§5.3物理问题中的几个积分 o sin x d x cOS 思路: 受(x) cos px dx类型启发自然想到考虑 SIn px dz R R
§5.3物理问题中的几个积分 : cos sin 0 2 2 ò ¥ ïþ ï ý ü ïî ï í ì dx x x 二、 思路： 受 ò ( ) 类型启发自然想到考虑 ¥ þ ý ü î í ì 0 sin cos dx px px f x : 2 e dz l l iz ò - R R R c
dx+ed=0 re et iR cos 20+isin 20 rEde R sin 20 Rde 而当 丌 0
0 2 2 + = ò- ò R c iz R R ix 则 e dx e dz ( ) ò ò + = = p q q q q q 0 cos 2 sin 2 2 2 e dz e iRe d iR i i z Re c iz i R ò - £ p q q 0 sin 2 2 e Rd R sin 2 0 2 £ q £ p q £ p 而当 \ ® ¥ ò - p p q q 2 sin 2 2 e d R
∴避开这一段, y 选如下图所示围道积分 则ed+e“b2)d ac之0
∴避开这一段， 选如下图所示围道积分 y x R c ( ) ( ) 0 0 0 2 2 2 + ¹ = ò ò òR i iy c iz R ix e dx e dz e d iy R 则 0 2 0 sin 2 2 2 £ - ¾¾ ® ®¾¥ ò ò R R c iz e dz e Rd R p q
R→>∞:e"dx dy =0 COS x dx ti sin x dx=i cos x dx+ sin x dx 即 COS x2dx= sin x2dx 这样没解决问题,可能主要是因为在x轴 和y轴上一段处于对称地位。但0→R上一段总 是需要的,于是试着选取下图回路
: 0 0 0 2 2 \ ® ¥ - = ò ò ¥ - ¥ R e dx i e dy ix iy ò ò ò ò ¥ ¥ ¥ ¥ + = + 0 2 0 2 0 2 0 2 cos x dx i sin x dx i cos x dx sin x dx ò ò ¥ ¥ = 0 2 0 2 即 cos x dx sin x dx 这样没解决问题，可能主要是因为在x轴 和y轴上一段处于对称地位。但0→R上一段总 是需要的，于是试着选取下图回路
则[e"2+[e+[e()d Xe 同样else R- sin Rd022→0 R xe e dx R d x R √丌 d x
R 4 p R c 0 0 4 0 2 4 2 2 = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + + ò ò ò ÷ ÷ ø ö ç ç è æ R i i xe c iz R ix e dx e dz e d xe i R p p 则 0 4 0 sin 2 2 2 ò £ ò - R ¾ R¾®¾¥ ® c iz e dz e Rd R p 同样 q ò ò × =÷ ÷ ø ö ç ç è æ R ix i i R i i ix e e d xe e e dx 0 4 0 2 4 2 2 p p p ò ¥ - ® ¥ = - 0 4 2 e e dx x R i p 0 2 2 p = ò ¥ - e dx x Q Ⅰ Ⅱ
V兀 丌 dx e 丌 z)√z(√2√2 coS -+I sin √2z√2兀 p COS x dx +i sin x dx +I COS x dx= sin x dx
2 4 p p i = -e ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ = + ø ö ç è æ = + 2 2 2 2 4 2 sin 4 cos 2 i i p p p p 4 2 4 2 cos sin 0 2 0 2 p p x dx + i x dx = + i ò ò ¥ ¥ 即 2 4 0 2 p p i ix \ e dx = -e ò ¥ 4 2 cos sin 0 2 0 2 p = = ò ò ¥ ¥ x dx x dx
ea^ cos bxdx;a>0,b为任意实数 分析: 颇似(pd类型,于是检验是否符合条件 a>0,/(z)=e在实轴上无奇点,单值解析 当||→m,f(=)=e→ ∫0,z沿正实轴→0 ,z沿负实轴→0 不符合公式应用条件,按前所述思想考虑
三、 e ax cos bxdx ; a 0, b为任意实数 0 2 > ò ¥ - 分析： 颇似 ò ( ) 类型 于是检验是否 符合条件 ¥ 0 f x cos pxdx , 0, ( ) 在实轴上无奇点 , 单值解析 2 az a f z e - > = ( ) î í ì ¥ ® ® ® ¥ = - ® , 0 0 , 0 , 2 沿负实轴 沿正实轴 当 z z z f z e az 不符合公式应用条件，按前所述思想考虑
ibx "+e cos bre x e dx d x +ibx d -x R R +ib d x al x+ e4「e2thx令:=x 2a
ò ò ¥ - - ¥ - + = 0 0 2 cos 2 2 dx e e e bxdx e ibx ibx ax ax x y a b i 2 a b 2 1 l¢ 1 l 2 l 4 l 3 R l - R [ e dx ax ibx ò ¥ - + = 0 2 2 1 ( )] ò -¥ - + + - 0 2 e d x ax ibx ò ¥ -¥ - + = e dx ax ibx 2 2 1 a ib e e dx z x a ib a x a b 2 2 1 4 2 2 2 = = + ò ¥ -¥ ÷ ø ö ç è æ - - + 令
e 4 a d z=? 平行于实轴与实轴相距的直线 于是选l=l1+l2+l2+1 R →R →(R,0 2a R,0)→(-R,0 (R:0)→|-R 于是 d z a(r+iy Ⅱ
? 2 1 1 2 2 4 = = ò¢ - - l a az b e e dz l 1 ¢ : 平行于实轴与实轴相距 2 b a 的直线 ( ) ( ) ( ) ( ) ÷ ø ö ç è æ ® - - ® - ÷ ® ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ ÷ ® ø ö ç è æ - = + + + a b l R R l R R R a b l R a b R a b l R l l l l l 2 : ,0 ,0 ; : ,0 , ,0 2 ; : , 2 , 2 : , 3 4 1 2 于是选 1 2 3 4 ( ) ( ) ò ò - - + + 0 2 2 1 2 a b e dz e d iy a R iy l 于是 az Ⅰ Ⅱ
R d x t a(+R+ l(y)=0 R L eads -a(rtiy) d 如-8>0 a R d x wax va Ⅳ|≤ R dy-7>0
Ⅲ ( ) ( ) 0 2 2 0 + + = ò ò - - + - - a b e dx e d iy a R iy R R ax Ⅳ ò ò¢ - ®¥ - = 1 2 1 2 l az R l az e dz e dz ( ) ( ) 0 0 0 2 2 2 2 2 = - + £ - × ¾¾ ® ®¾¥ ò ò a R iy aR ay R a b a b Ⅱ e d iy e e dy ( ) ( ) a e d a x a e dx ax a x R p = - = - = - ò ò ¥ - ¥ - ® ¥ 0 0 2 2 2 Ⅲ 2 0 2 2 2 0 £ - × ¾¾ ® ®¾¥ ò a aR ay R b Ⅳ e e dy