§33泰勒级数 泰勒定理 T级数和解析函数的关系 ∑a(-b)上些→解析函数f(2) k=0 (k) 唯) (b 收敛半径 R=-b,a-f(=)距b最近的奇点 如何展开 1、用定理展
§3.3泰勒级数 一、泰勒定理 ( ) ( ) ( )( ) a z b f ( ) z k f b a z b R k k k k k 解析函数 唯一 ¬¾ ¾¾ ¾ - ¾ ¾ ¾ ¾® = - < ¥ = å ! 0 T级数和解析函数的关系 R = a - b , a - f (z )的距 b最近的奇点 三、如何展开 1、用定理展 三、收敛半径
2、用各种手段展开 例:f(=) 在点z=±1展开为T级数 z+2 1奇点?2展开方式?3收敛半径? 解∷z=-2是f(z) 的唯一奇点,故可在 z+2 1<2-1=3内时在z=1展开。 展开后的形式为 f()=∑a(=-1)
2、用各种手段展开 例： ( ) 在点 1展开为 T级数 2 = ± + = z z z f z 1 奇点 ? 2 展开方式 ? 3 收敛半径 ? o o o 解 是 ( ) 的唯一奇点 ,故可在 2 : 2 + = - = z z Q z f z 展开后的形式为 z - 1 < - 2 - 1 = 3内时在 z = 1展开。 ( ) å ( ) ¥ = = - 0 1 k k k f z a z
f(2) +1 +2(2-)+3(z-])+3(z-])+3 (z-1) 1+ 35(3/+3m/=y (z-1)、/,(z-1 k+1 =∑(-1) ∑(-1) k=0
( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 3 1 1 3 1 1 3 1 1 2 - + + - + - = - + - + = + = z z z z z z z f z ( ) ( ) 3 1 1 1 3 1 3 1 3 1 1 1 - + + ú û ù ê ë é - + = - × z z z ( )å( ) å( ) ¥ = ¥ = ÷ ø ö ç è æ - ÷ + - ø ö ç è æ - - - = 0 0 3 1 1 3 1 3 1 1 3 1 k k k k k z k z z ( ) ( ) å å ( ) ¥ = + ¥ = + - - ÷ + ø ö ç è æ - = - 0 1 0 1 1 3 1 3 1 1 k k k k k k k z z
四、多值函数在里曼面上或确立单值分支之后, 可作泰勒展开泰勒展开 g1将L+)主值支m(+)z=0展开成级数 解∷z=-1,为Lm(+=)支点 所以将复平面沿负实轴从z=-至z=∞作割线割破后 l+这割破的复平面上便可分出单值支 主值支m(+)2<时解析故可进行7展开 设f()=m(+ 则f()=n、f() +2)(1+)
四、多值函数在里曼面上或确立单值分支之后， 可作泰勒展开泰勒展开 e.g.1.将Ln(z +1)的主值支ln(1+ z)在z = 0展开成T级数 解:Q z = -1,¥为Ln(1+ z)的支点 所以将复平面沿负实轴从z = -1至z = ¥作割线割破后 Ln(1+ z)在这割破的复平面上便可分出单值支 Q主值支ln(1+ z)在z < 1时解析,故可进行T展开 设f (z) = ln(1+ z) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 K 1 1 , 1 1 z f z z f z + - ¢¢ = + 则 ¢ =
f((z) (-1)-(k-1) k=1,2, + Z f()(0)(-1) k=1,2 而f(0)=0 1) 2<1(公式) k=1 2将(+y=-支在点 z=0展开成T级数 解:支点为z=0,-1
( )( ) ( ) ( ) ( ) , 1,2 ,K 1 1 1 ! 1 = + - - = - k z k f z k k k ( )( ) ( ) , 1,2 ,K 1 ! 0 1 = - \ = = - k k k f a k k k 而f (0 ) = 0 ( ) ( ) 1(公式 ) 1 ln 1 1 1 < - + = å ¥ = - z z k z k k k ( ) 2.将 z +1 = e aLn(1+z)的一支e aLn(1+z)在点 a z = 0展开成T级数 解 : 支点为 z = 0,-1
从z=0,到z=-1将复平面割开可得到单值支 eh(在:<中解析:可展开为T级数 设:g(=)=eh(+:,hn(+z)=f() 则:g(=) g(=ear().af() 而f(=) 1+z n(1+ g'(=)=ae-)/(
从 z = 0, 到 z = -1将复平面割开可得到单 值支 Q e a ln (1+ z )在 z < 1中解析 \ 可展开为 T级数 ( ) ( ) g z e ( z) f (z) z = + = + : , ln 1 设 a ln 1 ( ) f (z ) g z e a 则 : = ( ) ( ) g z e f (z ) f z ¢ = ×a ¢ a ( ) ( z ) f ( ) z z e e f z 1 1 1 1 ln 1 = = + ¢ = 而 + ( ) ( ) ( ) L f z g z e -1 \ ¢ = a a
((=)=a(x+1).(a-k+1)2-y g(0) ()(0)a(a+1).(a-k+1) k 于是ch+)=1+z+ a d 1)a-k+1)k + 由于e是()=e.一个分支
( ) ( ) ( ) ( ) k ( k )f (z ) g z k e - = + - + a a a 1 K a 1 \ g (0 ) = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ! 1 1 ! 0 k k k g k + - + = a a K a ( ) ( ) ... 2! 1 1 ln 1 2 + - = + + + e z z z a a a 于是 a ( )( ) ..., 1 ! 1 1 + < - - + + z z k a a a k k ( ) ( ) 由于e ln 1+ z 是 1+ z = e a ln (1+ z)的一个分支 a a
aIn(1+2 )-。ln(+)+2kx]-12kx,ocln(+) e e +=)=121+az+ 6)=+2+- 若能a=2,k=?
( z) [ ( z) i k ] i k ( z) e e e e + + + + = = × a ln 1 a ln 1 2 p 2 p a ln 1 ( ) ( ) ê ë é + - \ + = + + ... 2! 1 1 1 1 2 z z z a a a a a ( )( ) ... , 1 ! 1 1 - å ¥ = a z z z k k k a = ?, k = ? 若能 k
另外,在理论与实际问题中我们常常需要 研究这样的一类函数,它们在某点z=a不解析, 但在该点的某个去心邻域 0<-a|<R内却是解析的如 f() 在z=0,z=1不解析 但:在0<1<1和0<=-1<1中均解析
另外，在理论与实际问题中我们常常需要 研究这样的一类函数，它们在某点z = a 不解析， 但在该点的某个去心邻域: 0 < z - a < R 内却是解析的 .如 : ( ) ( ) , 在 z 0, 1不解析 1 1 = = - = z z z f z 但 : 在 0 < z < 1和 0 < z - 1 < 1中均解析
显然在z=0和z=1均不能展开成T级数,;T级数 定要求函数在某点的邻域即圆域中解析,那么 f(=) 1-z) ∑c-2,0<<1 f(=) ∑c(-1),0<|2-1 若能c=?,k=?
( ) ( ) , 0 1 1 1 ? = < < - = å c z z z z f z k k ( ) ( ) ( 1) , 0 1 1 1 1 ? = - < - < - = å c z z z z f z k k c = ?, k = ? 若能 k 1 显然在z=0和z=1均不能展开成T级数，∵T级数一 定要求函数在某点的邻域即圆域中解析，那么