要算出了∞这一点的留数，其他所 有孤立奇点处留数之和就得到了。 注意： ( ) ( ) 1 1 res , res = - ¥ = -Cf b C f ① k 而
②若b,为可去奇点,则rsf(b)=0 但即使z=∞为可去奇点rs(地不一定为0 如→z2si ∑ 1)1 0 <z<0 2k+1 2k-1 以z=∞为可去奇点 但resf()=-C1=7≠0 eg求 2-1)(2+2) 在各有限孤立奇点处的留数和
②若 bk为可去奇点，则 res f (bk ) = 0 但即使 z = ¥为可去奇点 res f (¥ )也不一定为 0 ( ) ( ) < < ¥ + - ® = å ¥ = - z z k z z k k k ,0 1 2 1 ! 1 1 sin 0 2 1 如 2 以z = ¥为可去奇点 ( ) 0 6 1 res 但 f ¥ = -C -1 = ¹ ( 1) ( 2 ) . . 2 3 2 7 z - z + z e g 求 在各有限孤立奇点处的 留数和
解: (2-1)(2+2) 1+ 1+ 1++ +— ∑rsf()=e0+()+-s(+2)
( ) ( ) ÷ ø ö ç è æ ÷ + ø ö ç è æ - = - + 2 3 2 8 7 2 3 2 7 2 1 1 1 1 2 z z z z z z z 解： 1 2 3 2 2 1 1 1 1 - - ÷ ø ö ç è æ ÷ × + ø ö ç è æ = - z z z ÷ ø ö ç è æ ÷ - + ø ö ç è æ = + 2 + L 2 L 2 1 3 1 1 z z z = + 2 + L 1 1 z z f (b ) ( ) ( ) ( i) k res k res 1 res -1 res 2 4 1 \ å = + + ± =